Дифференциальные уравнения (частично можно добавить из 18 и 19, так как там есть уравнения)

Для эффективного управления или исследования систем автоматического регулирования необходимо располагать адекватным математическим описанием процессов, протекающих как в самой системе, так и в ее элементах.

Под математическим описанием (математической моделью) подразумевают совокупность уравнений и ограничивающих условий, которые в количественной форме описывают зависимость выходных величин от входных в установившемся и переходном режимах.

Уравнение, которое описывает изменение во времени выходной величины системы или элемента в зависимости от изменения входной, называется уравнением динамики. Оно определяет динамический режим системы, который возникает всякий раз, когда на систему действуют возмущения. Переход системы из одного установившегося режима к другому при действии приложенного возмущения или изменения входного управляющего воздействия называется переходным режимом (процессом). В общем случае уравнения динамики являются дифференциальными или интегрально-дифференциальными и полностью описывают поведение системы (элемента) в переходном режиме. В качестве установившегося режима наиболее часто рассматривается состояние равновесия (покоя), которое как частный случай установившегося режима назовем установившимся состоянием. В качестве другого примера установившегося режима можно рассмотреть движение системы с постоянной скоростью.

Уравнения статики отражают функциональную связь между входными и выходными величинами системы в установившемся режиме. Уравнение установившегося состояния представляет собой дифференциальное уравнение нулевого порядка, т.е. алгебраическое уравнение, и оно может быть получено из уравнения динамики при неизменном входном воздействии приравниванием всех производных по времени к нулю.

Как уравнения статики, так и уравнения динамики могут быть линейными и нелинейными. Элемент называется линейным, если его уравнения статики и динамики являются линейными. Если же оба его уравнения (статики и динамики) или хотя бы одно из них является нелинейным, то элемент называется нелинейным.

Анализ и решение нелинейных дифференциальных уравнений связаны со значительными трудностями и возможны только в некоторых частных случаях, когда порядок уравнений невелик. Поэтому в инженерных расчетах часто прибегают к линеаризации нелинейных дифференциальных уравнений, т. е. к замене нелинейных дифференциальных уравнений приближенными линейными, решение и анализ которых значительно проще. Наиболее распространенным методом линеаризации является метод малых отклонений, в основе которого лежит предположение о том, что в процессе регулирования входные и выходные величины изменяются так, что их отклонения от установившихся значений остаются достаточно малыми. В данной работе рассмотрен класс линейных или идеализированных линеаризованных систем.

Дифференциальные уравнения простых элементов можно составить, используя закономерности протекающих в них физических явлений. Такими закономерностями могут быть: закон сохранения вещества (объект регулирования уровня, давления), закон сохранения энергии (объект регулирования температуры), закон действующих масс (объект регулирования химической реакции), закон равновесия электродвижущих сил, законы Ома, Кирхгофа и т. д. Математическое выражение основного закона, определяющего процесс, протекающий в элементе, и является исходным дифференциальным уравнением динамики элемента.

При составлении дифференциальных уравнении сложного объекта или системы этот объект или систему целесообразно расчленить на ряд простейших элементов и для каждого из них составить уравнения статики и динамики. Расчленение на элементы должно производиться так, чтобы выходная величина предыдущего элемента являлась входной величиной последующего элемента. При этом можно найти дифференциальные уравнения объекта или системы путем исключения промежуточных величин. Поскольку в большинстве случаев уравнения элементов не линейны, то дифференциальное уравнение системы, как правило, будет нелинейным. Поэтому последним этапом при составлении уравнения динамики элемента или системы является его линеаризация.

Любой объект системы может быть описан с помощью систем дифференциальных уравнений, которые могут быть сведены к одному дифференциальному уравнению n-ого порядка, связывающему интересующие нас входы и выходы объекта. В общем виде уравнение может быть представлено так:

. (1.10)

Линейные дифференциальные уравнения, используемые для описания динамики элементов и систем автоматического регулирования, можно решить классическим методом или путем применения преобразования Лапласа. Согласно классическому методу, решение линейного неоднородного дифференциального уравнения, по которому определяют изменение величины х_вых (t) во времени при заданном входном воздействии х_вх (t) и известных начальных условиях, можно представить в виде суммы:

, (1.11)

где Х_общ (t) –общее решение однородного дифференциального уравнения; Х_част (t) – частное решение неоднородного дифференциального уравнения (с учетом правой части).

Поскольку общее решение не зависит характера изменения входного воздействия Х _вх (t) и определяется коэффициентами правой части уравнения (2.10), то составляющая Х_общ (t) решения определяет свободное движение системы и называется переходной (свободной) составляющей. Частное решение Х_част (t) определяет вынужденное движение системы, обусловленное действием входного воздействия х_вх (t). Оно зависит как от параметров системы a_i и b_i, так и от закона изменения х_вх (t). Частное решение Х_част (t) называется вынужденной составляющей и характеризует установившийся процесс в системе.

Решение дифференциальных уравнений высоких порядков классическим методом представляет довольно сложную задачу, поэтому в теории автоматического регулирования применяется метод с использованием интегрального преобразования Лапласа.

В частности при решении задач создания систем управления сложными объектами, как правило, решаются две подзадачи:

1) Задача анализа, 2) Задача синтеза системы с заданным качеством.

В обоих случаях оценивается устойчивость системы, точность и быстродействие. Отличие второй подзадачи от первой заключается в том, что в систему вводятся элементы и связи, обеспечивающие достижение требуемого качества управления.

При проектировании систем управления и их анализе широкое применение нашло преобразование Лапласа (операторная форма записи дифференциального уравнения).