 |
Сложное движение точки. Теорема о сложении скоростей
|
|
|
|
Сложным называется такое движение точки, при котором она одновременно участвует в нескольких движениях. Абсолютным движением называется движение точки по отношению к неподвижной системе отсчета. Относительным называется движение точки по отношению к подвижной системе отсчета. Переносным называется движение той точки подвижной системы отсчета, в которой находится движущаяся точка, по отношению к неподвижной. Проще можно сказать: относительным движением называется движение точки по телу, а переносным движением - движение точки вместе с телом.
Скорость и ускорение точки по отношению к неподвижной системе отсчета называются абсолютными (v, а). Скорость и ускорение точки по отношению к подвижной системе отсчета называются относительными (v 
, а r). Скорость и ускорение той точки подвижной системы, в которой находится движущаяся точка, по отношению к неподвижной системе называются переносными (v 
, а ).
Теорема: скорость точки в абсолютном движении геометрически складывается из переносной и относительной скорости.
Например, на рис. 21 точка М совершает сложное движение: вращается вместе с диском – переносное движение, и двигается по хорде диска - относительное движение. При этом переносная скорость ve направлена перпендикулярно отрезку ОМ в сторону переносной угловой скорости ωe, а ее величина может быть найдена по формуле: ve = ωe ∙OM. Абсолютную скорость точки М можно найти по теореме косинусов: 
, где: α – угол между векторами ve и vr.
19. Теорема о сложении ускорений при сложном движении
Теорема: абсолютное ускорение точки геометрически складывается из переносного, относительного и Кориолисова ускорений.
|
|
|
,
где: 
- переносное ускорение, 
- относительное ускорение, 
- ускорение Кориолиса: 
. модуль ускорения можно найти по формуле:
=2| ωe |∙|vr |∙sinβ, где: β – угол между векторами 
и 
, в рассматриваемом случае этот угол равен 90º, так как вектор угловой скорости направлен перпендикулярно плоскости рисунка от нас. Для определения направления 
можно пользоваться, правилом векторного умножения или правилом Жуковского: для определения направления ускорения Кориолиса надо спроецировать вектор относительной линейной скорости на плоскость | оси переносного вращения и повернуть эту проекцию в этой плоскости на угол 90° в направлении переносной угловой скорости.
Ускорение Кориолиса равно нулю если:
1. 
= 0; т.е. переносное движение будет поступательным.
2. 
= 0; т.е. точка неподвижна по отношению к подвижной системе отсчета.
3. 
- точка движется параллельно оси переносного вращения.
Задача К1
По заданным уравнениям движения точки в плоскости xy: 
(табл. К1) требуется найти уравнение траектории и для момента времени t1 = π/6 c определить скорость и ускорение точки, а также ее касательное и нормальное ускорение и радиус кривизны в соответствующей точке траектории. Построить на рисунке все найденные скорости и ускорения в соответствующих масштабах.
Указания. Задача К1 относиться к кинематике точки и решается с помощью формул, по которым определяются скорость и ускорение точки в декартовых координатах (координатный способ задания движения точки), а также формул, по которым определяются касательное и нормальное ускорения точки. В данной задаче все искомые величины нужно определить только для момента времени t1 = π/6 c. В некоторых вариантах задачи при определении траектории или при последующих расчетах (для их упрощения) следует применить известные из тригонометрии формулы:
При выборе масштабов построения траектории, скоростей и ускорений следует учитывать, что они должны быть стандартными, то есть из ряда: 1, 2, 25, 4, 5. При этом изображаемые вектора должны быть достаточно крупными (50 - 100 мм).
|
|
|
Параметры для решения задачи К1.
Таблица К1
| Последняя цифра шифра | 
| Предпоследняя цифра шифра | 
|
| 3sin(2t) + 1 | 2 - 2cos(2t) | ||
| 2sin2(2t) -2 | 3cos2(2t)-1 | ||
| 4sin(2t) - 1 | 2cos(4t) +2 | ||
| 3 -4 cos(2t) | 3sin(2t) - 1 | ||
| 4cos2(2t)-2 | 2sin2(2t) + 1 | ||
| cos(4t) +1 | 2sin(2t) - 3 | ||
| 2sin2(2t) -1 | 3 - 2cos(2t) | ||
| 2cos(4t) + 1 | 2cos(4t) +1 | ||
| 3cos2(2t)-2 | 2sin2(2t)+1 | ||
| 2+3cos(4t) | 2 – 2cos(4t) |
Пример решения задачиК1. Даны уравнения движения точки в плоскости xy:
, (x, y – в сантиметрах, t - в секундах).
Определить уравнение траектории точки; для момента времени t1=1c найти скорость и ускорение точки, а также ее касательное и нормальное ускорение и радиус кривизны в соответствующей точке траектории.
Решение. 1. Для определения уравнения траектории точки исключим из заданных уравнений движения время t. Поскольку t входит в аргументы тригонометрических функций, где один аргумент вдвое больше другого, используем формулу.
или 
Из уравнений движения находим выражения соответствующих функций и подставляем в равенство (1). Получим:
следовательно: 
Отсюда окончательно находим следующее уравнение траектории точки (рис. К1): 
2. Скорость точки найдем по ее проекциям на координатные оси:
и при t = 1c: 
3. Аналогично найдем ускорение точки:
.
и при t = 1c: 
ax = 0,87 см/с2, ay = - 0,12 см/с2, a = 0,88 см/с2.
4. Касательное ускорение найдем, дифференцируя по времени равенство: 
. Получим: 
Подставив полученные ранее значения, найдем, что при t = 1c: aτ = 0,66 см/с2.
5. Нормальное ускорение точки: 
Подставляя сюда найденные числовые значения a1 и a1τ, получим, что при t = 1 c: an = 0,58 см/с2.
6. Радиус кривизны траектории: 
Подставляя сюда числовые значения υ 1 и a 1 n, найдем, что при t = 1 c: ρ = 3,05 см.
При построении скоростей следует в данном случае выбрать масштаб:
μ v = 0,02 
, тогда:
l vx = │vx │ / μ v = 1,11/0,02 ≈ 56 мм, l vy = │vy │ / μ v = 0,73/0,02 ≈ 37 мм; или
μ v = 0,01 , тогда:
l vx = │vx │ / μ v = 1,11/0,01 = 111 мм, l vy = │vy │ / μ v = 0,73/0,01 = 73 мм.
При построении ускорений следует выбрать масштаб:
μ a = 0,01 , тогда:
l ax = │ a x │ / μ a = 0,87/0,01 = 87 мм, l ay = │ a y │ / μ a = 0,12/0,01 = 12 мм;
|
|
|
l aτ = │ aτ │ / μ a = 0,66/0,01 = 66 мм, l an = │ an │ / μ a = 0,58/0,01 = 58 мм.
Найденные длины отрезков откладываем из точки с координатами:
при t = 1c: 
Примечание: при построении следует учесть, что l ay необходимо отложить вниз, так как: ay < 0, а aτ – по направлению скорости, так как aτ > 0.
Задача К2
Механизм состоит из ступенчатых колес 1-3, находящихся в зацеплении или связанных ременной передачей, зубчатой рейки 4 и груза 5, привязанного к концу нити, намотанной на одно из колес (рис. К2.0-К2.9, табл. К2). Радиусы ступеней равны соответственно: у колеса 1 – r1=2 см, R1=4 см, у колеса 2 – r2=6 см, R2=8 см, у колеса 3 – r3=12 см, R3 = 16 см. На ободьях колес расположены точки А, В, и С.
В столбце «Дано» таблицы указан закон движения или закон изменения скорости ведущего звена механизма, где: 
- закон вращения колеса 1, s4(t) – закон движения рейки 4, ω2(t) – закон изменения угловой скорости колеса 2, υ5(t) – закон изменения скорости груза 5 и т.д. (везде φ - выражено в радианах, s - в сантиметрах, t – в секундах). Положительное направление для φ и ω против хода часовой стрелки, для s4, s5 и υ4, υ5 – вниз.
Определить в момент времени t 1 = 2 c указанные в таблице в столбцах «Найти» скорости (υ – линейные, ω – угловые) и ускорения (а – линейные, ε – угловые) соответствующих точек или тел (υ5 – скорость груза 5 и т.д.).
Указания. Задача К2 – на исследование вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси. При решении задачи учесть, что когда два колеса находятся в зацеплении, скорость точки зацепления каждого колеса одна и та же, а когда два колеса связаны ременной передачей, то скорости всех точек ремня и, следовательно, точек, лежащих на ободе каждого из этих колес, в данный момент времени численно одинаковы; при этом считается, что ремень по ободу колеса не скользит.
Параметры для решения задачи К2
Таблица К2
| Последняя цифра шрифта | Дано | Найти | |
| скорости | ускорения | ||
| υ B, υC | 
| |
| υ A, υC | 
| |
| υ4, ω2 | 
| |
| υ5, ω3 | 
| |
| υ4, ω1 | 
| |
| υ5, υB | 
| |
| υ4, ω1 | 
| |
| υA, ω3 | 
| |
| υ2, ω2 | 
| |
| υ5, υB | 
|
|
|
|
Пример решения задачи К2. Рейка 1, ступенчатое колеса 2 с радиусами R2 и r2 и колесо 3 радиуса R3, скрепленное с валом радиуса r3, находятся в зацеплении; на вал намотана нить с грузом 4 на конце (рис. К2). Рейка движется по закону s1=f(t).
Дано: R2=6 см, r2=4 см, R3=8 см, r3=3 см, s1=3t3 (s- в сантиметрах, t – в секундах), А – точка обода колеса 3, t1 = 3 c. Определить: ω3, υ4, ε3, αA в момент времени t = t1.
Решение. Условимся обозначать скорости точек, лежащих на внешних ободах колес (радиуса Ri), через υi, а точек, лежащих на внутренних ободах (радиуса ri), - через ui.
1. Определим сначала угловые скорости как функции времени t. Зная закон движения рейки 1, находим ее скорость 
(1)
Так как рейка и колесо 2 находятся в зацеплении, то υ2= υ1 или ω2R2= υ1. Но колеса 2 и 3 тоже находятся в зацеплении, следовательно, u2= υ3 или ω2R2= ω3R3. Из этих равенств находим: 
Тогда для момента времени t1 = 3 c получим: ω3 =6,75c-1.
2. Определим υ4. Так как υ4 = υB = ω3r3, то при t1=3 c: υ4 =20,25 см/с.
3. Определяем ε3. Учитывая, что ε3= 
= 1,5 t. Тогда при t 1=3 с получим:
ε3=4,5 с-2.
4. Определяем aA. Для точки А: 
, где численно 
Тогда, для момента времени t1=3 с, имеем: 
Все скорости и ускорения точек, а также направления угловых скоростей показаны на рис. К2.
Задача К3
Плоский механизм состоит из стержней 1, 2, 3, 4 и ползуна В или Е (рис. К3.0 – К3.7) или из стержней 1, 2, 3 и ползунов В и Е (рис. К3.8, К3.9), соединенных друг с другом и с неподвижными опорами О1, О2 шарнирами; точка D находится в середине стержня АВ. Длина стержней: l 1 = 0,4 м, l 2 = 1,2 м, l 3 = 1,4 м, l 4 = 0,6 м. Положение механизма определяется углами α, β, γ, φ, θ. Значения этих углов и других заданных величин указаны в табл. К3а (для рис. 0-4) или в табл. К3б (для рис. 5-9); при этом в табл. К3а ω1 и ω4 – величины постоянные.
Определить величины, указанные в таблицах в столбцах «Найти».
Дуговые стрелки на рисунках показывают, как при построении чертежа механизма должны откладываться соответствующие углы: по ходу или против хода часовой стрелки (например, угол γ на рис. 8 следует отложить от DB по ходу часовой стрелки, а на рис. 9 – против хода часовой стрелки и т.д.). Построение чертежа начинать со стержня, направление которого определяется углом α; ползун с направляющими для большей наглядности изобразить так, как в примере К3 (см. рис. К3, б). Заданные угловую скорость и угловое ускорение считать направленными против хода часовой стрелки, а заданные скорость 
и ускорение 
- от точки В к b (на рис. 5-9).
Задача К3 – на исследование плоскопараллельного движения твердого тела. При ее решении для определения скоростей точек механизма и угловых скоростей его звеньев следует воспользоваться теоремой о проекциях скоростей двух точек тела и понятием о мгновенном центре скоростей, применяя эту теорему (или это понятие) к каждому звену механизма в отдельности. При определении ускорений точек механизма исходить из векторного равенства 
, где А – точка, ускорение 
которой или задано, или непосредственно определяется по условиям задачи (если точка А движется по дуге окружности, то 
; В – точка, ускорение 
которой нужно определить (если точка В движется по дуге окружности радиуса l, то 
, где численно 
; входящая сюда скорость υB определяется так же, как и скорости других точек механизма).
|
|
|
Параметры для решения задачи К3
Таблица К3а (к рис. К3.0 – К3.4)
| Последняя цифрв шрифта | Углы, град | Дано | Найти | ||||||||
| α | β | γ | φ | θ | ω1, 1/с | ω4, 1/с | υ точек | ω звена | a точки | ε звена | |
| - | B, E | DE | B | AB | |||||||
| - | A, E | AB | A | AB | |||||||
| - | B, E | AB | B | AB | |||||||
| - | A, E | DE | A | AB | |||||||
| - | D, E | AB | B | AB | |||||||
| - | A, E | AB | A | AB | |||||||
| - | B, E | DE | B | AB | |||||||
| - | A, E | DE | A | AB | |||||||
| - | D, E | AB | B | AB | |||||||
| - | A, E | DE | A | AB |
Таблица К3б (к рис. К3.5 – К3.9)
| Последняя цифра шрифта | Углы, град | Дано | Найти | ||||||||||
| α | β | γ | φ | θ | ω1, 1/с | ε1, 1/с2 | υВ, м/с | αВ, м/с2 | v точек | ω звена | a точки | ε звена | |
| - | - | B, E | AB | B | AB | ||||||||
| - | - | A,E | DE | A | AB | ||||||||
| - | - | B, E | AB | B | AB | ||||||||
| - | - | A,E | AB | A | AB | ||||||||
| - | - | B, E | DE | B | AB | ||||||||
| - | - | D,E | DE | A | AB | ||||||||
| - | - | B, E | DE | B | AB | ||||||||
| - | - | A,E | AB | A | AB | ||||||||
| - | - | B, E | DE | B | AB | ||||||||
| - | - | D,E | AB | A | AB |
Пример решения задачи К3. Механизм (рис. К3, а) состоит из стержней 1, 2, 3, 4 и ползуна В, соединенных друг с другом и с неподвижными опорами О1 и О2 шарнирами.
Дано: a=60º, b=150º, g=90º, j=30º, q=30º, AD = DB, l 1 = 0,4 м, l 2 = 1,2 м, l 3 = 1,4 м, w1 = 2 с-1, e1 = 7 с-2 (направление w1 и e1 – против хода часовой стрелки). Определить: uB, uE, w2, aB, e3.
Решение.
1. Строим положение механизма в соответствии с заданными углами (рис. К3, б).
2. Определяем uВ. Точка В принадлежит стержню АВ. Чтобы найти uВ, надо знать скорость какой-нибудь другой точки этого стержня и направление 
. По данным задачи, учитывая направление w1, можем определить 
; численно
(1)
Направление 
найдем, учтя, что точка В принадлежит одновременно ползуну, движущемуся вдоль направляющих поступательно. Теперь зная 
и направление 
, воспользуемся теоремой о проекциях скоростей двух точек тела (стержня АВ) на прямую, соединяющую эти точки (прямая АВ). Сначала по этой теореме устанавливаем, в какую сторону направлен вектор 
(проекции скоростей должны иметь одинаковые знаки). Затем, вычисляя эти проекции, находим
(10)
3. Определяем 
. Точка Е принадлежит стержню DE. Следовательно, по аналогии с предыдущим, чтобы определить 
, надо сначала найти скорость точки D, принадлежащей одновременно стержню АВ. Для этого, зная 
и , строим мгновенный центр скоростей (МЦС) стержня AB; это точка С3, лежащая на пересечении перпендикуляров к и , восстановленных из точек А и В (к 
перпендикулярен стержень 1). По направлению вектора 
определяем направление поворота стержня АВ вокруг МЦС С3. Вектор 
перпендикулярен отрезку С3D, соединяющему точки D и C3, и направлен в сторону поворота. Величину uD найдем из пропорции
(11)
Чтобы вычислить С3D и C3B, заметим, что 
прямоугольный, так как острые углы в нем равны 30 и 60º, и что C3B=АВsin30º=0,5AB=BD. Тогда 
является равносторонним и C3B= С3D. В результате равенство (3) дает
(12)
Так как точка Е принадлежит одновременно стержню О2Е, вращающемуся вокруг О2, то 
. Тогда, восставляя из точек Е и D перпендикуляры к скоростям 
и 
, построим МЦС С2 стержня DE. По направлению вектора 
определяем направление поворота стержня DE вокруг центра С2. Вектор 
направлен в сторону поворота этого стержня. Из рис. К3,б видно, что 
Составив теперь пропорцию, найдем, что: 
(13)
4. Определяем w2. Так как МЦС стержня 2 известен (точка С2) и
(14)
5. Определяем 
Точка В принадлежит стержню АВ. Чтобы найти 
, надо знать ускорение какой-нибудь другой точки стержня АВ и траекторию точки В. По данным задачи можем определить 
где числено:
(15)
Вектор 
направлен вдоль АО1, а 
перпендикулярно ползуну, то вектор 
параллелен направляющим ползуна. Изображаем вектор 
на чертеже, полагая, что он направлен в ту же сторону, что и . Для определения 
воспользуемся равенством: 
(16)
Изображая на чертеже векторы 
(вдоль ВА от В к А) и 
(в любую сторону перпендикулярно ВА); числено 
Найдя w3 с помощью построенного МЦС - С3 стержня 3, получим:
(17)
Таким образом, у величин, входящих в равенство (16), неизвестны только числовые значения aB и 
. Их можно найти, спроектировав обе части равенства (16) на какие-нибудь две оси.
Чтобы определить aB, спроектируем обе части равенства (16) на направление АВ (ось х), перпендикулярное неизвестному вектору 
. Тогда получим:
(18)
Подставив в равенство (18) числовые значения всех величин из (15) и (17), найдем, что
аВ = 0,72 м/с2. (19)
Так как аВ > 0, то, следовательно, вектор 
направлен, как показано на рис. К3, б.
6. Определяем e3. Чтобы найти e3, сначала определим 
. Для этого обе части равенства (16) спроектируем на направление, перпендикулярное АВ (ось у). Тогда получим:
(20)
Подставив в равенство (20) числовые значения всех величин из (19) и (15), найдем, что 
= -3,58 м/с2. Знак указывает, что направление 
противоположно показанному на рис. К3, б.
Теперь из равенства 
= e3 l3 получим: 
Ответ: uВ = 0,46 м/с; uЕ = 0,46 м/с; w2 = 0,67 с-1; аВ = 0,72 м/с2; e3 = 2,56 с-2.
Задача К4
Прямоугольная пластина (рис. К4.0–К4.5) или круглая пластина радиуса R=60 см (рис. К4.6-К4.9) вращается вокруг неподвижной оси по закону j=f1(t), заданному в табл. К4. Положительное направление отсчета угла j показано на рисунках дуговой стрелкой. На рис. К4.0, К4.1, К4.2, К4.6, К4.9 ось вращения перпендикулярна плоскости пластины и проходит через точку О (пластина вращается в своей плоскости); на рис. К4.3, К4.4, К4.5, К4.7, К4.8 ось вращения ОО1 лежит в плоскости пластины (пластина вращается в пространстве). По пластине вдоль прямой BD (рис. К4.0-К4.5) или по окружности радиуса R (рис. К4.6-К4.9) движется точка М; закон ее относительного движения, т.е. зависимость s=AM=f2(t) (s выражено в сантиметрах, t - в секундах), задан в таблице отдельно для рис. 0-5 и для рис. 6-9; там же даны размеры b и l. На рисунках точка М показана в положении, при котором s = AM > 0 (при s < 0 точка М находится с противоположной стороны). Требуется определить скорость и ускорение точки в момент времени t1=1c.
Задача К4 – на сложное движение точки. Для ее решения необходимо воспользоваться теоремами о сложении скоростей и ускорений при сложном движении. Прежде чем производить все расчеты, следует по условиям задачи определить, где находится точка М на пластине в момент времени t 1=1c, и изобразить точку именно в этом положении (а не в произвольном, показанном на рисунках к задаче). В случаях, относящихся к рис. К4.6-К4.9, при решении задачи не подставлять числового значения R, пока не будут определены положение точки М в момент времени t 1=1 c (с помощью угла между радиусами СМ и СА в этот момент).
ПРИМЕЧАНИЕ. В задачах на рис. К4.3, К4.4, К4.7, К4.8 вектора 
и 
направлены перпендикулярно плоскости рисунка, поэтому в этих вариантах следует выбрать оси xyz, считая ось z направленной на нас. Направление на нас изображается значком 
, а от нас: 
.
Параметры для решения задачи К4
Таблица К4
| Последняя цифра шрифта | Для всех рисунков j=f1(t) | Для рис. К4.0-К4.5 | Для рис. К4.6-К4.9 | ||
| b, см | s=AM=f2(t) | l | s=AM=f2(t) | ||
| 4(t2-t) | 12 | 50(3t-t2)-64 | R | 2πR (4t2-2t3)/3 | |
| 3t2-8t | 16 | 40(3t2-t4)-32 | 4/3 R | 3πR (2t2-t3)/2 | |
| 6t3-12t2 | 10 | 80(t2-t)+40 | R | 2πR (2t2-1)/3 | |
| t2-2t3 | 16 | 60(t4-3t2)+56 | R | 5πR (3 t-t2)/6 | |
| 10t2-5t3 | 8 | 80(2t2-t3)-48 | R | 2πR (t3-2t)/3 | |
| 2(t2-t) | 20 | 60(t3-2t2) | R | πR (t3-4t)/6 | |
| 5t-4t2 | 12 | 40(t2-3t)+32 | 3/4 R | πR (t3-2t2)/2 | |
| 15t-3t3 | 8 | 60(t-t3)+24 | R | πR (t-5t2)/6 | |
| 2t3-11t | 10 | 15(5t3-t)-30 | R | 2πR (3 t2-1)/3 | |
| 6t-3t3 | 20 | 40(t-2t2)-40 | 4/3 R | 4πR (t2-2t3)/3 |
Пример решения задачи К4. Диск радиуса R (рис. К4) вращается вокруг оси О перпендикулярной плоскости рисунка по закону j = f1(t) (положительное направление отсчета угла j показано на рис. К4 дуговой стрелкой.) По ободу ADB движется точка М по закону s = AM = f2(t); положительное направление отсчета s от A к D.
Дано: R = 0,5 м, j = 2 t 3 - 4 t 2, s = (pR/6)(7 t – 2 t 2)
(j – в радианах, s – в метрах, t – в секундах). Определить: uаб и ааб в момент времени t 1=1c.
Решение. Рассмотрим движение точки М как сложное, считая ее движение по дуге ADB относительным, а вращение диска – переносным движением. Тогда абсолютная скорость 
и абсолютное ускорение 
точки найдутся по формулам:
(21)
где, в свою очередь, 
Определим все характеристики относительного и переносного движений.
1. Относительное движение. Это движение происходит по закону:
s = AM = (pR/6)(7 t – 2 t 2). (22)
Сначала установим, где находится точка М на дуге ADB в момент времени t1. Полагая в уравнении (22) t = 1 c, получим:
или 
Изображаем на рис. К4 точку М1 в положении, определяемом этим углом.
Теперь находим числовые значения uОТ, 
где: rОТ – радиус кривизны относительно траектории, т.е. дуги ADB. Для момента времени t 1 = 1c, учитывая, что R = 0,5 м, получим:
(23)
Знаки показывают, что вектор 
направлен в сторону положительно отсчета расстояния s, а вектор 
- в противоположную сторону; 
направлен к центру О дуги ADB. Изображаем все эти векторы на рис. К4 и К4а.
2. Переносное движение. Это движение (вращение) происходит по закону:
j = 2 t 3 - 4 t 2. Найдем угловую скорость ω и угловое ускорение ε переносного вращения: ω = 
= 6 t 2-8 t, ε = 
= 12 t - 8 и при t 1 = 1 c: 
. (24)
Знаки указывают, что при t 1 = 1 c направление ε совпадает с направлением положительного отсчета угла φ, а направление ω ему противоположно; отметим это на рис. К4 соответствующими дуговыми стрелками. Тогда в момент времени t 1 = 1 c, учитывая равенства (24), получим:
(25)
Изображаем на рис. К4 и К4а векторы 
и 
с учетом направлений ω и ε и вектор 
(направлен к оси вращения).
3. Кориолисово ускоре
