 |
Свойства логических констант
|
|
|
|
Логические операции над высказываниями
Условимся обозначать простые высказывания большими буквами начала латинского алфавита: A, B, C (возможно с индексами: A1, A2, A3 и так далее), а значения истинности высказываний - буквами И (истина) и Л (ложь)[1]), которые называют логическими константами.
Определим операции над высказываниями, которые будут соответствовать союзам (и, или), частице не, словосочетаниям (если …, то …; …тогда и только тогда, когда ….; …если, и только если …; …необходимо и достаточно для… и т.д.) русского языка. Часто союзы, частицу не, указанные словосочетания называют связками. Соответствующие им операции называют логическими операциями, или логическими связками.
Союзу и соответствует операция конъюнкция, обозначаемая нами с помощью символа & и задаваемая таблицей:
| A | B | A&B |
| Л | Л | Л |
| Л | И | Л |
| И | Л | Л |
| И | И | И |
Обоснованием такого способа определения (задания) операции конъюнкции является то, что согласно интуитивному пониманию союза и, составное высказывание типа «A и B» истинно тогда и только тогда, когда истинны оба составляющих его высказывания, на что и указывает последняя строка таблицы. В остальных случаях конъюнкция двух высказываний ложна. Операция конъюнкции обозначается также с помощью символов Ù и × (точка). Иногда знак конъюнкции между высказывания опускают, подобно тому, как в обычной алгебре часто опускают знак операции умножения.
Союзу или соответствует операция дизъюнкция, обозначаемая нами с помощью символа Ú и задаваемая таблицей:
| A | B | AÚB |
| Л | Л | Л |
| Л | И | И |
| И | Л | И |
| И | И | И |
Обоснованием такого способа определения (задания) операции дизъюнкции является то, что согласно интуитивному пониманию союза или, составное высказывание типа «A или B» ложно тогда и только тогда, когда ложны оба составляющие его высказывания, на что и указывает первая строка таблицы. В остальных случаях дизъюнкция двух высказываний истинна.
|
|
|
Приведенное определение операции дизъюнкции соответствует употреблению союза или в русском языке в так называемом соединительном смысле. Но часто этот союз употребляется в разделительном смысле, то есть понимается как «либо A, либо B, но не то и другое вместе». Такому пониманию союза или отвечает следующая таблица, определяющая операцию строгой дизъюнкции, обозначаемой с помощью символа Å:
| A | B | AÅB |
| Л | Л | Л |
| Л | И | И |
| И | Л | И |
| И | И | Л |
Частице не соответствует операция отрицания, обозначаемая символом и задаваемая таблицей:
| A | A |
| Л | И |
| И | Л |
То есть, высказывание A истинно, если высказывание A ложно, и наоборот, ложно, если A истинно.
Словосочетанию «если …, то …» соответствует операция, называемая материальной импликацией и обозначаемая символом É. Материальная импликация задается следующей таблицей:
| A | B | AÉB |
| Л | Л | И |
| Л | И | И |
| И | Л | Л |
| И | И | И |
A называется антецедентом (или условием), B – консеквентом (или следствием) материальной импликации.
Определение материальной импликации (мы будем называть ее просто импликацией) весьма условно можно считать формализацией словосочетания «если …, то …». Дело в том, что словосочетание «если …, то …» выражает в языке не только логическую, но и причинно-следственную связь, которую материальная импликация выразить не может. И, тем не менее, это определение в значительной степени соответствует интуитивному пониманию словосочетания «если …, то …» в смысле логического следования. По крайней мере, высказывание, являющееся импликацией двух высказываний, ложно в том и только том случае, если мы из истины пытаемся сделать (или, как говорят, имплицировать, вывести) ложное заключение (третья строка таблицы).
|
|
|
Словосочетанию «…тогда и только тогда, когда …» (синонимы: «… если и только если …», «… эквивалентно…», «… необходимо и достаточно для …») соответствует логическая операция, называемая эквиваленцией и обозначаемая символом ~. Эквиваленция задается следующей таблицей:
| A | B | A~B |
| Л | Л | И |
| Л | И | Л |
| И | Л | Л |
| И | И | И |
То есть, эквиваленция двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда высказывания либо оба ложны, либо оба истинны.
Примером эквиваленции двух высказываний является высказывание «Четырехугольник является квадратом тогда и только тогда, когда все его стороны и углы равны между собой».
Свойства логических операций
Для обозначения логической равносильности двух высказываний будем использовать символ º. Приведем здесь лишь свойства основных логических операций: конъюнкции, дизъюнкции и отрицания.
Свойства коммутативности
коммутативность конъюнкции: A&B º B&A,
коммутативность дизъюнкции: AÚB º BÚA.
Свойства ассоциативности
ассоциативность конъюнкции: A&(B&C) º (A&B)&C,
ассоциативность дизъюнкции: AÚ(BÚC) º (AÚB)ÚC.
Свойства дистрибутивности
дистрибутивность конъюнкции относительно дизъюнкции:
A&(BÚC) º (A&B) Ú(A&C),
дистрибутивность дизъюнкции относительно конъюнкции:
AÚ(B&C) º (AÚB)& (AÚC).
Свойства логических констант
свойства константы И: A&И º A, AÚИ º A;
свойства константы Л: A&Л º Л, AÚЛ º A.
Законы Де Моргана: (A&B) º AÚB, (AÚB) º A&ØB.
Закон исключенного третьего
(tertium non datur - третьего не дано): AÚA º И.
Закон противоречия: A&A º Л.
Закон снятия двойного отрицания: A º A.
Законы идемпотентности
идемпотентность конъюнкции: A&AºA,
идемпотентность дизъюнкции: AÚAºA.
Законы поглощения A&(AÚB)ºA, AÚ(A&B)ºA.
Используя теперь приведенные свойства и законы, можно осуществлять эквивалентные (тождественные) преобразования формул логики высказываний, подобно тому, как мы преобразовывали формулы теории множеств. Но прежде уточним некоторые понятия и определения.
|
|
|
|
|
|
