Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

И. Превращение обычной материи в черные дыры

Долгий срок жизни (47) железных звезд верен лишь в том случае, если в ходе этого срока они не превратятся в черные дыры. Для коллапса любого сгустка материи в черную дыру верны те же формулы, что и для коллапса в нейтронную звезду. Единственная разница в том, что предел интегрирования в интеграле действия (31) теперь равен не радиусу нейтронной звезды, а радиусу черной дыры. Основная часть интеграла, происходящая из больших значений х, в обоих случаях одинакова. Таким образом, время коллапса материи в черную дыру задается формулой (46). Однако имеется важное изменение в значении N. Если возможны маленькие черные дыры, то превратиться в черную дыру может небольшая часть звезды. Сформировавшись, она в короткий срок поглотит остальную звезду. Срок коллапса звезды задается формулой:

T = exp(120N_B^4/3)T₀, (48)

где N_B — число электронов в куске железа, массой равном минимальной массе М_в черной дыры. Срок (48) таков же для любого сгустка материи массой больше М_в. Сгустки материи, обладающие массой меньшей, чем М_в, абсолютно стабильны. Подробную дискуссию о превращении материи в черные дыры см. у Harrison, Thorne, Wakano, and Wheeler (1965).

Числовое значение срока (48) зависит от значения М_в. Все, что мы знаем точно — это:

0≤М_В ≤М_С, (49)

где

М_с = (hc/G)3/2m_p^-2 = 4∙10³³g (50)

— это масса Чандрасекара. Черные дыры должны существовать для любой массы, большей М_с, поскольку звезды с массой, большей М_с, не имеют стабильного финального состояния и неминуемо должны коллапсировать.

Приведем четыре гипотезы, касающиеся М_в.

М_в = 0. Существуют черные дыры произвольно малой массы, и формула (48) бессмысленна. В этом случае вся материя нестабильна и должна коллапсировать в достаточно короткий срок, как предположил Зельдович (Zeldovich, 1977).

М_в равна массе Планка:

М_в = M_PL = (hc/G)^1/2 = 210–5g. (51)

Такое значение М_в предполагает теория излучения черных дыр, предложенная Хокингом (Hawking, 1975), согласно которой каждая черная дыра теряет массу, пока не достигнет массы порядка M_PL, после чего исчезает во взрыве радиации. В этом случае формула (48) дает

М_в равна квантовой массе:

M_B=M_Q = (hc/Gm_p) = 3∙10¹⁴g, (53)

как предполагают Harrison, Thorne, Takano и Wheeler (1965). Здесь M_Q — масса самой маленькой черной дыры, для которой имеет смысл классическое определение. Только для масс больше M_Q физически оправдана формула преодоления барьера (31). Если мы принимаем (53), то

М_в равна массе Чандрасекара (50). В этом случае срок коллапса звезды в черную дыру будет того же порядка, что и срок коллапса в нейтронную звезду (47).

Долгосрочное будущее вселенной во многом зависит от того, какая из этих альтернатив верна. Если верно (iv), звезды могут превратиться в черные дыры, а затем рассеяться чистой радиацией, но массы планетарного размера будут существовать вечно. Если верно (iii), планеты также исчезнут в срок (54), но останутся стабильными материальные объекты массой до нескольких миллионов тонн. Если верно (ii), объекты размером с человека исчезнут в срок (52), но пылинки диаметром менее 100 μ будут существовать вечно. Если верно (i), исчезнут все материальные объекты без исключений, останется лишь радиация.

Если бы мне предложили выбрать самую вероятную альтернативу, я бы выбрал (ii). (iii) и (iv) кажутся мне маловероятными, поскольку противоречат теории Хокинга об излучении черных дыр. (i) представляется невероятной, поскольку трудно понять, почему протон, способный распасться, не может распасться быстро. Однако сейчас мы так мало знаем, что не можем исключать ни одной из этих четырех возможностей.

Таблица 1. Сроки протекания физических процессов

Результаты этой лекции суммированы в таблице 1. Этот список, в котором перечислены временные сроки физических процессов, не претендует на полноту. Несомненно, в те же и даже более продолжительные сроки могут происходить и многие другие физические процессы, не упомянутые мною. Основное заключение, которое я хотел вывести из своего анализа, следующее: насколько бы мы не заглянули в будущее, мы видим там какие‑то события. В открытой космологии история не имеет конца.

