Напряжение в поперечных сечениях стержня
Нормальная сила
Но из этой формулы нельзя найти закон распределения нормальных Если на боковую поверхность этого стержня нанести прямоугольную сетку (рис. 2.2, б), то после нагружения поперечные линии а-а, b-b и т.д. переместятся параллельно самим себе, откуда следует, что все поверхностные продольные волокна удлинятся одинаково. Если предположить также, что и внутренние волокна работают таким же образом, то можно сделать вывод о том, что поперечные сечения в центрально растянутом стержне смещаются параллельно начальным положениям, что соответствует гипотезе плоских сечений (гипотезе Бернулли). Значит, все продольные волокна стержня находятся в одинаковых условиях, а следовательно, нормальные напряжения во всех точках поперечного сечения должны быть также одинаковы и равны
где A - площадь поперечного сечения стержня. В сечениях, близких к месту приложения внешних сил, гипотеза Бернулли нарушается: сечения искривляются, и напряжения в них распределяются неравномерно. По мере удаления от сечений, в которых приложены силы, напряжения выравниваются, и в сечениях, удаленных от места приложения сил на расстояние, равное наибольшему из размеров поперечного сечения, напряжения можно считать распределенными по сечению равномерно. Это положение, называемое принципом Сен-Венана, позволяет при определении напряжений в сечениях, достаточно удаленных от мест приложения внешних сил, не учитывать способ их приложения, заменять систему внешних сил статически эквивалентной системой. Например, экспериментально установлено, что во всех трех случаях нагружения стержня (рис. 2.7, а) значения напряжений в сечениях, удаленных от крайних сечений на расстояние не менее высоты сечения
Рис.2.7
Высказанное предположение о равномерном распределении нормальных напряжений в поперечном сечении справедливо для участков, достаточно удаленных от мест: резкого изменения площади поперечного сечения (рис. 2.2, в); скачкообразного изменения внешних нагрузок; скачкообразного изменения физико-механических характеристик конструкций. Нормальные напряжения при сжатии определяют также, как и при растяжении, но считают отрицательными. Следует помнить, что длинные (тонкие) стержни, нагруженные сжимающими силами, могут потерять устойчивость. Расчет стержней на устойчивость рассмотрен в разделе «Устойчивость». В инженерных сооружениях встречаются растянутые или сжатые элементы, имеющие отверстия. В сечениях с отверстием определяют осредненные нормальные напряжения по формуле
где
Деформации и перемещения. Закон Гука Рассмотрим однородный стержень с одним концом, жестко заделанным, и другим - свободным, к которому приложена центральная продольная сила Р (рис. 2.8). До нагружения стержня его длина равнялась Рис. 2.8
Если в нагруженном стержне напряженное состояние является однородным, т.е. все участки стержня находятся в одинаковых условиях, деформация
Если же по длине стержня возникает неоднородное напряженное состояние, то для определения его абсолютного удлинения необходимо рассмотреть бесконечно малый элемент длиной dz (рис. 2.8). При растяжении он увеличит свою длину на величину
В пределах малых деформаций при простом растяжении или сжатии закон Гука записывается в следующем виде (нормальные напряжения в поперечном сечении прямо пропорциональны относительной линейной деформации
Величина Е представляет собой коэффициент пропорциональности, называемый модулем упругости материала первого рода (модуль продольной упругости). Его величина постоянна для каждого материала. Он характеризует жесткость материала, т.е. способность сопротивляться деформированию под действием внешней нагрузки. Из совместного рассмотрения уравнений (2.5) и (2.6) получим:
откуда с учетом того, что
окончательно получим:
Если стержень изготовлен из однородного изотропного материала с Е = const, имеет постоянное поперечное сечение A = const и нагружен по концам силой Р, то из (2.7) получим
Зависимость (2.8) также выражает закон Гука. Знаменатель EA называется жесткостью при растяжении - сжатии или продольной жесткостью. При решении многих практических задач возникает необходимость, наряду с удлинениями, обусловленными действием механических нагрузок, учитывать также удлинения, вызванные температурным воздействием. В этом случае пользуются принципом независимости действия сил, и полные деформации рассматривают как сумму силовой и температурной деформаций:
где
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|