Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Непрерывность функции




В точке, на отрезке, в области.

Функция u = f(M) называется непрерывной в точке М0, если она определена в этой точке и ее окрестности и

.

Функция u = f(M) называется непрерывной в области D, если она непрерывна в каждой точке этой области.

Функция одной переменной y = f(x) называется непрерывной на интервале (a, b) или на отрезке [a, b], если она непрерывна в каждой точке этого интервала или этого отрезка.

Для функция одной переменной y = f(x) определение непрерывности в точке, используя теорему о существовании предела, можно сформулировать таким образом:

функция y = f(x) является непрерывной в точке х = х0 , если:

1) функция определена в этой точке х = х0 и ее окрестности;

2) существуют односторонние пределы:

;

3) односторонние пределы равны и равны значению функции в точке х0:

;

Данное определение часто используют на практике при исследовании функции на непрерывность.

Приведем краткую запись определения непрерывности функции в точке х0

 

f – непрерывна в т. х0,если

 

Имеют место следующая

Теорема (об арифметических операциях над непрерывными функциями в точке):

Если функции f1(M), f2(M) непрерывна в точке М0, то будут непрерывными в этой точке также функции:

Из определения непрерывности функции в точке , следует, что символы предела и функции можно переставить, если функция непрерывна в точке , то есть

.

Точки разрыва функции одной переменной, их классификация

 

В предыдущем разделе введено понятие функции непрерывной в точке:

Функция y = f(x) является непрерывной в точке х = х0 , если:

1) она определена в этой точке х = х0 и ее окрестности;

2) существуют односторонние пределы:

;

3) односторонние пределы равны и равны значению функции в точке х0:

;

 

Таким образом, для непрерывной функции в точке х необходимо и достаточно, чтобы

 

 

Функция имеет точкуразрыва, если хотя бы одно из условий 1)-3)

не выполнено в точке х

Введем следующую классификацию точек разрыва:

 

§ Точка называется точкой разрыва 1го рода, если существует

-односторонние пределы, они конечны, но не равны друг другу

(разрыв конечного скачка);

-односторонние пределы равны, но не равны значения функции в точке (устранимый разрыв).

Лекция 9

Свойства функций, непрерывных на отрезке

Теорема 1 (об ограниченности непрерывной функции)

Если функция непрерывна на отрезке , то она ограничена на этом отрезке: k≤ f(x)≤K

Теорема 2 (теорема Вейерштрасса).

Если функция непрерывна на отрезке , то она достигает на этом отрезке наименьшего значения и наибольшего значения

Теорема 3 (теорема Больцано-Коши).

Если функция непрерывна на отрезке и значения ее на концах отрезка и имеют противоположные знаки, то есть f(a) f(b) < 0,

то внутри отрезка найдется точка такая, что .

Теорема 4 (о непрерывности основных элементарных функций).

Основные элементарные функции непрерывны в области определения.

 

Аналогичная теорема имеет место для элементарных функций, то есть функций, полученных из основных элементарных с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и суперпозиции (функция от функции).

Теорема 5 (о непрерывности элементарных функций).

Элементарные функции непрерывны в области определения

Теорема 6 (о промежуточных значениях непрерывной функции).

Пусть функция непрерывна на некотором отрезке (в том числе бесконечном). Если в двух каких- либо точках этого отрезка а и в функция принимает различные значения: f(a)=A; f(b)=B, то каково бы ни было С, лежащее между А и В, найдется x , лежащее между а и b, что f(x )= C.

Непрерывная функция, переходя от одного значения к другому, принимает хотя бы раз и всякое промежуточное значение.

Поделиться:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...