Лекция III. Биология

Обращаясь к истории жизни в прошлом, мы видим, что на возникновение и развитие нового вида уходит около 10^б лет, нового рода — около 10⁷ лет, нового класса — около 10⁸ лет, нового типа — около 10⁹ лет; и, наконец, менее 10^ю лет потребовалось на возникновение и развитие жизни в целом, от первых одноклеточных существ до homo sapiens. Если в будущем жизнь продолжит развиваться с той же скоростью, невозможно поставить пределы тому многообразию физических форм, которого она может достигнуть. Какие перемены, достойные встать рядом с переменами прошлого, принесут нам следующие 10¹⁰ лет? Вполне возможно, что за этот период жизнь сбросит с себя оболочку из плоти и крови и воплотится в межзвездном темном облаке (Hoyle, 1957) или в разумном компьютере (Čapek, 1923).

Перечислим основные вопросы, касающиеся природы жизни и сознания:

Что является основой сознания — материя или структура?

Возможны ли разумные темные облака (или компьютеры)?

Применимы ли в биологии законы масштабирования?

Мы не знаем, как ответить на эти вопросы. Но это не значит, что они не имеют ответов вообще. Вполне возможно, что прогресс в экспериментальной биологии позволит нам достаточно скоро найти ответы.

Позвольте мне подробнее остановиться на значении вопроса (i). Мое сознание каким‑то образом связано с набором органических молекул у меня в голове. Вопрос в том, зависит ли существование моего сознания от этого конкретного набора молекул или только от их структуры. Иными словами, если создать копию моего мозга с той же структурой, но из другого материала, будет ли она думать, как я?

Если ответ на первый вопрос — «материя», значит, жизнь и сознание никогда не смогут оторваться от плоти и крови. В этом случае на вопросы (ii) и (iii) ответы отрицательные. Жизнь может существовать только в теплой среде, при наличии жидкой воды и достаточного количества свободной энергии, необходимой для поддержки постоянного уровня обмена веществ. В таком случае, поскольку запасы энергии в галактике конечны, конечно и существование жизни. По мере расширения и остывания вселенной запасы свободной энергии, требуемой жизнью для обмена веществ, неизбежно истощатся.

Поскольку я придерживаюсь оптимистической философии, то принимаю как рабочую гипотезу, что ответ на вопрос (i) — «структура». Это значит, что жизнь свободна принимать любое материальное воплощение, наилучшим образом отвечающее ее целям. Тогда, при утвердительных ответах на вопросы (ii) и (iii), становятся возможны количественные прикидки относительно будущего жизни во вселенной. Если выяснится, например, что материя защищена от превращения в черные дыры, только будучи раздроблена на пылинки по несколько микронов в диаметре, тогда, очевидно, наилучшей формой для существования жизни в отдаленном будущем станет нечто вроде «темного облака» Хойла: собрание пылевых частиц, обладающих положительными и отрицательными зарядами, самоорганизующихся и общающихся между собой с помощью электромагнитных сил. Мы не можем представить себе в деталях, как это облако будет поддерживать то состояние динамического равновесия, которое мы зовем жизнью. Но и архитектуру живой клетки протоплазмы мы никогда не смогли бы себе представить, если бы ее не увидели.

Чтобы предоставить конкретное описание того, как жизнь может адаптироваться к низким температурам, мне необходимо вывести закон масштабирования, независимый от конкретного материального воплощения жизни. Вот строгая формулировка моего закона:

Гипотеза биологического масштабирования. Если мы копируем живое существо, так что одно квантовое состояние копируется другим квантовым состоянием и гамильтониан копии равен

НC = λUHU-1, (55)

где Н — гамильтониан существа, U — унитарный оператор, а λ — положительный масштабный фактор; и если окружающая среда копируется таким же образом, так что температуры окружающей среды оригинала и копии равняются соответственно Т и λT, то копия живет и является субъективно идентичной оригиналу, с той лишь разницей, что скорость всех ее жизненных функций снижается в соответствии с тем же фактором λ.

Достоверность этой гипотезы обеспечивает структура уравнения Шредингера, где время и энергия действуют как взаимосвязанные переменные. В настоящее время это чисто теоретическая гипотеза, никакая экспериментальная ее проверка невозможна. Дабы избежать неверного понимания, подчеркну, что закон масштабирования неприменим к изменениям уровня обмена веществ в данном организме как функции от температуры. Например, когда змея или ящерица меняют температуру тела, скорость их обмена веществ зависит от Т скорее экспоненциально, чем линейно. Линейный закон масштабирования применим к набору копий змеи, каждая из которых приспособлена к определенной температуре. К отдельной змее с изменяющимся Т он отношения не имеет.

Итак, с этого момента я считаю гипотезу масштабирования валидной и намерен рассмотреть ее последствия для возможностей жизни. Первое следствие — это то, что субъективное время, переживаемое живым существом, не является физическим временем t, но определяется по формуле:

u(t) = f ∫₀^t θ(f') dt', (56)

где θ(t) — температура существа, a f = (300 deg sec)^-1 — фактор шкалы, позволяющей сделать и безразмерным. Я называю и «субъективным временем». Второе следствие временного закона — то, что любое существо характеризуется числом Q, обозначающим скорость производимой им энтропии в единицу субъективного времени. Если энтропия измеряется в единицах информации или битах и если и измеряется в «моментах сознания», то Q — число, обозначающее объем информации, достаточный для того, чтобы поддержать жизнь существа на мгновение, достаточное для мысли: «Cogito, ergo sum» [я мыслю — следовательно, существую]. Я называю Q сложностью живого существа. Например, при температуре 300 К человек расходует мощность около 200 ватт, причем каждый момент сознания продолжается около секунды. Таким образом, Q человека равно

Q = 10²³ бит. (57)

Таким образом, Q — это единица сложности молекулярных структур, задействованных в единичном акте человеческого сознания. Для человеческого рода в целом

Q = 10³³ бит (58)

— число, сообщающее нам, какое множество материальных ресурсов требуется для поддержания жизни разумного сообщества.

Существо или сообщество существ с данным Q и данной температурой θ будет тратить энергию со скоростью:

m = kfQθ². (59)

Здесь m — скорость обмена веществ, измеряемая в эргах в секунду, k — константа Больцмана, a f — коэффициент, использовавшийся в (56). Важно отметить, что m пропорционально квадрату θ, причем один фактор θ происходит из взаимоотношений между энергией и энтропией, а второй фактор θ — из принятой зависимости скорости жизненных процессов от температуры.

Я предполагаю, что жизнь свободна выбирать себе температуру θ(t) таким образом, чтобы максимально увеличить свои шансы на выживание. Существуют два физических ограничения на θ(t). Первое — θ(t) всегда должна быть выше температуры универсальной фоновой радиации, являющейся самой низкой из достижимых температур. Иначе говоря,

θ(t) >aR^-1, а = 3∙10²⁸ deg cm, (60)

где R — радиус вселенной, изменяющийся в зависимости от t, согласно (7) и (8). В настоящее время условие (60) удовлетворяется со 100–кратным запасом. Второе ограничение θ(t) — это то, что физический механизм может существовать, лишь выделяя в пространство огромное количество лишнего тепла, возникающего в результате обмена веществ. Чтобы сформулировать второе ограничение количественно, примем, что лишнее тепло удаляется из организма посредством излучения и что единственная значимая форма излучения — электромагнитное. Тогда мы получаем абсолютный верхний предел

I(θ)<2γ(Ne²/mh²c³) (kθ)³ (61)

мощности, которая может испускаться материальным источником, содержащим в себе N электронов, при температуре Θ. Здесь

— высота максимума спектра планковского излучения. Поскольку формулы (61) я в учебниках не нашел, приведу краткое доказательство, используя статью Бета и Сэлпитера (Bethe and Salpeter, 1957). Формула мощности, выделяемой излучением электрического диполя, следующая:

Здесь p — поляризационный вектор фотона, испускаемого внутри угла dΩ, i — начальное, a j — конечное состояния излучателя,

ρ_i = Z^-1exp (-Е_i/kθ) (64)

— вероятность, что излучатель изначально находится в состоянии i,

ω_ij=h^-1(E_i-E_j) (65)

