Форми подання двійкових чисел у ЕОМ

Двійкові числа в обчислювальних пристроях розміщуються у комірках пам’яті, причому для кожного розряду числа виділяється окрема комірка, що зберігає один біт інформації. Сукупність комірок, призначених для розміщення одного двійкового числа, називають розрядною сіткою. Довжина розрядної сітки (число комірок n у розрядній сітці) обмежена і залежить від конструктивних особливостей обчислювального пристрою. Більшість існуючих електронних обчислювальних пристроїв мають розрядні сітки, що містять 16, 32 або 64 комірок.

Розміщення розрядів числа у розрядній сітці може відбуватися різними способами. Спосіб розміщення визначається формою подання двійкових чисел у ЕОМ. Розрізняють дві форми подання двійкових чисел:із фіксованою комою і з „плаваючою” комою. Іноді ці форми називають відповідно природною і напівлогарифмічною.

Припустимо, що в розрядній сітці необхідно розмістити двійкове число, що містить цілу і дробову частини. Якщо для розміщення цілої частини числа виділяється k комірок n -розрядної сітки, то (якщо не враховувати знак) для розміщення дробової частини залишиться n - k вільних комірок (рис. 1.6).

n

Знак

k

n-k

Рис. 1.6. Форма подання двійкових чисел із фіксованою комою

Така форма подання двійкових чисел називається представленням з фіксованою комою. Дійсно, положення коми строго фіксовано стосовно розрядної сітки. Якщо кількість розрядів у дробовій частині числа перевищують n - k, то деякі молодші розряди виходять за межі розрядної сітки і не будуть сприйматися обчислювальним пристроєм. Отже,будь-яке двійкове число, менше, ніж одиниця молодшого розряду розрядної сітки, сприймається як нуль і називається машинним нулем.

У результаті відкидання молодших розрядів дробової частини числа, розташованої за межами розрядної сітки, виникає похибка подання. Максимальне значення абсолютної похибки подання не перевищує одиниці молодшого розряду сітки.

В універсальних ЕОМ форма з фіксованою комою, у зв’язку з властивою їй низькою точністю, застосовується лише для подання цілих чисел. Основною є форма подання чисел з „плавучою” комою. Її використання дозволяє суттєво розширити діапазон і зменшити відносну похибку.

У цій формі числа подаються у вигляді суми деякого ступеня основи системи числення і цифрової частини, що має вигляд правильного дробу:

,

де p – порядок числа, a – його мантиса. Мантиса і порядок є знаковими числами. Тому для позначення знаків у розрядній сітці відводяться два додаткові розряди. Знак усього числа співпадає із знаком мантиси.

Під час запису двійкового числа у показовій формі в розрядній сітці використовуються дві групи розрядів (без урахування знакових розрядів мантиси і порядку). Перша група (k розрядів) призначена для розміщення коду мантиси, друга (n - k розрядів) – для розміщення коду порядку (рис. 1.7).

n

Знак мантиси

Знак порядку

k

n - k

Рис. 1.7. Форма подання двійкових чисел із „плавучою” комою

Отже, мантиса числа може мати необмежену кількість різних значень, менших за одиницю, при відповідних значеннях порядку (тобто кома може „плавати”). З усієї кількості подань числа у показовій формі те його подання, що не має в старшому розряді мантиси нуля, називають нормалізованим. Всі інші подання є ненормалізованими. У нормалізованій формі значення мантиси завжди більші або дорівнюють 1/2, але не перевищують одиниці.

У обчислювальних пристроях із „плаваючою” комою усі числа зберігаються у нормалізованому вигляді, при цьому не втрачаються молодші розряди мантиси і підвищується точність обчислень. Якщо після виконання будь-якої арифметичної операції результат виявляється ненормалізованим, то перед занесенням числа в пам’ять виконують його нормалізацію, тобто зсув мантиси ліворуч на відповідну кількість розрядів, і зменшення порядку числа на відповідну кількість одиниць.

Показова форма подання чисел має і свої вади, основною з яких є порівняно висока складність виконання арифметичних операцій, а, отже, і більша вимогливість до ресурсів обчислювального пристрою. Це обмежує її застосування, наприклад, у спеціалізованих радіотехнічних обчислювальних пристроях, у системах управління технологічними процесами та обробки вимірювальної інформації у реальному часі.