Обратный ход метода Гаусса.
Теперь решаем полученную систему последовательно 'снизу вверх', начиная с последнего уравнения системы, т.е. записываем выделенные полужирным шрифтом уравнения обычным способом и находим соответствующее неизвестное.
Из равенства
следует, что
.
Далее находим:
.
.
Ответ:
;
;
.
Приведем кратко некоторые определения и утверждения, используемые при решении задач данной контрольной работы.
1. Множество лучей, каждый из которых сонаправлен с одним и тем же лучом, называется направлением.
2. Вектор – направленный отрезок. Каждый вектор на плоскости определяется двумя координатами:
. Каждый вектор в пространстве определяется тремя координатами:
. В дальнейшем все формулы будут даны для случая векторов в пространстве, для получения соответствующей формулы для векторов на плоскости – необходимо считать
.
3. Векторы, лежащие на параллельных прямых, называются коллинеарными.
4. Векторы, лежащие в параллельных плоскостях (или в одной плоскости), называются компланарными.
5. Базисом на плоскости называются любые два неколлинеарные вектора.
6. Базисом в пространстве называются любые три некомпланарные вектора.
7. Если известны координаты начала вектора
и координаты конца вектора
, то координаты вектора
находятся как разности одноименных координат конца и начала вектора:
(или
).
8. Направлением вектора
называется направление луча
.
9. Модуль (или длина) вектора
– это длина отрезка
, следовательно, длину вектора
можно найти по формуле:
.
10. Два вектора называются равными, если они имеют одинаковую длину и одинаковые направления. Два вектора равны тогда и только тогда, когда равны их координаты.
11. Нулевым вектором
называется вектор, начало и конец которого совпадают. Нулевой вектор имеет нулевые координаты.
12. Углом
между ненулевыми векторами называется угол
между их направлениями
.
13. Суммой
двух векторов
и
называется вектор, полученный по правилу треугольника или по правилу параллелограмма. Если известны координаты векторов
и
, то
.
14. Разностью
вектора
и вектора
называется такой вектор
, что
. Если известны координаты векторов
и
, то
.
15. Произведением ненулевого вектора
на число
называется вектор
(или
), удовлетворяющий условиям:
1.
;
2. Если
, то
и
имеют одинаковые направления.
Если
, то
и
имеют противоположные направления.
Если
, то
.
Если
, то
.
16. Если известны координаты вектора
, то
.
17. Два ненулевых вектора
и
коллинеарны тогда и только тогда, когда существует такое число
, что
(это условие равносильно пропорциональности координат векторов
и
:
, где
и
).
18. Если точка
лежит на прямой, проходящей через две точки
и
, и дано отношение
, в котором точка
делит отрезок
, то координаты точки
определяются по формулам:
,
,
.
19. Если точка
является серединой отрезка
(что соответствует
), то координаты точки
определяются по формулам:
,
,
.
20. Скалярным произведением
(или
) двух ненулевых векторов
и
называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла
между ними:
Если хотя бы один из векторов нулевой, то их скалярное произведение равно нулю.
21. Если известны координаты векторов в прямоугольной системе координат
и
, то
.
22. Основные свойства скалярного произведения векторов:
22.1.
для любых векторов
и
;
22.2.
для любых векторов
,
и любого числа
;
22.3.
для любых векторов
,
,
.
23. Два вектора
и
перпендикулярны тогда и только тогда, кода их скалярное произведение равно нулю:
.
24. Прямоугольной проекцией
вектора
на направление вектора
называется число, равное
, где
- угол между векторами
и
. Таким образом,
.
25. Упорядоченная тройка некомпланарных векторов
называется правой (левой), если, отложив эти три вектора от одной точки в пространстве, мы получим, что для наблюдателя, расположенного вдоль третьего вектора
, кратчайший поворот от первого вектора
до второго вектора
виден против движения (по движению) часовой стрелки.
26. Векторным произведением двух векторов
и
называется вектор
, обозначаемый
(или
), удовлетворяющий условиям:
1.
, где
- угол между векторами
и
;
2.
,
.
3. тройка векторов
является правой.
27. Основные свойства векторного произведения векторов:
27.1.
для любых векторов
и
;
27.2.
для любых векторов
,
и любого числа
;
27.3.
для любых векторов
,
,
.
28. Если известны координаты векторов в прямоугольной системе координат
и
, то:
.
29. Площадь
параллелограмма, построенного на векторах
и
, равна длине векторного произведения этих векторов
.
30. Два вектора
и
коллинеарны тогда и только тогда, когда
.
31. Смешанным произведением трех векторов
называется число, обозначаемое
и равное
.
32. Основные свойства смешанного произведения векторов:
32.1.
;
32.2. смешанное произведение векторов линейно по каждому своему аргументу (например, линейность по второму аргументу означает справедливость равенства
для любых векторов
и для любых чисел
)
33. Если известны координаты векторов в прямоугольной системе координат
,
и
, то
.
34. Объем
параллелепипеда, построенного на векторах
, равен модулю смешанного произведения этих векторов:
, причем, если тройка векторов правая (левая), то
(
).
35. Три вектора
будут компланарными тогда и только, когда
.
36. Ненулевой вектор, параллельный прямой, называется направляющим для этой прямой. Заметим, что направляющий вектор прямой определен не однозначно, с точностью до ненулевого постоянного множителя.
37. Ненулевой вектор, перпендикулярный прямой, называется нормальным для этой прямой. Заметим, что нормальный вектор для прямой на плоскости определен не однозначно, с точностью до ненулевого постоянного множителя.
38. В прямоугольной системе координат
на плоскости любая прямая может быть задана уравнением первой степени относительно
и
:
, где
- некоторые действительные числа, причем
, и обратно, любое уравнение такого вида определяет некоторую прямую. Уравнение прямой вида
называется общим уравнением прямой. Вектор
является нормальным вектором данной прямой.
39. Существуют и другие виды уравнений прямой на плоскости, например:
39.1. уравнение прямой с угловым коэффициентом:
. Число
называется угловым коэффициентом данной прямой.
39.2. уравнение прямой по точке
и угловому коэффициенту
:
.
39.3. каноническое уравнение прямой:
, где вектор
- направляющий вектор данной прямой, точка
лежит на данной прямой.
39.4. уравнение прямой на плоскости, проходящей через две заданные точки
и
:
.
39.5. параметрическое уравнение прямой:
где
- направляющий вектор данной прямой, точка
лежит на данной прямой.
40. Если прямые заданы уравнениями
и
, то один из углов
между ними может быть найден из соотношения
, где
и
- нормальные вектора этих прямых. Условие параллельности данных прямых можно записать в виде:
, а условие параллельности – сводится к условию коллинеарности векторов
и
:
.
41. Если прямые заданы уравнениями
и
, то один из углов
между ними может быть найден при помощи угловых коэффициентов:
. Условие параллельности этих прямых можно записать в виде:
, условие перпендикулярности – в виде:
.
42. Расстояние
от точки
до прямой
вычисляется по формуле
.
43. Ненулевой вектор, перпендикулярный плоскости, называется нормальным для этой плоскости. Заметим, что нормальный вектор плоскости определен не однозначно, с точностью до ненулевого постоянного множителя.
44. В прямоугольной системе координат
любая плоскость может быть задана уравнением первой степени относительно
,
,
:
, где
- некоторые действительные числа, причем
, и обратно, любое уравнение такого вида определяет некоторую плоскость. Уравнение плоскости вида
называется общим уравнением плоскости. Вектор
является нормальным вектором данной плоскости.
45. Существуют и другие виды уравнений плоскости, например:
45.1. уравнение плоскости, проходящей через точку
перпендикулярно вектору
:
.
45.2. уравнение плоскости, проходящей через три точки
,
,
, не лежащие на одной прямой:
. Раскрыв определитель, мы получим общее уравнение данной плоскости.
46. Расстояние
от точки
до плоскости
вычисляется по формуле
.
47. Существуют различные виды уравнения прямой в пространстве, например:
47.1. канонические уравнения прямой:
, где вектор
- направляющий вектор данной прямой, точка
лежит на данной прямой.
47.2. уравнения прямой в пространстве, проходящей через две заданные точки
и
:
.
47.3. параметрические уравнения прямой:
где
- направляющий вектор данной прямой, точка
лежит на данной прямой.
47.4. уравнения прямой, заданной как пересечение двух плоскостей:
где
и
- неколлинеарные нормальные вектора соответствующих плоскостей. Направляющий вектор
данной прямой может быть найден по формуле
.
По ходу решений мы будем делать ссылки (в скобках) на соответствующие определения и утверждения из кратких теоретических сведений. Заметим, что под медианой, стороной, высотой и т.д. понимается прямая, содержащая данную медиану, сторону, высоту и т.д.
Решим задачу 1 считая, что даны точки
,
,
.
Задача 1.
Решение. Изобразим точки
,
,
и треугольник
в прямоугольной системе координат
:
1.1. Найдем координаты векторов
,
. Согласно (7), получим:
,
.
Найдем длины этих векторов. Согласно (9), получим:
,
.
Ответ:
,
,
,
.
1.2. Скалярное произведение векторов
и
найдем по формуле из (21):
.
Угол
между векторами
и
найдем, используя (20) и результаты задачи 1.1:
,
.
Ответ:
,
.
1.3. Прямоугольную проекцию
, согласно (24), найдем по формуле
. Используя результаты задач 1.1 и 1.2, получим
.
Ответ:
.
1.4. Вектор
будет перпендикулярным вектору
тогда и только тогда, когда их скалярное произведение будет равно нулю (см. (23)). Используя результаты задачи 1.1 и (16), (13), (7), найдем координаты векторов
и
:
,
.
Найдем скалярное произведение векторов
и
, используя (21):
.
Таким образом, нужное значение
находим из уравнения:
,
.
Ответ:
.
1.5. Найдем векторное произведение векторов
,
и площадь треугольника
. Из задачи 1.1 мы знаем координаты векторов
,
в прямоугольной системе координат
. Следовательно, в прямоугольной системе координат
(в пространстве) координаты этих векторов будут
и
. Найдем их векторное произведение (см. (28)):
.
Площадь
треугольника
равна половине площади
параллелограмма, построенного на векторах
и
, поэтому согласно (29), (9), получим:
.
Ответ:
,
.
1.8. Найдем каноническое уравнение прямой
. Вектор
(см. задачу 1.1) можно считать направляющим вектором искомой прямой, точка
лежит на искомой прямой. Согласно (39.3), каноническое уравнение прямой
можно записать в виде
или
.
Ответ:
.
Замечание: Эту задачу можно было бы решить, используя уравнение прямой на плоскости, проходящей через две заданные точки (39.4).
1.9. Найдем угловой коэффициент прямой
и уравнение с угловым коэффициентом прямой
. Для этого преобразуем каноническое уравнение прямой
из задачи 1.8 к виду уравнения прямой с угловым коэффициентом:
,
,
.
Следовательно, угловой коэффициент прямой
равен
. Так как искомая прямая параллельна прямой
, то угловой коэффициент
искомой прямой равен
(см. 41). Таким образом,
. Точка
лежит на искомой прямой, поэтому для нахождения уравнения с угловым коэффициентом искомой прямой воспользуемся (39.2):
,
.
Ответ:
,
.
1.10. Найдем параметрическое уравнение и уравнение с угловым коэффициентом высоты
. Найдем сначала общее уравнение прямой
, для этого преобразуем уравнение с угловым коэффициентом прямой
из 1.9:
,
.
Следовательно (см. 38), вектор
является нормальным для прямой
. Этот же вектор будет направляющим для высоты
, точка
лежит на рассматриваемой прямой
. Поэтому параметрическое уравнение высоты
(см. 39.5) имеет вид:

Найдем теперь уравнение с угловым коэффициентом высоты
. Так как угловой коэффициент прямой
равен
, то угловой коэффициент
высоты
равен
(см. (41)). Точка
лежит на рассматриваемой прямой
. Следовательно, уравнение высоты
с угловым коэффициентом (см. (39.2)) имеет вид:
,
.
Ответ:
,
.
Замечание: Это решение не единственно возможное. Можно было бы, например, найти уравнение с угловым коэффициентом высоты
, исключив параметр
из параметрического уравнения высоты
и затем преобразовав его.
1.11. Из решения задачи 1.10. нам известно общее уравнение прямой
:
. Расстояние от точки
до прямой
найдем по формуле из (42):
.
Ответ:
.
1.12. Найдем общее уравнение медианы
. Сначала найдем координаты точки
- середины отрезка
. Используя формулы (19), получим:
,
.
Далее найдем каноническое уравнение медианы
, используя точки
и
лежащие на рассматриваемой прямой (см. (39.4)):
,
,
.
Данное уравнение можно записать в равносильной форме:
, тем самым мы получили общее уравнение медианы
.
Ответ:
.
Задача 2.
Решение.
2.1. Найдем координаты векторов
,
,
. Согласно (7), получим:
,
,
.
Найдем смешанное произведение векторов
,
,
(см. 33), вычисляя соответствующий определитель:
.
Объем
пирамиды
есть
часть от объема соответствующего параллелепипеда, поэтому (см. 34):
.
Ответ:
,
.
2.2. Найдем каноническое уравнение прямой
. Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две заданные точки (см. 47.2):
,
.
Ответ:
.
2.3. Найдемпараметрическоеуравнение прямой, проходящей через
параллельно прямой
. Воспользуемся параметрическим уравнением прямой в пространстве (см. 47.3). Вектор
является направляющим для рассматриваемой прямой, точка
лежит на рассматриваемой прямой. Таким образом, параметрическое уравнение прямой, проходящей через точку
параллельно прямой
имеет вид:
.
Ответ:
.
2.4. Найдем общее уравнение плоскости
. Воспользуемся уравнением плоскости, проходящей через три точки (см. 45.2):
,
.
Для того, чтобы получить общее уравнение плоскости
преобразуем определитель в предыдущем равенстве (например, раскрыв его по первой строке):
,
,
.
Ответ:
.
2.5. Длину высоты пирамиды, опущенной из
, найдем как расстояние
от точки
до плоскости
(см. 46). Уравнение плоскости
:
(из задачи 2.4). Таким образом:
.
Ответ:
.
Приведем кратко справочный материал, используемый при решении задач данной контрольной работы.
Линии второго порядка:
1. 1. Окружность радиусом R с центром в точке С′(х0, у0) задается
уравнением: 

2. Эллипс с полуосями а и b, центром в начале координат и
вершинами А, А', В, В', расположенными на осях координат, опреде
ляется простейшим (каноническим) уравнением: 

3. Гипербола с действительной полуосью а и мнимой полуосью b, центром в начале координат и вершинами А и А' на оси Ох имеет следующее каноническое уравнение:


4. Парабола с вершиной в начале координат, симметричная относительно оси Ох, имеет следующее каноническое уравнение: у2 = 2рх, р > 0.

1. Определить вид и расположение кривой (сделать чертеж):
1. Определить вид и расположение кривой
36х2 + 25y2 – 228x – 200y + 76 = 0
(36х2 – 228x) + (25y2– 200y) + 76 = 0
36(х2 – 8x) + 25(y2– 8y) + 76 = 0
36(х2 – 8x+16) – 576 + 25(y2– 8y + 16) – 400 + 76 = 0
36(x – 4)2 + 25(y – 4)2 = 900 поделим обе части уравнения на 900

Получилось уравнение эллипса с центром в точке О′(4;4) и поулосями a = 5, b = 6.

Подробное и полное изложение вопросов, рассматриваемых в контрольной работе можно найти, например, в следующих учебниках и учебных пособиях:
1. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия.
2. Шипачев В.С. Курс высшей математики.
3. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. Полный курс.
4. Александров П.С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры.
5. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры.
Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов.
Рябушко А.П. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике (1 том).
Читайте также:
Воспользуйтесь поиском по сайту: