Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Обратный ход метода Гаусса.

Теперь решаем полученную систему последовательно 'снизу вверх', начиная с последнего уравнения системы, т.е. записываем выделенные полужирным шрифтом уравнения обычным способом и находим соответствующее неизвестное.

Из равенства следует, что .

Далее находим: .

Ответ: ; ; .

Приведем кратко некоторые определения и утверждения, используемые при решении задач данной контрольной работы.

1. Множество лучей, каждый из которых сонаправлен с одним и тем же лучом, называется направлением.

2. Вектор – направленный отрезок. Каждый вектор на плоскости определяется двумя координатами: . Каждый вектор в пространстве определяется тремя координатами: . В дальнейшем все формулы будут даны для случая векторов в пространстве, для получения соответствующей формулы для векторов на плоскости – необходимо считать .

3. Векторы, лежащие на параллельных прямых, называются коллинеарными.

4. Векторы, лежащие в параллельных плоскостях (или в одной плоскости), называются компланарными.

5. Базисом на плоскости называются любые два неколлинеарные вектора.

6. Базисом в пространстве называются любые три некомпланарные вектора.

7. Если известны координаты начала вектора и координаты конца вектора , то координаты вектора находятся как разности одноименных координат конца и начала вектора: (или ).

8. Направлением вектора называется направление луча .

9. Модуль (или длина) вектора – это длина отрезка , следовательно, длину вектора можно найти по формуле: .

10. Два вектора называются равными, если они имеют одинаковую длину и одинаковые направления. Два вектора равны тогда и только тогда, когда равны их координаты.

11. Нулевым вектором называется вектор, начало и конец которого совпадают. Нулевой вектор имеет нулевые координаты.

12. Углом между ненулевыми векторами называется угол между их направлениями .

13. Суммой двух векторов и называется вектор, полученный по правилу треугольника или по правилу параллелограмма. Если известны координаты векторов и , то .

14. Разностью вектора и вектора называется такой вектор , что . Если известны координаты векторов и , то .

15. Произведением ненулевого вектора на число называется вектор (или ), удовлетворяющий условиям:

1. ;

2. Если , то и имеют одинаковые направления.

Если , то и имеют противоположные направления.

Если , то .

16. Если известны координаты вектора , то .

17. Два ненулевых вектора и коллинеарны тогда и только тогда, когда существует такое число , что (это условие равносильно пропорциональности координат векторов и : , где и ).

18. Если точка лежит на прямой, проходящей через две точки и , и дано отношение , в котором точка делит отрезок , то координаты точки определяются по формулам: , , .

19. Если точка является серединой отрезка (что соответствует ), то координаты точки определяются по формулам: , , .

20. Скалярным произведением (или ) двух ненулевых векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними: Если хотя бы один из векторов нулевой, то их скалярное произведение равно нулю.

21. Если известны координаты векторов в прямоугольной системе координат и , то .

22. Основные свойства скалярного произведения векторов:

22.1. для любых векторов и ;

22.2. для любых векторов , и любого числа ;

22.3. для любых векторов , , .

23. Два вектора и перпендикулярны тогда и только тогда, кода их скалярное произведение равно нулю: .

24. Прямоугольной проекцией вектора на направление вектора называется число, равное , где - угол между векторами и . Таким образом, .

25. Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется правой (левой), если, отложив эти три вектора от одной точки в пространстве, мы получим, что для наблюдателя, расположенного вдоль третьего вектора , кратчайший поворот от первого вектора до второго вектора виден против движения (по движению) часовой стрелки.

26. Векторным произведением двух векторов и называется вектор , обозначаемый (или ), удовлетворяющий условиям:

1. , где - угол между векторами и ;

2. , .

3. тройка векторов является правой.

27. Основные свойства векторного произведения векторов:

27.1. для любых векторов и ;

27.2. для любых векторов , и любого числа ;

27.3. для любых векторов , , .

28. Если известны координаты векторов в прямоугольной системе координат и , то:

29. Площадь параллелограмма, построенного на векторах и , равна длине векторного произведения этих векторов .

30. Два вектора и коллинеарны тогда и только тогда, когда .

31. Смешанным произведением трех векторов называется число, обозначаемое и равное .

32. Основные свойства смешанного произведения векторов:

32.1. ;

32.2. смешанное произведение векторов линейно по каждому своему аргументу (например, линейность по второму аргументу означает справедливость равенства для любых векторов и для любых чисел )

33. Если известны координаты векторов в прямоугольной системе координат , и , то .

34. Объем параллелепипеда, построенного на векторах , равен модулю смешанного произведения этих векторов: , причем, если тройка векторов правая (левая), то ().

35. Три вектора будут компланарными тогда и только, когда .

36. Ненулевой вектор, параллельный прямой, называется направляющим для этой прямой. Заметим, что направляющий вектор прямой определен не однозначно, с точностью до ненулевого постоянного множителя.

37. Ненулевой вектор, перпендикулярный прямой, называется нормальным для этой прямой. Заметим, что нормальный вектор для прямой на плоскости определен не однозначно, с точностью до ненулевого постоянного множителя.

38. В прямоугольной системе координат на плоскости любая прямая может быть задана уравнением первой степени относительно и : , где - некоторые действительные числа, причем , и обратно, любое уравнение такого вида определяет некоторую прямую. Уравнение прямой вида называется общим уравнением прямой. Вектор является нормальным вектором данной прямой.

39. Существуют и другие виды уравнений прямой на плоскости, например:

39.1. уравнение прямой с угловым коэффициентом: . Число называется угловым коэффициентом данной прямой.

39.2. уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту : .

39.3. каноническое уравнение прямой: , где вектор - направляющий вектор данной прямой, точка лежит на данной прямой.

39.4. уравнение прямой на плоскости, проходящей через две заданные точки и : .

39.5. параметрическое уравнение прямой: где - направляющий вектор данной прямой, точка лежит на данной прямой.

40. Если прямые заданы уравнениями и , то один из углов между ними может быть найден из соотношения , где и - нормальные вектора этих прямых. Условие параллельности данных прямых можно записать в виде: , а условие параллельности – сводится к условию коллинеарности векторов и : .

41. Если прямые заданы уравнениями и , то один из углов между ними может быть найден при помощи угловых коэффициентов: . Условие параллельности этих прямых можно записать в виде: , условие перпендикулярности – в виде: .

42. Расстояние от точки до прямой вычисляется по формуле .

43. Ненулевой вектор, перпендикулярный плоскости, называется нормальным для этой плоскости. Заметим, что нормальный вектор плоскости определен не однозначно, с точностью до ненулевого постоянного множителя.

44. В прямоугольной системе координат любая плоскость может быть задана уравнением первой степени относительно , , : , где - некоторые действительные числа, причем , и обратно, любое уравнение такого вида определяет некоторую плоскость. Уравнение плоскости вида называется общим уравнением плоскости. Вектор является нормальным вектором данной плоскости.

45. Существуют и другие виды уравнений плоскости, например:

45.1. уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору : .

45.2. уравнение плоскости, проходящей через три точки , , , не лежащие на одной прямой: . Раскрыв определитель, мы получим общее уравнение данной плоскости.

46. Расстояние от точки до плоскости вычисляется по формуле .

47. Существуют различные виды уравнения прямой в пространстве, например:

47.1. канонические уравнения прямой: , где вектор - направляющий вектор данной прямой, точка лежит на данной прямой.

47.2. уравнения прямой в пространстве, проходящей через две заданные точки и : .

47.3. параметрические уравнения прямой: где - направляющий вектор данной прямой, точка лежит на данной прямой.

47.4. уравнения прямой, заданной как пересечение двух плоскостей: где и - неколлинеарные нормальные вектора соответствующих плоскостей. Направляющий вектор данной прямой может быть найден по формуле .

По ходу решений мы будем делать ссылки (в скобках) на соответствующие определения и утверждения из кратких теоретических сведений. Заметим, что под медианой, стороной, высотой и т.д. понимается прямая, содержащая данную медиану, сторону, высоту и т.д.

Решим задачу 1 считая, что даны точки , , .

Задача 1.

Решение. Изобразим точки , , и треугольник в прямоугольной системе координат :

1.1. Найдем координаты векторов , . Согласно (7), получим:

Найдем длины этих векторов. Согласно (9), получим:

Ответ: , , , .

1.2. Скалярное произведение векторов и найдем по формуле из (21):

Угол между векторами и найдем, используя (20) и результаты задачи 1.1:

, .

Ответ: , .

1.3. Прямоугольную проекцию , согласно (24), найдем по формуле . Используя результаты задач 1.1 и 1.2, получим .

Ответ: .

1.4. Вектор будет перпендикулярным вектору тогда и только тогда, когда их скалярное произведение будет равно нулю (см. (23)). Используя результаты задачи 1.1 и (16), (13), (7), найдем координаты векторов и :

Найдем скалярное произведение векторов и , используя (21):

Таким образом, нужное значение находим из уравнения: , .

Ответ: .

1.5. Найдем векторное произведение векторов , и площадь треугольника . Из задачи 1.1 мы знаем координаты векторов , в прямоугольной системе координат . Следовательно, в прямоугольной системе координат (в пространстве) координаты этих векторов будут и . Найдем их векторное произведение (см. (28)):

Площадь треугольника равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах и , поэтому согласно (29), (9), получим: .

Ответ: , .

1.8. Найдем каноническое уравнение прямой . Вектор (см. задачу 1.1) можно считать направляющим вектором искомой прямой, точка лежит на искомой прямой. Согласно (39.3), каноническое уравнение прямой можно записать в виде или .

Ответ: .

Замечание: Эту задачу можно было бы решить, используя уравнение прямой на плоскости, проходящей через две заданные точки (39.4).

1.9. Найдем угловой коэффициент прямой и уравнение с угловым коэффициентом прямой . Для этого преобразуем каноническое уравнение прямой из задачи 1.8 к виду уравнения прямой с угловым коэффициентом:

Следовательно, угловой коэффициент прямой равен . Так как искомая прямая параллельна прямой , то угловой коэффициент искомой прямой равен (см. 41). Таким образом, . Точка лежит на искомой прямой, поэтому для нахождения уравнения с угловым коэффициентом искомой прямой воспользуемся (39.2):

Ответ: , .

1.10. Найдем параметрическое уравнение и уравнение с угловым коэффициентом высоты . Найдем сначала общее уравнение прямой , для этого преобразуем уравнение с угловым коэффициентом прямой из 1.9:

Следовательно (см. 38), вектор является нормальным для прямой . Этот же вектор будет направляющим для высоты , точка лежит на рассматриваемой прямой . Поэтому параметрическое уравнение высоты (см. 39.5) имеет вид:

Найдем теперь уравнение с угловым коэффициентом высоты . Так как угловой коэффициент прямой равен , то угловой коэффициент высоты равен (см. (41)). Точка лежит на рассматриваемой прямой . Следовательно, уравнение высоты с угловым коэффициентом (см. (39.2)) имеет вид:

Ответ: , .

Замечание: Это решение не единственно возможное. Можно было бы, например, найти уравнение с угловым коэффициентом высоты , исключив параметр из параметрического уравнения высоты и затем преобразовав его.

1.11. Из решения задачи 1.10. нам известно общее уравнение прямой : . Расстояние от точки до прямой найдем по формуле из (42):

Ответ: .

1.12. Найдем общее уравнение медианы . Сначала найдем координаты точки - середины отрезка . Используя формулы (19), получим:

Далее найдем каноническое уравнение медианы , используя точки и лежащие на рассматриваемой прямой (см. (39.4)):

Данное уравнение можно записать в равносильной форме: , тем самым мы получили общее уравнение медианы .

Ответ: .

Задача 2.

Решение.

2.1. Найдем координаты векторов , , . Согласно (7), получим:

Найдем смешанное произведение векторов , , (см. 33), вычисляя соответствующий определитель:

Объем пирамиды есть часть от объема соответствующего параллелепипеда, поэтому (см. 34):

Ответ: , .

2.2. Найдем каноническое уравнение прямой . Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две заданные точки (см. 47.2):

Ответ: .

2.3. Найдемпараметрическоеуравнение прямой, проходящей через параллельно прямой . Воспользуемся параметрическим уравнением прямой в пространстве (см. 47.3). Вектор является направляющим для рассматриваемой прямой, точка лежит на рассматриваемой прямой. Таким образом, параметрическое уравнение прямой, проходящей через точку параллельно прямой имеет вид:

Ответ: .

2.4. Найдем общее уравнение плоскости . Воспользуемся уравнением плоскости, проходящей через три точки (см. 45.2):

Для того, чтобы получить общее уравнение плоскости преобразуем определитель в предыдущем равенстве (например, раскрыв его по первой строке):

Ответ: .

2.5. Длину высоты пирамиды, опущенной из , найдем как расстояние от точки до плоскости (см. 46). Уравнение плоскости : (из задачи 2.4). Таким образом:

Ответ: .

Приведем кратко справочный материал, используемый при решении задач данной контрольной работы.

Линии второго порядка:

1. 1. Окружность радиусом R с центром в точке С′(х₀, у₀) задается
уравнением:

2. Эллипс с полуосями а и b, центром в начале координат и
вершинами А, А', В, В', расположенными на осях координат, опреде
ляется простейшим (каноническим) уравнением:

3. Гипербола с действительной полуосью а и мнимой полуосью b, центром в начале координат и вершинами А и А' на оси Ох имеет следующее каноническое уравнение: