Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Прямой ход метода Гаусса.

Стр 1 из 2Следующая ⇒

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №1

Матрицы, определители, системы линейных алгебраических уравнений.

I) Даны матрицы и число . Найти матрицу .

1). ,

2). ,

3). ,

4). ,

5). ,

6). ,

7). ,

8). ,

9). ,

10). ,

II) Дана система линейных алгебраических уравнений

а) записать эту систему в матричном виде;

б) найти решение этой системы методом Крамера;

в) найти решение этой системы методом Гаусса;

1). 2).

3). 4).

5). 6).

7). 8).

9). 10).

Векторы. Прямая на плоскости и в пространстве. Плоскость.

1. Известны координаты (см. таблицу 1) в прямоугольной системе координат трех точек , являющихся вершинами треугольника. Изобразить треугольник в этой прямоугольной системе координат и найти:

1.1. координаты векторов , и их длины;

1.2. скалярное произведение векторов , и угол между векторами , ;

1.3. значение параметра , при котором вектор будет перпендикулярен вектору ;

1.4. векторное произведение векторов , и площадь треугольника ;

1.5. каноническое уравнение стороны ;

1.6. уравнение с угловым коэффициентом и угловой коэффициент прямой, проходящей через точку параллельно прямой ;

1.7. параметрическое уравнение и уравнение с угловым коэффициентом высоты ;

1.8. расстояние от точки до прямой ;

1.9. общее уравнение медианы ;

Номер варианта	Координаты точек

2. Известны координаты (см. таблицу 2) в прямоугольной системе координат вершин пирамиды .

2.1. найти смешанное произведение векторов и объем пирамиды ;

2.2. найти каноническое уравнение прямой ;

2.3. найти уравнение прямой, проходящей через параллельно прямой ;

2.4. найти общее уравнение плоскости ;

2.5. найти длину высоты пирамиды, опущенной из ;

Таблица 2

Номер варианта	Координаты точек

Линии второго порядка, полярная система координат, комплексные числа.

1. Определить вид и расположение кривой (сделать чертеж):

1.1. а)

б) в)

1.2. а)

б) в)

1.3. а)

б) в)

1.4. а)

б) в)

1.5. а)

б) в)

1.6. а)

б) в)

1.7. а)

б)

в)

1.8. а)

б) в)

1.9. а)

б) в)

1.10. а)

б)

в)

Пример выполнения заданий варианта контрольной работы №1.

Задача I. Даны матрицы и число . Найти матрицу .

; ; ; .

Решение.

Найдем матрицу , т.е. в нашем случае матрицу . Сначала (в соответствии с определением произведения матриц) находим .

Затем находим :

Теперь можно найти :

Задача II. Дана система линейных алгебраических уравнений

а) записать эту систему в матричном виде;

б) найти решение этой системы методом Крамера;

в) найти решение этой системы методом Гаусса;

Решение.

a) - матричная запись системы уравнений, где

б) Так как , то для решения системы уравнений можно применить метод Крамера. Для этого вначале вычисляем три вспомогательных определителя:

Теперь вычисляем неизвестные:

Ответ: ; ; .

г) Для решения системы уравнений применяем метод Гаусса.

Прямой ход метода Гаусса.

В процессе прямого хода метода Гаусса с помощью алгебраических преобразований, получим систему уравнений, равносильную исходной, основная матрица которой является верхней треугольной матрицей.

Записываем расширенную матрицу системы и выделим каким-либо способом (подчеркнём или выделим полужирным шрифтом) какую-нибудь строку расширенной матрицы, в которой коэффициент при первом неизвестном (при ) отличен от нуля). В рассматриваемом случае выделим полужирным шрифтом (или подчеркнём) первую строку. Напомним, что над строками расширенной матрицы можно производить только следующие действия: разрешается 1) изменять порядок строк (это соответствует изменению порядка уравнений), 2) умножать все элементы строки на любое отличное от нуля число (это соответствует умножению уравнения на это число) и 3) прибавлять к элементам любой строки расширенной матрицы соответствующие элементы любой другой строки, предварительно умноженные на какое-нибудь число (это соответствует прибавлению к одному уравнению системы другого уравнения, умноженного на это число). С помощью таких преобразований каждый раз получается расширенная матрица новой системы, равносильной исходной. Над столбцами расширенной матрицы выполнять какие-либо действия запрещено. Отметим, что имеет смысл все элементы строки расширенной матрицы делить на наибольший общий делитель (НОД) элементов этой строки.

Число, на которые будем умножать все элементы строки, будем помещать напротив соответствующей строки справа от расширенной матрицы.

Таким образом, предыдущая запись означает следующее: ). Элементы выделенной строки умножаем на -6 и прибавляем к соответствующим элементам второй строки, предварительно умноженым на 2. ). Элементы выделенной строки умножаем на 4 и прибавляем к соответствующим элементам третьей строки, предварительно умноженым на 2.

Так как выделенная строка будет использоваться только в процессе обратного хода метода Гаусса, то далее её опускаем.

Делим элементы строки 1 на 26.

Делим элементы строки 2 на 14.

Строки, выделенные полужирным шрифтом, представляют собой уравнения новой системы, которая эквивалентна исходной и основная матрица которой является верхней треугольной матрицей.

12 Следующая ⇒