 |
Методика и порядок выполнения работы
|
|
|
|
Пример 1
Решить систему уравнений методом Гаусса:
Решение
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.
Проведенные элементарные преобразования:
1) поскольку в первой матрице элемент 
, то первую строку оставим без изменений;
2) вместо второй строки запишем ее сумму с первой, умноженной на (-4);
3) вместо третьей строки запишем ее сумму с первой строкой, умноженной на (-3);
4) вместо четвертой строки запишем ее сумму с первой строкой, умноженной на (-5).
Полученная новая матрица эквивалентна исходной и имеет во всех уравнениях, кроме первого, нулевые коэффициенты при 
(это и являлось целью преобразований 1 – 4).
Преобразуем полученную матрицу следующим образом:
1) первые две строки оставим без изменения, поскольку элемент 
;
2) вместо третьей строки запишем сумму второй строкой и третьей, умноженной на (-2);
3) четвертую строку заменим суммой удвоенной второй строкой и умноженной на (-5) четвертой.
В результате получится матрица, соответствующая системе, у которой неизвестное 
исключено из всех уравнений, кроме первого, а неизвестное 
– из всех уравнений кроме первого и второго:
Далее исключаем неизвестную 
из четвертого уравнения. Для этого последнюю матрицу преобразуем так:
1) первые три строки оставим без изменения, так как 
;
2) четвертую строку заменим суммой третьей, умноженной на (-39), и четвертой.
Полученная ступенчатая матрица соответствует системе уравнений:
Из последнего уравнения этой системы получаем 
. Подставив это значение в третье уравнение, получим 
. Из второго уравнения следует, что 
, а из первого – 
. Очевидно, что полученное решение единственно (так как единственным образом определяется значение 
, затем и т. д.).
|
|
|
Пример 2
Решить систему уравнений методом Гаусса:
Решение
Для исходной системы уравнений запишем расширенную матрицу и приведем ее к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований:
|
|
|
|
|
.
Проведенные элементарные преобразования:
1) первую строку оставим без изменения;
2) вместо второй строки запишем сумму второй строкой и первой, умноженной на (-2);
3) вместо третьей строки запишем сумму третьей строкой и первой, умноженной на (-3);
4) четвертую строку заменим суммой четвертой и первой, умноженной на (-1);
5) пятую строку заменим суммой пятой строки и первой, умноженной на (-2).
В результате преобразований получили матрицу эквивалентную данной. Оставив без изменения первые две строки этой матрицы, следуя методу Гаусса, который также называют и методом последовательного исключения неизвестных, с помощью третьей строки приведем к нулю коэффициенты при в четвертой и пятой строках. После деления всех элементов второй строки на 5 и деления всех элементов третьей строки на 2 получили матрицу ступенчатого вида, каждая из двух последних строк которой соответствует уравнению 
. Это уравнение удовлетворяется любым набором чисел , 
, , и 
и его следует удалить из системы.
Для последней матрицы составляем соответствующую систему:
В качестве базисных (главных) переменных можно выбрать , и , соответствующие столбцам минора третьего порядка 
, тогда и – свободные переменные. Придавая свободным переменным произвольные значения 
, а 
, из последнего уравнения системы получим: 
. Подставив выражения , и во второе уравнение той же системы, получим 
. Теперь из первого уравнения можно получить 
. Окончательно решение системы представляется в виде:
|
|
|
Пример 3
Решить систему методом Крамера:
Решение
1) Вычислим определитель системы:
.
Так как определитель системы 
, то система совместна и определена. Причем решения системы можно найти по формулам Крамера.
2) Вычислим определители 
и 
:
,
.
3) Находим решения:
,
.
Таким образом, 
, 
.
Пример 4
Решить систему с помощью матричного исчисления:
Решение
1) Найдем определитель матрицы 
:
.
Так как определитель 
, то матрица – невырожденная и для нее существует обратная матрица.
2) Определим алгебраические дополнения ко всем элементам матрицы.
,
,
,
,
,
,
,
,
.
3) Составим присоединенную матрицу 
:
.
4) Вычислим обратную матрицу:
.
5) Найдем решение системы:
.
Итак, 
, , 
.
Задания
Задание 1
Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности решить ее двумя способами: 1) по формулам Крамера, 2) методом Гаусса.
1.1. 
1.2. 
1.3. 
1.4. 
1.5. 
1.6. 
1.7. 
1.8. 
1.9. 
1.10. 
Задание 2
Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности решить ее двумя способами: 1) по формулам Крамера, 2) методом Гаусса.
2.1. 
2.2. 
2.3. 
2.4. 
2.5. 
2.6. 
2.7. 
2.8. 
2.9. 
2.10. 
Задание 3
Найти общее и одно частное решения системы линейных уравнений методом Гаусса.
3.1. 
3.2. 
3.3. 
3.4. 
3.5. 
3.6. 
3.7. 
3.8. 
3.9. 
3.10. 
Задание 4
Дана система линейных уравнений. Доказать её совместность и решить двумя способами: 1) методом Крамера; 2) средствами матричного исчисления.
4.1. 
4.2. 
4.3. 
4.4.
4.5. 
4.6. 
4.7. 
4.8. 
4.9. 
4.10. 
Содержание отчета и его форма
Выбрать вариант своего задания. Номер варианта соответствует номеру, под которым записана фамилия студента в журнале группы. Отчет о выполнении лабораторной работы необходимо оформлять по предложенному выше образцу.
При выполнении лабораторной работы необходимо придерживаться указанных выше правил. Работы, выполненные без соблюдения этих правил, не зачитываются и возвращаются студенту для переработки.
Вопросы для защиты работы
1. Что называется решением системы?
2. Какая классификация систем в зависимости от существования решения вам известна?
3. Какие системы называются равносильными?
|
|
|
4. Какие преобразования считаются элементарными?
5. Метод Крамера.
6. Матричный метод решения СЛАУ.
7. Метод Гаусса.
8. Может ли частное решение системы линейных уравнений совпадать с ее общим решением?
9. Могут ли различные методы решения системы линейных уравнений (метод Крамера, метод Гаусса и метод обратной матрицы) дать различные ответы?
10. Возможно ли, чтобы система линейных уравнений имела решение с помощью метода Гаусса, но не имела решения по формулам Крамера?
|
|
|
