Дифракция от малого круглого отверстия

Глава 21. Дифракция света

Дифракция света. Принцип Гюйгенса-Френеля.

Дифракцией света называется огибание световыми волнами границы непрозрачных тел и проникновение света в область геометрической тени.

Открытие этого явления принадлежит Итальянскому священнику, физику и астроному Ф. Гримальди. Проделав очень маленькое отверстие в ставне, Гримальди поместил на пути выходящего из этого отверстия конуса света непрозрачный предмет. Измерив ширину тени от предмета, он обнаружил, что она отличается от той, которая должна была бы быть при прямолинейном распространении света. Кроме того, края тени оказались окаймленными несколькими цветными полосками.

Через сто с лишним лет Френель установил, что получаемая в результате дифракции картина аналогична интерференционной и также представляет собой чередование минимумов и максимумов освещённости. Причем наиболее отчетливо дифракция света проявляется тогда, когда выполняется следующее условие (условие наблюдения дифракции)

(21.1)

где D – размер препятствия или отверстия, на котором дифрагирует свет, λ - длина волны, ℓ - расстояние от препятствия до экрана, где наблюдается дифракционная картина.

Различают с некоторой степенью условности дифракцию сферических волн (дифракция Френеля) и дифракцию плоских волн (дифракция Фраунгофера). Расчёт и объяснение дифракции света можно сделать, используя принцип Гюйгенса – Френеля.

Согласно Гюйгенсу, каждая точка волновой поверхности, которой достигла в данный момент волна, является центром вторичных волн, их внешняя огибающая будет волновой поверхностью в последующий момент времени. Развивая идеи Гюйгенса и дополняя их новыми соображениями, Френель сформулировал принцип, согласно которому дифракционная картина является результатом интерференции вторичных световых волн, возникающих в каждой точке поверхности, достигнутой к какому-либо моменту данной световой волной (принцип Гюйгенса - Френе ля ).

Таким образом, если, например, свет проходит мимо края какого-либо препятствия, то в области пространства около этого края возникают вторичные волны, которые распространяются по разным направлениям и, интерферируя между собой, дают чередование максимумов и минимумов интенсивности света, в том числе и там, где должна была бы быть тень.

Метод зон Френеля

Пусть плоский фронт волны W, распространяющийся от точечного, расположенного в бесконечности источника света, в некоторый момент находится на расстоянии МО от точки наблюдения М (рис. 5.10) (М — произвольная точка, амплитуду А световых колебаний в которой требуется определить). Во всех точках фронта волны, согласно принципу Гюй­генса - Френеля, возникают элементарные сферические волны, которые распространяются по всем направлениям (вторичные волны) и через некоторое время достигают точки М. Амплитуда колебаний в этой точке определяется векторной суммой амплитуд всех вторичных волн. Для определения результирующей амплитуды всех волн Френель предложил метод разбиения фронта волны на кольцевые зоны, который впоследствии был назван методом зон Френеля (рис.).

Колебания всех точек фронта волны W происходят в одной фазе. В то же время все точки фронта волны находятся от точки М на различных расстояниях.

Обозначим через г₀ кратчайшее расстояние от точки М до фронта волны. Затем разобьем фронт волны на зоны Френеля следующим образом.

Из точки М, увеличивая каждый раз радиус г₀ на λ/2, построим ряд сфер, которые в пересечении с фронтом волны W дадут концентрические окружности радиусов ρ₁ ρ₂, ρ₃- В результате на фронте волны появятся кольцевые зоны, которые называют зонами Френеля.

Определим площади этих зон. Для этого рассмотрим прямоугольные треугольники с основаниями, лежащими на плоскости W с общей вершиной в точке М. Положим ОB = ρ₁, тогда ОВ² = ВМ² - ОМ², т.е.

ρ₁² =(г₀ + λ/2) ² - г₀² = г₀ λ + λ²/4

Так как λ «г₀, то вторым членом правой части уравнения можно пренебречь; следовательно,

ρ₁² =г₀ λ

Аналогично, для второй, третьей зон и т. д.:

ρ ₂² =(г₀ + λ) ² - г₀² = 2г₀ λ + λ² =2г₀ λ

ρ₃² =(г₀ + 3λ/2) ² - г₀² = 3г₀ λ + 9λ²/4=3г₀ λ

для k-й зоны

ρ_k² =kг₀ λ (21.2)

Для оценки амплитуд колебаний определим площади зон:

• для 1-й зоны (круг радиусом ρ₁)

S₁ = π·ρ₁² =π г₀ λ

• для 2-й зоны (кольцо)

S₂ = π·ρ₂² -π·ρ₁² =π г₀ λ

для 3-й зоны (кольцо)

S₃ = π·ρ₃² -π·ρ₂² =π г₀ λ

для k-й зоны

S_k = π г₀ λ (21.3)

Полученные площади зон Френеля говорят о том, что они равновелики, а значит содержат одинаковое количество когерентных источников света.

Очевидно, что колебания, возбуждаемые в точке М двумя соседними зонами, противоположны по фазе, так как разность хода соответственных лучей от этих зон до точки наблюдения М равна λ/2, поэтому при наложении эти колебания должны взаимно ослаблять друг друга. Следовательно, амплитуда А результирующих колебаний, возбужденных волнами, исходящими от всего фронта волны W, может быть представлена в виде знакопеременного ряда:

А=А₀-А₁+А₂-А₃+А₄-А₅ +... (21.4)

[А₀ — амплитуда колебаний в точке М, возбуждаемых действием центральной зоны Френеля; А₁ - амплитуда колебаний, возбуждаемых действием первой зоны; А₂, А₃, А ₄ и т. д.- амплитуды колебаний следующих зон].

Здесь необходимо отметить, что зоны, достаточно далеко удаленные от центра О, посылают в точку М волны в противофазах практически с одинакового расстояния, вследствие чего их действие полностью уничтожается. Это позволяет утверждать, что для определения эффекта в точке М следует учитывать лишь действия центральных зон. В выражении (21.4) все амплитуды от четных зон входят с одним знаком, а от нечетных - с другим. Запишем это уравнение в виде

А=А₀/2+(А₀/2-А₁+А₂/2)+(А₂/2-А₃+А₄/2)+ (21.5)

Можно считать, что результирующая амплитуда в точке М равна среднему арифметическому амплитуд колебаний, создаваемых в этой точке волнами, приходящими от точек соседних k-х зон:

(21.6)

Можно считать, что половина центральной зоны вместе с действием половины второй зоны в точке М компенсирует в ней действие первой зоны, половина второй и четвертой компенсируют третью и т. д., т. е. нескомпенсированным остается лишь действие половины центральной зоны. Иными словами, колебания, вызываемые в точке М волновой поверхностью W, имеют такую же ам­плитуду, как если бы действовала только половина центральной зоны.

При этом условии выражения, заключенные в скобки в формуле (21.6), равны нулю, тогда

(21.7)

Таким образом, амплитуда результирующего колебания в точке М такая, как

если бы действовала только половина центральной зоны Френеля.

Поэтому и говорят, что свет распространяется как бы в узком канале, площадь сечения которого равна площади центральной зоны Френеля.

Отсюда вытекает, во-первых, объяснение прямолинейности распространения света и, во-вторых, объяснение ряда явлений дифракции, наблюдаемой в сферических волнах (дифракция Френеля) и в плоских волнах (дифракция Фраунгофера).

 

Дифракция от малого круглого отверстия

Пусть на пути сферической волны, распространяющейся от точечного источника монохроматического света S (рис. 21.4), поставлена непрозрачная преграда с круглым отверстием радиуса г, точка О - центр отверстия. За отверстием расположен экран, на котором наблюдается дифракционная картина (дифракция Френеля). Выделим на этом экране точку М так, чтобы на одной прямой, перпендикулярной преграде и экрану, оказались точки S, О и М. Зададимся вопросом, какая будет освещённость в точке М?

На рис. 21.4 показано положение волнового фронта в момент достижения волной преграды с отверстием. Из точки М отрезками b₁= b₀ +λ/2, b₁= b₀ +2λ/2, b₁= b₀ +3λ/2,… b_m= b₀ +mλ/2, проведем на волновом фронте окружности. Окружности разобьют участок волнового фронта, который ограничен отверстием (сферический сегмент), на кольцевые зоны Френеля. Отрезок b_m «прочерчивает» окружность, совпадающую с границей отверстия.

Так как лучи, идущие из крайних точек зоны, имеют разность хода в полволны, то колебания от этих двух точек приходят в точку М в противоположной фазе. Для каждой точки одной зоны найдется точка в соседней зоне с разностью хода в полволны. Следовательно, в точке М излучение соседних зон сходится с разностью хода λ /2 и в результате интерференции взаимно «гасятся». Поэтому если число зон, которые укладываются в отверстии, четное, то в точке М будет тем­ное пятно, а если нечетное, то - светлое. Если отверстие открыва­ет всего лишь одну зону или не­большое нечетное число зон, то амплитуда колебаний, а значит, и интенсивность света в точке М больше, чем в случае отсутствия экрана с отверстием. Максимум интенсивности соответствует размеру отверстия в одну зону. Для того, чтобы определить освещённость в точке М необходимо знать число m открываемых отверстием зон Френеля.

Из рисунка видно, что

r² = a ²-(a -h) ² = b²_m-(b₀+h) ² = (b₀+mλ/2) ² - (b₀+h) ²,

где a - радиус волнового фронта, h -высота сферического сегмента.

Раскрыв скобки имеем:

r² = 2 a h-h ² = b₀mλ+m²λ²/4 -2b₀ h -h ²,

отсюда

Полагая, что m не очень велико, можно в числителе пренебречь членом, содержащим λ². В этом приближении получим:

(21.8)

При не слишком больших значениях m можно считать, что высота сферического сегмента значительно меньше радиуса сферической волны: а >>h, поэтому можно пренебречь h ² по сравнению с 2 a h. Отсюда, имеем:

(21.9)

или

(21.10)

Так как соседние зоны Френеля ослабляют друг друга, то если на пути световой волны поставить пластинку, которая перекрывала бы только нечётные (или чётные) зоны, интенсивность света в точке М возрастёт. Такая пластинка называется зонной.

 

123Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: