Непрерывность функции
⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 2 В точке, на отрезке, в области. Функция u = f(M) называется непрерывной в точке М0, если она определена в этой точке и ее окрестности и
Функция u = f(M) называется непрерывной в области D, если она непрерывна в каждой точке этой области. Функция одной переменной y = f(x) называется непрерывной на интервале (a, b) или на отрезке [a, b], если она непрерывна в каждой точке этого интервала или этого отрезка. Для функция одной переменной y = f(x) определение непрерывности в точке, используя теорему о существовании предела, можно сформулировать таким образом: функция y = f(x) является непрерывной в точке х = х0 , если: 1) функция определена в этой точке х = х0 и ее окрестности; 2) существуют односторонние пределы:
3) односторонние пределы равны и равны значению функции в точке х0:
Данное определение часто используют на практике при исследовании функции на непрерывность. Приведем краткую запись определения непрерывности функции в точке х0
Имеют место следующая Теорема (об арифметических операциях над непрерывными функциями в точке): Если функции f1(M), f2(M) непрерывна в точке М0, то будут непрерывными в этой точке также функции: Из определения непрерывности функции в точке
Точки разрыва функции одной переменной, их классификация
В предыдущем разделе введено понятие функции непрерывной в точке: Функция y = f(x) является непрерывной в точке х = х0 , если: 1) она определена в этой точке х = х0 и ее окрестности; 2) существуют односторонние пределы:
3) односторонние пределы равны и равны значению функции в точке х0:
Таким образом, для непрерывной функции в точке х
Функция имеет точкуразрыва, если хотя бы одно из условий 1)-3) не выполнено в точке х Введем следующую классификацию точек разрыва:
§ Точка -односторонние пределы, они конечны, но не равны друг другу
-односторонние пределы равны, но не равны значения функции в точке Лекция 9 Свойства функций, непрерывных на отрезке Теорема 1 (об ограниченности непрерывной функции) Если функция Теорема 2 (теорема Вейерштрасса). Если функция Теорема 3 (теорема Больцано-Коши). Если функция непрерывна на отрезке то внутри отрезка найдется точка Теорема 4 (о непрерывности основных элементарных функций). Основные элементарные функции непрерывны в области определения.
Аналогичная теорема имеет место для элементарных функций, то есть функций, полученных из основных элементарных с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и суперпозиции (функция от функции). Теорема 5 (о непрерывности элементарных функций). Элементарные функции непрерывны в области определения Теорема 6 (о промежуточных значениях непрерывной функции). Пусть функция непрерывна на некотором отрезке (в том числе бесконечном). Если в двух каких- либо точках этого отрезка а и в функция принимает различные значения: f(a)=A; f(b)=B, то каково бы ни было С, лежащее между А и В, найдется x Непрерывная функция, переходя от одного значения к другому, принимает хотя бы раз и всякое промежуточное значение.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|