— частота фотона, a Dij — матричный элемент дипольного момента излучателя между состояниями i и j. Сумма (63) определяется только между парами состояний (i, j), причем

Е_i >Е_j. (66)

Теперь у нас есть точное правило суммирования дипольных моментов:

Однако использовать формулу (67) для нахождения связи с (63) следует с осторожностью, поскольку некоторые члены в (67) отрицательные. Здесь может помочь следующая хитрость. В каждом члене (63) ω^, согласно (66), положительно; таким образом, (62) дает нам:

ρ_iω_ij³< γρ_ί (kθ/h)³(exp(hω_ij / kθ) - 1) = γ (ρ_j - ρ_i) (kθ/h)\ (68)

Таким образом, из (63) следует:

Теперь индексы суммирования (i, j) можно поменять в той части формулы (69), которая содержит ρ_i. Получаем результат:

где суммирование теперь проводится по всем (i, j) независимо от того, выполняется (66) или нет. Правило суммирования (67) можно затем использовать в (70) и получить результат (61).

Это доказательство (61) предполагает, что все частицы, кроме электронов, обладают такой большой массой, что при расчетах генерируемого излучения ими можно пренебречь. Оно предполагает также, что можно пренебречь магнитным дипольным и многополюсным излучением. Интересно было бы узнать, можно ли доказать (61), не используя дипольное приближение (63).

С первого взгляда может показаться странным, что правая сторона (61) пропорциональна θ³, а не θ⁴, поскольку стандартная формула Стефана–Больцмана для мощности, испускаемой черным телом, пропорциональна θ⁴. Однако в этом случае формула Стефана–Больцмана неприменима, поскольку она требует от излучателя оптической плотности. Максимум испускаемой мощности, заданный (61), может быть достигнут, только если излучатель оптически прозрачен.

Сделав это небольшое отступление в область физики, вернемся к биологии. Второе ограничение на температуру θ связано с тем, что скорость траты энергии (59) не должна превышать мощность (61), способную выделяться в пространство. Это ограничение накладывает на нас нижний температурный предел:

kθ >(Q/N)ε = (Q/N) 10 ²⁸ erg, (71)

ε = (137/2γ)(hf/k)mc², (72)

θ >(Q/N) (ε/κ) = (Q/N) 10^–12 deg. (73)

Соотношение (Q/N) между сложностью сообщества и числом электронов, находящихся в его распоряжении, не может быть произвольно мало. Для современного человечества, с Q, заданным (58), и

N= 10⁴² (74)

(количество электронов в биосфере земли), соотношение равно 10–9. С течением развития и усложнения общества это соотношение скорее увеличивается, чем уменьшается. Таким образом, (73) и (59) предполагают более низкий предел скорости излучения энергии для общества заданной сложности. Поскольку общий объем энергии, доступной сообществу, конечен, конечно и время его существования. Мы пришли к печальному заключению, что одного замедления обмена веществ, описанного в моей гипотезе биологического времени, недостаточно для того, чтобы сообщество жило вечно.

К счастью, у жизни есть и другая стратегия, дающая надежду избегнуть печальной участи, а именно впадение в спячку. Обмен веществ может совершаться с перерывами; при этом излучение лишней энергии может не прерываться и в периоды спячки. В активной фазе жизнь может находиться в термальном контакте с излучателем при температуре θ. В спячке излучатель может по–прежнему сохранять температуру θ, но сама жизнь — поддерживать гораздо более низкую температуру, так что обмен веществ, в сущности, остановится.

Предположим, что сообщество проводит часть g(t) своего времени в активной фазе, а часть [1—g(t)] в спячке. Циклы активности и спячки должны быть достаточно коротки, чтобы значения g(t) и θ(t) не испытывали значительных колебаний в течение одного цикла. Формулы (56) и (59) больше не работают. Вместо них субъективное время определяется формулой

u(t) = f∫₀^t g(t') θ(t') dt', (74)

и средняя скорость излучения энергии равняется

m = kfQgθ². (75)

Ограничение (71) заменяется

θ(t) >(Q/N) (ε/k) g(t). (76)

Жизнь выделяет мощность в соответствии с ограничением (61), увеличивая продолжительность жизненных циклов пропорционально снижению температуры.

Приведем пример возможной стратегии долгоживущего сообщества. Мы можем удовлетворить условиям (60) и (76) в широких пределах, если примем

g(t) = (θ(t)/θ₀) = (t/t₀)^-α, (77)

где θ₀ и t₀ — нынешняя температура жизни и нынешний возраст вселенной. Экспонента а должна лежать в пределах

1/3< α< 1/2. (78)

Для большей определенности примем

α = 3/8. (79)

Тогда, согласно (74), получаем субъективное время

u(t) = A(t/t_o)^1/4, (80)

где

A = 4fθ₀t₀= 10¹⁸ (81)

— текущий возраст вселенной, измеряемый в моментах сознания. Средняя скорость излучения энергии, согласно (75), равняется

m(t) = kfQθ₀² (t/t₀)^-9/8. (82)

Общее количество энергии, переработанной от момента t0 до бесконечности, равняется

∫_t0^∞ m(t) dt = BQ, (83)

B = 2Akθ₀ = 6∙10⁴ erg. (84)

Этот пример показывает, что с помощью стратегии спячки жизнь может достигнуть одновременно двух своих главных целей. Во–первых, согласно (80), субъективное время бесконечно; хотя с расширением вселенной биологические часы замедляются и начинают работать с перерывами, субъективное время длится вечно. Во–вторых, согласно (83), общее количество энергии, требуемой для бесконечного выживания, конечно. Условий (78) достаточно, чтобы сделать интеграл (83) сходящимся, а интеграл (84) расходящимся при t —> ∞.

Согласно (83) и (84), запас свободной энергии, необходимой для бесконечного выживания сообщества со сложностью (58) современного человечества, начиная с настоящего времени и до бесконечности, составляет порядка

BQ = 6∙10³⁷ erg (85)

— примерно столько же энергии, сколько излучает солнце за восемь часов. Энергетических ресурсов галактики хватит, чтобы вечно поддерживать сообщество со сложностью в 1024 раз больше, чем наше.

Эти заключения валидны для открытой космологии. Интересно отметить, что в закрытой космологии ситуация совсем другая. Если жизнь попытается выжить в течение бесконечного субъективного времени в закрытой космологии, ускоряя свой обмен веществ по мере сжатия вселенной и возрастания температуры фонового излучения, отношения (56) и (59) сохранятся, но физическое время t будет иметь конечную продолжительность (5). Если

τ = 2πТ₀ - t, (86)

то температура фонового излучения —

θ_R(t) = a(R(t))^-1 (87)

пропорциональна τ ^-2/3 при τ—>0, благодаря (2) и (3). Если температура θ(t) жизни остается близкой к θ_R при τ—>0, то интеграл (56) конечен, а интеграл (59) бесконечен. У нас имеется бесконечная необходимость в энергии для достижения конечного субъективного срока существования. Если θ(t) стремится к бесконечности медленнее, чем θ_R, общая протяженность субъективного времени остается конечной. Если θ(t) стремится к бесконечности быстрее, чем θ_R, энергетические требования для обмена веществ остаются бесконечными. Биологические часы никогда не ускоряют свой ход настолько, чтобы втиснуть бесконечное субъективное время в конечную вселенную.

С чувством облегчения я возвращаюсь в бесконечный простор открытой вселенной. Нет нужды подчеркивать частичный и предварительный характер заключений, представленных мною в этой лекции. Я всего лишь очень грубо очертил некоторые из физических проблем, с которыми может столкнуться жизнь в попытке выжить в холодной вселенной. Я даже не пытался справиться со всем множеством вопросов, которые возникают, едва пытаешься представить в деталях архитектуру жизненной формы, приспособленной к сверхнизким температурам. Будут ли в низкотемпературных системах существовать функциональные эквиваленты мышц, нервов, рук, голоса, глаз, ушей, мозга и памяти? На эти вопросы у меня нет ответов.

Впрочем, о памяти можно кое‑что сказать, не вдаваясь в детальное обсуждение проблем архитектуры, поскольку память — понятие абстрактное. Способность к запоминанию можно описать количественно, в виде определенного числа битов информации. Мне хотелось бы, чтобы наши потомки были снабжены не только субъективно бесконечно долгой жизнью, но и безмерно возросшей вместительностью памяти. Быть бессмертным, но с конечной памятью — что в этом хорошего? Едва ли есть смысл в бессмертии, если придется стирать воспоминания о своем прошлом, чтобы освободить место для нового опыта. Существуют две формы памяти, известные физикам: цифровая и аналоговая. Все современные компьютерные технологии построены на цифровой памяти. Но цифровая память принципиально ограничена числом атомов, используемых для ее постройки. Общество, чьи материальные ресурсы конечны, никогда не сможет создать цифровую память, не имеющую предельной вместимости. Следовательно, цифровая память не подходит для нужд жизненной формы, рассчитывающей на вечную жизнь.

К счастью, у аналоговой памяти, основанной на фиксированном числе компонентов в расширяющейся вселенной, таких ограничений нет. Например, такое физическое явление, как угол между двумя звездами в небесах, может быть использовано как единица аналоговой памяти. Вместимость этой единицы памяти равна числу значимых двоичных чисел, которыми может быть измерен этот угол. По мере того как вселенная расширяется и звезды редеют, число значимых чисел в угле увеличивается логарифмически. Значения атомных частот и уровней энергии в принципе могут быть измерены множеством значимых цифр, пропорциональным (log t). Следовательно, бессмертной цивилизации нужно будет найти способ закодировать свои архивы в аналоговой памяти, вместимость которой возрастает как (log t). Такая память наложит жесткие ограничения на получение вечных новых знаний, но по крайней мере не преградит им путь вовсе.

Лекция IV. Коммуникация

В этой последней лекции я разберу проблему коммуникации между двумя сообществами, разделенными значительным расстоянием в открытой вселенной, описываемой формулой (6). Я предполагаю, что они общаются друг с другом с помощью электромагнитных сигналов. Без потери общности можно считать, что сообщество А, двигаясь по мировой линии χ=0, передает сигнал, а сообщество В, двигаясь по линии с координатами χ=η, его получает. Сигнал, переданный А во временной координате ψ = ξ, В получает во временной координате ψ = ξ + η. Если частота передачи — со, то частота приема будет иметь красное смещение по формуле

R_A = cT₀ (coshξ — 1), (89)

R_B = cT₀ (cosh(ξ + η) — 1). (90)

Ширина полосы В и ширина полосы В' будут связаны тем же фактором (1 + z). Точное расстояние между А и В на момент приема сигнала — d_L = R_Bη. Однако площадь сферы χ = η в то же самое время равна 4πd_T², с

d_T = R_Bsinhη. (91)

Если А передает F фотонов в стерадиан в направлении В, число фотонов, принятых В, будет составлять

F' = (F∑' / d²_T), (92)

где ∑' — эффективное сечение приемника.

Теперь сечение приемника, поглощающего фотон с частотой ω', задано формулой, подобной формуле (63) из предыдущей лекции:

где D_ij — снова дипольный матричный элемент между состояниями i и j. Проинтегрировав все это относительно всех ω', мы получаем в точности левую половину правила суммы (67). Вклад от отрицательного ω' представляет собой наведенное излучение фотонов получателем. Я предполагаю, что получатель не связан с поступающими фотонами, и, следовательно, наведенным излучением можно пренебречь. Таким образом, у нас получается

∫₀^∞ ∑'dω' = Ν' (2π²е²/mc), (94)

где Ν' — число электронов приемника. Если приемник настроен на частоту ω' с ширингой полосы В', (94) дает нам

Σ'Β' ≤ Ν' S₀, (95)

S₀ = (2π²e²/mc) = 0,167 cm² sec^-1. (96)

Чтобы избежать смешивания единиц, я измеряю как ω', так и В' не в герцах, а в радианах в секунду. Полагаю, высокоразвитая цивилизация сможет создать приемник, для которого соотношение (95) выполняется со знаком равенства. Тогда (92) примет следующий вид:

F' = (FN' S₀/d²_TB'). (97)

Я предполагаю, что передатчик содержит N электронов, способных создать направленное излучение с углом распространения, составляющим порядка N^-1/2. Если передатчик представляет собой луч, состоящий из N диполей с оптимальными фазами, число фотонов на стерадиан в луче составляет

F = (3N/8π) (E/hω), (98)

где Е — общий объем переданной энергии. Число полученных фотонов равняется

F' — (3NN¹ ES₀ / 8πhωd²_TB'). (99)

Из (99) мы сразу видим, что для увеличения числа передаваемых фотонов необходимы низкие частоты и узкие полосы. Однако мы заинтересованы в передаче не фотонов, а информации. Чтобы эффективно извлекать информацию из заданного числа фотонов, нам придется использовать ширину полосы, равную скорости детектирования:

B' = (F'/τ_B), B = (F'/τ_A), (100)

где τ_в — продолжительность приема, а τ_А — продолжительность передачи. При этой ширине полосы F' представляет как число фотонов, так и число принятых битов информации. Удобно выражать τ_в и τ_А как долю радиуса вселенной во время передачи и приема информации:

τ_A = (δR_A/c), τ_B = (δR_B/c). (101)

Условие

δ ≤ 1 (102)

устанавливает нижний предел ширины полосы В. Предположим также для простоты, что частота со сделана такой низкой, как только возможно, в соответствии с шириной полосы В, а именно:

ω = В, ω' = В'. (103)

Тогда (99), (100) и (101) дают

F' = {NN'5²E / [(1+z) (sinh²η)E_c]}^1/3, (104)

где, согласно (96),

Е_с = (8πhc² / 3S₀) = (4/3π)137mc² = 3∙10⁵ erg. (105)

Из (104) мы видим, что количество информации, которую можно передать от А к В через заданный объем энергии, со временем, по мере расширения вселенной и отдаления А и В друг от друга, не уменьшается. Увеличение расстояния компенсируется снижением энергетической стоимости каждого фотона и увеличением угла приема при уменьшении длины волны.

Полученный сигнал задается формулой (104). Теперь нам необходимо сравнить его с полученным шумом. Фоновый шум во вселенной на частоте со можно описать эквивалентной температурой шума T_N, так что число фотонов на единицу волны на стерадиан на квадратный сантиметр в секунду описывается формулой Релея–Джинса:

I(ω) = (kT_Nω / 4π³hc²). (106)

Эта формула — просто определение TN, которое в целом представляет собой функцию со и t. Я не предполагаю, что шум обладает планковским спектром на всех частотах. Лишь часть шума принадлежит изначальной фоновой радиации, обладающей планковским спектром при температуре θ_R. Изначальная шумовая температура θ_R изменяется обратно пропорционально радиусу вселенной:

(kθ_RR/hc) = Λ= 10²⁹, (107)

где R задано формулой (8). Я полагаю, что спектр шума в целом по мере расширения вселенной изменяется в том же соотношении с радиусом и таким образом:

(T_N/θ_R) = f(x), х = (hω/kθ_R), (108)

где f есть универсальная функция от х. Если х близко к единице, то в шуме преобладает реликтовое излучение и f(x) имеет планковскую форму

f(x) = f_P(x) = х (е^х — 1)^-1, х ~ 1. (109)

Однако возможны значительные отклонения от (109) как при большом х (результате красного смещения звездного света), так и при маленьком х (результате нетермальных радиоизлучений). Не углубляясь в детали, скажем просто, что f(x) в целом является уменьшающейся функцией х и быстро стремится к нулю по мере того, как х —> ∞.

Общая энергетическая плотность радиации во вселенной составляет

(4π/c) ∫I(ω) hωdω = (kθ_R)⁴I / (π²h³c³), (110)

где

I = ∫₀^∞f(x)x²dx. (1ll)

Интеграл I должен сходиться как при высоких, так и при низких частотах. Следовательно, мы можем найти такое числовое ограничение b, что

x³f(x)<b (112)

для всех х. В сущности, (112), вероятно, выполняется при b = 10, если мы будем избегать некоторых определенных частот, например водородной линии 1420 Мгц.

Число шумовых фотонов, полученных в течение времени tB приемником с шириной полосы В' и сечением составляет

F_N = 4π∫'B'τ_BI(ω'). (113)

Подставляя значения из (95), (96), (100), (103) и (108) в (113), получаем:

F_N = (2r₀/λ_B)fN'F', (114)

где

r₀ = (e²/mc²) = 3∙10–1³cm, (115)

λ_B = (hc / kθ'_R) = Λ^-1R_B (116)

— длина волны фонового реликтового излучения во время приема сообщения. Если F' — сигнал, то отношение сигнала к шуму равняется

R_SN = (λ_B / 2fN'r₀). (117)

В этой формуле f — отношение шума и температуры, заданное (108), N' — число электронов приемника, а ρ₀, λ_B заданы (115) и (116). Отметим, что в вычислении (117) мы не даем приемнику возможности выбора угла, поскольку сечение заданное (95), не зависит от направления.

Теперь подведем итоги нашего анализа. У нас имеются передатчик и приемник на мировых линиях А и В, передающие и принимающие сигналы во время t_A = Т₀ (sinhξ — ξ), t_B = Т₀ (sinh(ξ + η) — (ξ + η)). (118)

Согласно (89) и (101),

τ_A = δ(dt_A/dξ), τ_B = δ(dt_B/dξ). (119)

Для удобства будем считать, что передатчик постоянно направлен на приемник и передает сообщения с определенным циклом 8, который может изменяться в зависимости от Когда 5 = 1, передатчик все время включен. Число F' фотонов, принимаемых во время τ_в, может рассматриваться как количество битов в отношении к переменной ξ. В сущности, F'dξ — это число битов, получаемых в интервале dξ. Работать с переменной ξ полезно, поскольку она поддерживает постоянное различие л между А и В.

Из (100), (101), (103), (107) и (108) мы выводим простую формулу количества битов:

F = Λхδ. (120)

Энергия Е, переданная во время τ_А, может также рассматриваться как скорость передачи энергии в единицу интервала Из (104) и (120) мы выводим

Е = (Λ³ / NN') (1 + z) (sinh²η)x³δE_c. (121)

Мы все еще можем свободно выбирать параметры х [определяя частоту со согласно (108)] и 5, оба из которых могут изменяться в зависимости от Единственные ограничения — (102) и сигнально–шумовое условие

R_SN≥10, (122)

где соотношение сигнала и шума вычисляется согласно (117). Если мы предположим, что (112) верно при b = 10, (122) будет обеспечивать, что

х >(G/r)^1/3, (123)

где

G = (200r₀ / λ_p) N' (1+z)^-1 = 10–9N' (1+z)^-1, (124)

r = (R_A / R_p) = (cosh ξ – 1) / (cosh ξ_p – 1). (125)

Здесь λp, Rp и ξ_p — текущие значения длины волн фоновой радиации, радиуса вселенной и временной координаты ψ Стоит отметить, что сигнально–шумовое условие (123) может быть трудно для соблюдения поначалу, пока r мало, но с течением времени, по мере того как во вселенной становится все тише, его становится все легче выполнять. Чтобы избежать чрезмерной траты энергии на ранних стадиях, вначале мы выбираем маленький цикл 5 и постепенно увеличиваем его, пока он не достигает единицы. Все условия выполняются, если мы выбираем

х = max [(G / r)^1/3, ξ^-1/2], (126)

δ = min [(r / G)ξ^-3/2, 1], (127)

так что

х³δ = ξ^-3/2 (128)

для всех Переход между двумя уровнями в (126) и (127) происходит при

ξ = ξ_T~logG, (129)

поскольку ξ логарифмически возрастает вместе с r согласно (125). При таком выборе х и 8 (120) и (121) дают следующее:

F' = Λmin [(r / G)^2/3ξ^-3/2, (130)

Е = (Λ³ / NN') (1+z) (sinh²η) Е_cξ^-3/2. (131)

Теперь рассмотрим общее число битов, полученных В вплоть до некоей эпохи ξ в отдаленном будущем. Согласно (130), их число равно приблизительно

F_T = ∫^χ F'dξ = 2Λξ^1/2 (132)

и беспредельно возрастает по мере возрастания С другой стороны, общее количество энергии, излученной передатчиком на протяжении всего будущего, конечно:

Е_т = ∑^ξ, Edξ = 2(Λ³ / NN') (еη sinh²η)ξ_p^-1/2E_c. (133)

В (133) я заменил красное смещение (1 + z) его асимптотическим значением е^η при ξ —> оо. В результате я получил такое же оптимис

⇐ Предыдущая 11 12 13 14 151617 18 19 20 Следующая ⇒

Воспользуйтесь поиском по сайту: