 |
Формы движения материи. Классификация наук
|
|
|
|
Causa finalis[595] – материя и внутренне присущее ей движение. Эта материя не абстракция. Уже на Солнце отдельные вещества диссоциированы и не различаются по своему действию. А в газовом шаре туманности все вещества, хотя и существуют раздельно, сливаются в чистую материю как таковую, действуя только как материя, а не согласно своим специфическим свойствам.
(Впрочем, уже у Гегеля противоположность между causa efficiens[596] и causa finalis снята в категории взаимодействия.)
* * *
Первоматерия:
«Понимание материи как изначально существующей и самой по себе бесформенной очень древне, и мы его встречаем уже у греков, сначала в мифическом образе хаоса, который представляют себе как бесформенную основу существующего мира» (Гегель, «Энциклопедия», ч. I, стр. 258).[597]
Этот хаос мы снова находим у Лапласа; к нему приближается туманность, которая тоже имеет только еще начатки формы. В дальнейшем наступает дифференциация.
* * *
Обыкновенно принимается, что тяжесть есть наиболее всеобщее определение материальности, т. е. что притяжение, а не отталкивание есть необходимое свойство материи. Но притяжение и отталкивание столь же неотделимы друг от друга, как положительное и отрицательное, и поэтому уже на основании самой диалектики можно предсказать, что истинная теория материи должна отвести отталкиванию такое же важное место, как и притяжению, и что теория материи, основывающаяся только на притяжении, ложна, недостаточна, половинчата. И действительно, имеется достаточно явлений, наперед указывающих на это. От эфира нельзя отказаться уже из-за света. Материален ли эфир? Если он вообще есть, то он должен быть материальным, должен подходить под понятие материи. Но он совершенно лишен тяжести. Все признают материальность кометных хвостов. Они обнаруживают огромное отталкивание. Теплота в газе порождает отталкивание и т. д.
|
|
|
* * *
Притяжение и тяготение. Все учение о тяготении покоится на утверждении, что притяжение есть сущность материи. Это, конечно, неверно. Там, где имеется притяжение, оно должно дополняться отталкиванием. Поэтому уже Гегель вполне правильно заметил, что сущность материи составляют притяжение и отталкивание[598]. И действительно, мы все более и более вынуждены признать, что рассеяние материи имеет границу, где притяжение превращается в отталкивание, и что, наоборот, сгущение оттолкнутой материи имеет границу, где оно становится притяжением[599].
* * *
Превращение притяжения в отталкивание и обратно у Гегеля мистично, но по сути дела он здесь предвосхитил позднейшие естественнонаучные открытия. Уже в газе – отталкивание молекул, еще значительнее – в более тонко распыленной материи, например в кометных хвостах, где оно действует даже с колоссальной силой. Гегель гениален даже в том, что он выводит притяжение как вторичный момент из отталкивания как первичного: солнечная система образуется только благодаря тому, что притяжение берет постепенно верх над господствовавшим первоначально отталкиванием. – Расширение посредством теплоты = отталкиванию. Кинетическая теория газов.
* * *
Делимость материи. Вопрос этот для науки практически безразличен. Мы знаем, что в химии имеется определенная граница делимости, за которой тела не могут уже более действовать химически – атом, и что несколько атомов всегда находятся в соединении – молекула. Точно так же и в физике мы вынуждены принять известные, для физического исследования наименьшие частицы, расположение которых обусловливает форму и сцепление тел и колебания которых проявляются л виде теплоты и т. д. Но мы и до сих пор ничего не знаем о том, тождественны ли между собой или различны физические и химические молекулы. – Гегель очень легко разделывается с этим вопросом о делимости, говоря, что материя – и то и другое, и делима и непрерывна, и в то же время ни то, ни другое[600], что вовсе не является ответом, но теперь почти доказано (см. лист 5, 3 внизу: Клаузиус)[601]
|
|
|
* * *
Делимость. Млекопитающее неделимо, у пресмыкающегося еще может вырасти нога. – Эфирные волны делимы и измеримы до бесконечно малого. – Каждое тело делимо, на практике, в известных границах, например в химии.
* * *
«Его» (движения) «сущность заключается в непосредственном единстве пространства и времени… К движению принадлежат пространство 11 время; скорость, количество движения, это – пространство в отношении к определенному протекшему времени» («Философия природы», стр. 65). «Пространство и время наполнены материей… Подобно тому как нет движения без материи, так нет и материи без движения» (стр. 67)[602].
* * *
Неуничтожимость движения выражена в положении Декарта, что во вселенной сохраняется всегда одно и то же количество движения (См. примечание [603]). Естествоиспытатели, говоря о «неуничтожимости силы», выражают эту мысль несовершенным образом. Чисто количественное выражение Декарта тоже недостаточно: движение как таковое, как существенное проявление, как форма существования материи, неуничтожимо, как и сама материя, – эта формулировка включает в себя количественную сторону дела. Значит, и здесь естествоиспытатель через двести лет подтвердил философа.
* * *
Неуничтожимость движения. Неплохое место у Грова стр. 20 и следующие (См. примечание [604] // На страницах 20–29 своей книги Гров говорит о «неуничтожимости силы» при превращениях механического движения в «состояние напряжения» и в теплоту.).
* * *
Движение и равновесие. Равновесие неотделимо от движения[605]. В движении небесных тел движение находится в равновесии и равновесие – в движении (относительно). Но всякое специально относительное движение, т. е. в данном случае всякое отдельное движение отдельных тел на каком-нибудь движущемся небесном теле, представляет собой стремление к установлению относительного покоя, равновесия. Возможность относительного покоя тел, возможность временных состояний равновесия является существенным условием дифференциации материи и тем самым существенным условием жизни. Ha Солнце нет никакого равновесия отдельных веществ, а только равновесие всей массы, или же, если там и имеется какое-нибудь равновесие отдельных веществ, то только весьма ничтожное, обусловленное значительными различиями плотности; на поверхности – вечное движение, волнение, диссоциация. На Луне, по-видимому, царит исключительное равновесие, без всякого относительного движения – смерть (Луна = отрицательность). На Земле движение дифференцировалось в виде смены движения и равновесия: отдельное движение стремится к равновесию, а совокупное движение снова уничтожает отдельное равновесие. Скала пришла в состояние покоя, но процесс выветривания, работа морского прибоя, действие рек, глетчеров непрерывно уничтожают равновесие. Испарение и дождь, ветер, теплота, электрические и магнитные явления дают нам ту же самую картину. Наконец, в живом организме мы наблюдаем непрерывное движение как всех мельчайших частиц его, так и более крупных органов, которое имеет своим результатом, во время нормального периода жизни, постоянное равновесие всего организма и тем не менее никогда не прекращается, – живое единство движения и равновесия.
|
|
|
Всякое равновесие лишь относительно и временно.
* * *
1) Движение небесных тел. Приблизительное равновесие между притяжением и отталкиванием в движении.
2) Движение на отдельном небесном теле. Масса. Поскольку это движение проистекает из чисто механических причин, здесь тоже имеется равновесие. Массы покоятся на своей основе. Это осуществилось на Луне, по-видимому, полностью. Механическое притяжение преодолело механическое отталкивание. С точки зрения чистой механики нам неизвестно, что сталось с отталкиванием, и чистая механика точно так же не объясняет, откуда берутся те «силы», посредством которых тем не менее, например на Земле, массы приводятся в движение в направлении против силы тяжести. Она принимает этот факт как нечто данное. Здесь, таким образом, имеет место простая передача отталкивающего, удаляющего механического движения от массы к массе, причем притяжение и отталкивание равны между собой.
|
|
|
3) Но огромное большинство всех движений на Земле представляет собой превращение одной формы движения в другую – механического движения в теплоту, в электричество, в химическое движение – и каждой формы в любую другую; следовательно, либо[606] переход притяжения в отталкивание – механического движения в теплоту, электричество, химическое разложение (переход этот есть превращение в теплоту первоначального поднимающего механического движения, а не движения падения, как это кажется на первый взгляд), – либо переход отталкивания в притяжение.
4) Вся энергия, действующая на Земле в настоящее время, есть превращенная солнечная теплота.[607]
* * *
Механическое движение. У естествоиспытателей движение всегда отождествляется с механическим движением, перемещением, и это отождествление считается чем-то само собой разумеющимся. Это перешло по наследству от дохимического XVIII века и сильно затрудняет ясное понимание процессов. Движение, в применении к материи, – это изменение вообще. Из подобного же недоразумения вытекает и яростное стремление свести все к механическому движению, – уже Гров «сильно склонен думать, что прочие состояния материи являются модификациями движения и в конце концов будут сведены к ним» (стр. 16) (См. примечание [608] // Под «состояниями (affections) материи» Гров имеет в виду «теплоту, свет, электричество, магнетизм, химическое сродство и движение» (стр. 15), а под «движением (motion)» – механическое движение, или перемещение.), чем смазывается специфический характер прочих форм движения. Этим отнюдь не утверждается, будто каждая из высших форм движения не бывает всегда необходимым образом связана с каким-нибудь действительным механическим (внешним или молекулярным) движением, подобно тому как высшие формы движения производят одновременно и другие формы движения и подобно тому как химическое действие невозможно без изменения температуры и электрического состояния, а органическая жизнь невозможна без механического, молекулярного, химического, термического, электрического и т. п. изменения. Но наличие этих побочных форм не исчерпывает существа главной формы в каждом рассматриваемом случае. Мы, несомненно, «сведем» когда-нибудь экспериментальным путем мышление к молекулярным и химическим движениям в мозгу; но разве этим исчерпывается сущность мышления?
|
|
|
* * *
Диалектика естествознания. [609] Предмет – движущееся вещество. Различные формы и виды самого вещества можно познать опять-таки только через движение; только в движения обнаруживаются свойства тел; о теле, которое не находится в движении, нечего сказать. Следовательно, природа движущихся тел вытекает из форм движения.
1. Первая, наипростейшая форма движения – это механическая, простое перемещение.
a) Движения отдельного тела не существует, – [о нем можно говорить][610] только в относительном смысле – падение.
b) Движение обособленных тел: траектория, астрономия, – кажущееся равновесие, – конец всегда контакт.
c) Движение соприкасающихся тел в их отношении друг к другу – давление. Статика. Гидростатика и газы. Рычаг и другие формы собственно механики, которые все в своей наипростейшей форме контакта сводятся к трению и удару, отличающимся между собой только по степени. Но трение и удар, т. е. в сущности контакт, имеют и другие, здесь никогда не указываемые естествоиспытателями следствия: при определенных обстоятельствах они производят звук, теплоту, свет, электричество, магнетизм.
2. Эти различные силы (за исключением звука) – физика небесных тел —
a) переходят друг в друга и взаимно замещают друг друга, и
3. Физика должна была или могла оставлять без рассмотрения живое органическое тело, химия же находит настоящий ключ к истинной природе наиважнейших тел только при исследовании органических соединений; с другой стороны, она синтезирует такие тела, которые встречаются только в органической природе. Здесь химия подводит к органической жизни, и она продвинулась достаточно далеко вперед, чтобы гарантировать нам, что она одна объяснит нам диалектический переход к организму.
4. Но действительный переход только в истории – солнечной системы, Земли; реальная предпосылка органической природы.
5. Органическая природа.
* * *
Классификация наук, из которых каждая анализирует отдельную форму движения или ряд связанных между собой и переходящих друг в друга форм движения, является вместе с тем классификацией, расположением, согласно внутренне присущей им последовательности, самих этих форм движения, и в этом именно и заключается ее значение.
В конце прошлого века, после французских материалистов, материализм которых был по преимуществу механическим, обнаружилась потребность энциклопедически резюмировать все естествознание старой ньютоно-линнеевской школы, и за это дело взялись два гениальнейших человека – Сен-Симон (не закончил) и Гегель. Теперь, когда новое воззрение на природу в своих основных чертах готово, ощущается та же самая потребность и предпринимаются попытки в этом направлении. Но так как теперь в природе выявлена всеобщая связь развития, то внешняя группировка материала в виде такого ряда, члены которого просто прикладываются один к другому, в настоящее время столь же недостаточна, как и гегелевские искусственные диалектические переходы. Переходы должны совершаться сами собой, должны быть естественными. Подобно тому как одна форма движения развивается из другой, так и отражения этих форм, различные науки, должны с необходимостью вытекать одна из другой.
* * *
Как мало Конт является автором своей, списанной им у Сен-Симона, энциклопедической иерархии естественных наук[611], видно уже из того, что она служит ему лишь ради расположения учебного материала и в целях преподавания, приводя тем самым к несуразному en-seignement integral[612], где каждая наука исчерпывается прежде, чем успели хотя бы только приступить к другой, где правильная в основе мысль математически утрируется до абсурда.
* * *
Гегелевское (первоначальное) деление на механизм, химизм, организм[613] было совершенным для своего времени. Механизм – это движение масс, химизм – это молекулярное (ибо сюда включена и физика, и обе – как физика, так и химия – относятся ведь к одному и тому же порядку) и атомное движение; организм – это движение таких тел, в которых одно от другого неотделимо. Ибо организм есть, несомненно, высшее единство, связывающее в себе в одно целое механику, физику и химию, так что эту троицу нельзя больше разделить. В организме механическое движение прямо вызывается физическим и химическим изменением, и это относится к питанию, дыханию, выделению и т. д. в такой же мере, как и к чисто мускульному движению.
Каждая группа, в свою очередь, двойственна. Механика: 1) небесная, 2) земная. Молекулярное движение: 1) физика, 2) химия. Организм: 1) растение, 2) животное.
* * *
Физиография. [614] После того как сделан переход от химии к жизни, надо прежде всего рассмотреть те условия, в которых возникла и существует жизнь, – следовательно, прежде всего геологию, метеорологию и остальное. А затем и сами различные формы жизни, которые ведь без этого и непонятны.
О «МЕХАНИЧЕСКОМ» ПОНИМАНИИ ПРИРОДЫ [615]
К стр. 46:[616] Различные формы движения и изучающие их науки
С тех пор как появилась эта статья («Vorwаrts» от 9 февраля 1877 г.)[617], Кекуле («Научные цели и достижения химии») дал совершенно аналогичное определение механики, физики и химии:
«Если положить в основу это представление о сущности материи, то химию можно будет определить как науку об атомах, а физику как науку о молекулах; и тогда сама собой напрашивается мысль выделить ту часть современной физики, которая занимается массами, в особую дисциплину, оставив для нее название механики. Таким образом, механика оказывается основой физики и химии, поскольку та и другая, при рассмотрении определенных сторон явлений и особенно при вычислениях, должны трактовать свои молекулы и, соответственно, атомы как массы»[618].
Эта формулировка отличается, как мы видим, от той, которая дана в тексте и в предыдущем примечании[619], только своей несколько меньшей определенностью. Но когда один английский журнал («Nature») придал вышеприведенному положению Кекуле такой вид, что механика – это статика и динамика масс, физика – статика и динамика молекул, химия – статика и динамика атомов[620], то, по моему мнению, такое безусловное сведение даже и химических процессов к чисто механическим суживает неподобающим образом поле исследования, по меньшей мере в области химии. И тем не менее это сведение стало столь модным, что, например, у Геккеля слова «механический» и «монистический» постоянно употребляются как равнозначащие и что, по его мнению, «современная физиология… дает в своей области место только физико-химическим, или в широком смысле слова механическим, силам» («Перигенезис»)[621].
Называя физику механикой молекул, химию – физикой атомов и далее биологию – химией белков, я желаю этим выразить переход одной из этих наук в другую, – следовательно, как существующую между ними связь, непрерывность, так и различие, дискретность обеих. Идти дальше этого, называть химию тоже своего рода механикой, представляется мне недопустимым. Механика в более широком или узком смысле слова знает только количества, она оперирует скоростями и массами и, в лучшем случае, объемами. Там, где на пути у нее появляется качество тел, как, например, в гидростатике и аэростатике, она не может обойтись без рассмотрения молекулярных состояний и молекулярных движений, и сама она является здесь только вспомогательной наукой, предпосылкой физики. В физике же, а еще более в химии, не только имеет место постоянное качественное изменение в результате количественных изменений, т. е. переход количества в качество, но приходится также рассматривать множество таких качественных изменений, обусловленность которых количественным изменением совершенно не установлена. Можно охотно согласиться с тем, что современное течение в науке движется в этом направлении, но это не доказывает, что оно является исключительно правильным и что, следуя этому течению, мы до конца исчерпаем физику и химию. Всякое движение заключает в себе механическое движение, перемещение больших или мельчайших частей материи; познать эти механические движения является первой задачей науки, однако лишь первой ее задачей. Но это механическое движение не исчерпывает движения вообще. Движение – это не только перемена места; в надмеханических областях оно является также и изменением качества. Открытие, что теплота представляет собой некоторое молекулярное движение, составило эпоху в науке. Но если я не имею ничего другого сказать о теплоте кроме того, что она представляет собой известное перемещение молекул, то лучше мне замолчать. Химия, по-видимому, находится на верном пути к тому, чтобы из отношения атомных объемов к атомным весам объяснить целый ряд химических и физических свойств элементов. Но ни один химик не решится утверждать, что все свойства какого-нибудь элемента исчерпывающим образом выражаются его положением на кривой Лотара Мейера[622], что этим одним можно будет когда-нибудь объяснить, например, своеобразные свойства углерода, которые делают его главным носителем органической жизни, или же необходимость наличия фосфора в мозгу. И тем не менее «механическая» концепция сводится именно к этому. Всякое изменение она объясняет перемещением, все качественные различия – количественными, не замечая, что отношение между качеством и количеством взаимно, что качество так же переходит в количество, как и количество в качество, что здесь имеет место взаимодействие. Если все различия и изменения качества должны быть сводимы к количественным различиям и изменениям, к механическим перемещениям, то мы с необходимостью приходим к тезису, что вся материя состоит из тождественных мельчайших частиц и что все качественные различия химических элементов материи вызываются количественными различиями, различиями в числе и пространственной группировке этих мельчайших частиц при их объединении в атомы. Но до этого мы еще не дошли.
Только незнакомство наших современных естествоиспытателей с иной философией, кроме той ординарнейшей вульгарной философии, которая господствует ныне в немецких университетах, позволяет им в таком духе оперировать выражениями вроде «механический», причем они не отдают себе отчета или даже не подозревают, к каким вытекающим отсюда выводам они тем самым с необходимостью обязывают себя. Ведь у теории об абсолютной качественной тождественности материи имеются свои приверженцы; эмпирически ее так же нельзя опровергнуть, как и нельзя доказать. Но если спросить людей, желающих объяснить все «механическим образом», сознают ли они неизбежность этого вывода и признают ли они тождественность материи, то сколько различных ответов услышим мы на этот вопрос!
Самое комичное – это то, что приравнение «материалистического» и «механического» идет от Гегеля, который хотел унизить материализм эпитетом «механический». Но дело в том, что критикуемый Гегелем материализм – французский материализм XVIII века – был действительно исключительно механическим, и по той весьма естественной причине, что в то время физика, химия и биология были еще в пеленках и отнюдь не могли служить основой для некоторого общего воззрения на природу. Точно так же у Гегеля заимствует Геккель перевод выражения causae efficientes через «механически действующие причины» и выражения causae finales – через «целесообразно действующие причины»; но Гегель понимает здесь под словом «механический» – слепо, бессознательно действующий, а не механический в геккелевском смысле. При этом для самого Гегеля все это противоположение до такой степени является превзойденной точкой зрения, что он даже не упоминает о нем ни в одном из обоих своих изложений причинности в «Логике» и затрагивает его только в «Истории философии», в тех местах, где оно выступает как исторический факт (следовательно, у Геккеля мы имеем здесь чистое недоразумение, результат поверхностности!), и совершенно мимоходом при рассмотрении телеологии («Логика», кн. III, отд. II, гл. 3), где об этом противоположении упоминается как о той форме, в которой старая метафизика формулировала противоположность между механизмом и телеологией. Вообще же он трактует указанное противоположение как давно уже преодоленную точку зрения. Таким образом, Геккель просто неверно списал у Гегеля, радуясь тому, что он здесь, как ему показалось, нашел подтверждение своей «механической» концепции, и этим путем он приходит к тому блестящему результату, что когда естественный отбор создает у того или другого животного или растения какое-нибудь определенное изменение, то это происходит благодаря causa efficiens; если же это самое изменение вызывается искусственным отбором, то это происходит благодаря causa finalis! Селекционер есть causa finalis! Конечно, диалектик калибра Гегеля не мог путаться в пределах узкой противоположности между causa efficiens и causa finalis. А для теперешней стадии развития науки всей бесплодной болтовне об этой противоположности кладет конец то обстоятельство, что мы знаем из опыта и теории, что материя и ее способ существования – движение – несотворимы и, следовательно, являются своими собственными конечными причинами; между тем как у тех отдельных причин, которые на отдельные моменты времени и в отдельных местах изолируют себя в рамках взаимодействия движения вселенной или изолируются там нашей мыслью, не прибавляется решительно никакого нового определения, а лишь вносящий путаницу элемент в том случае, если мы их называем действующими причинами. Причина, которая не действует, не есть вовсе причина.
NB. Материя как таковая, это – чистое создание мысли и абстракция. Мы отвлекаемся от качественных различий вещей, когда объединяем их, как телесно существующие, под понятием материи. Материя как таковая, в отличие от определенных, существующих материй, не является, таким образом, чем-то чувственно существующим. Когда естествознание ставит себе целью отыскать единообразную материю как таковую и свести качественные различия к чисто количественным различиям, образуемым сочетаниями тождественных мельчайших частиц, то оно поступает таким же образом, как если бы оно вместо вишен, груш, яблок желало видеть плод как таковой, вместо кошек, собак, овец и т. д. – млекопитающее как таковое, газ как таковой, металл как таковой, камень как таковой, химическое соединение как таковое, движение как таковое. Теория Дарвина требует подобного первичного млекопитающего, Promammale Геккеля[623], но должна в то же время признать, что если оно содержало в себе в зародыше всех будущих и ныне существующих млекопитающих, то в действительности оно стояло ниже всех теперешних млекопитающих и было первобытно грубым, а поэтому и более преходящим, чем все они. Как доказал уже Гегель («Энциклопедия», ч. I, стр. 199), это воззрение, эта «односторонне математическая точка зрения», согласно которой материя определима только количественным образом, а качественно искони одинакова, есть «не что иное, как точка зрения» французского материализма XVIII века[624]. Она является даже возвратом к Пифагору, который уже рассматривал число, количественную определенность, как сущность вещей.
* * *
Во-первых, Кекуле[625]. Далее: систематизацию естествознания, которая становится теперь все более и более необходимой, можно найти не иначе, как в связях самих явлений. Так, механическое движение небольших масс на каком-нибудь небесном теле кончается контактом двух тел, который имеет две формы, отличающиеся друг от друга лишь по степени: трение и удар. Поэтому мы изучаем сперва механическое действие трения и удара. Но мы находим, что дело этим не исчерпывается: трение производит теплоту, свет и электричество; удар – теплоту и свет, а, может быть, также и электричество. Таким образом, мы имеем превращение движения масс в молекулярное движение. Мы вступаем в область молекулярного движения, в физику, и продолжаем исследовать дальше. Но и здесь мы находим, что исследование молекулярным движением не заканчивается. Электричество переходит в химические превращения и возникает из химических превращений; теплота и свет тоже. Молекулярное движение переходит в атомное движение: химия. Изучение химических процессов находит перед собой, как подлежащую исследованию область, органический мир, т. е. такой мир, в котором химические процессы происходят согласно тем же самым законам, но при иных условиях, чем в неорганическом мире, для объяснения которого достаточно химии. А все химические исследования органического мира приводят в последнем счете к такому телу, которое, будучи результатом обычных химических процессов, отличается от всех других тел тем, что оно есть сам себя осуществляющий перманентный химический процесс, – приводят к белку. Если химии удастся изготовить этот белок в том определенном виде, в котором он, очевидно, возник, в виде так называемой протоплазмы, – в том определенном или, вернее, неопределенном виде, в котором он потенциально содержит в себе все другие формы белка (причем нет нужды принимать, что существует только один вид протоплазмы), то диалектический переход будет здесь доказан также и реально, т. е. целиком и полностью. До тех пор дело остается в области мышления, alias[626] гипотезы. Когда химия порождает белок, химический процесс выходит за свои собственные рамки, как мы видели это выше относительно механического процесса. Он вступает в некоторую более богатую содержанием область – область органической жизни. Физиология есть, разумеется, физика и в особенности химия живого тела, но вместе с тем она перестает быть специально химией: с одной стороны, сфера ее действия ограничивается, но, с другой стороны, она вместе с тем поднимается здесь на некоторую более высокую ступень.
МАТЕМАТИКА
Так называемые аксиомы математики – это те немногие мыслительные определения, которые необходимы в математике в качестве исходного пункта. Математика – это наука о величинах; она исходит из понятия величины. Она дает последней скудную, недостаточную дефиницию и прибавляет затем внешним образом, в качестве аксиом, другие элементарные определенности величины, которые не содержатся в дефиниции, после чего они выступают как недоказанные и, разумеется, также и недоказуемые математически. Анализ величины выявил бы все эти аксиоматические определения как необходимые определения величины. Спенсер прав в том отношении, что кажущаяся нам самоочевидность этих аксиом унаследована нами. Они доказуемы диалектически, поскольку они не чистые тавтологии.
* * *
Из области математики. Ничто, кажется, не покоится на такой непоколебимой основе, как различие между четырьмя арифметическими действиями, элементами всей математики. И тем не менее уже с самого начала умножение оказывается сокращенным сложением, деление – сокращенным вычитанием определенного количества одинаковых чисел, а в одном случае – если делитель есть дробь – деление производится путем умножения на обратную дробь. А в алгебре идут гораздо дальше этого. Каждое вычитание (a – b) можно изобразить как сложение (—b+a), каждое деление a/b, как умножение ax1/b. При действиях со степенями идут еще значительно дальше. Все неизменные различия математических действий исчезают, всё можно изобразить в противоположной форме.
Степень – в виде корня (х2 = √x4), корень – в виде степени (√x = х2). Единицу, деленную на степень или на корень, – в виде степени знаменателя (1/ √x = х 2; /х 3 = х). Умножение или деление степеней какой-нибудь величины превращается в сложение или вычитание их показателей. Каждое число можно рассматривать и изображать в виде степени всякого другого числа (логарифмы, y = ax). И это превращение из одной формы в другую, противоположную, вовсе не праздная игра, – это один из самых могучих рычагов математической науки, без которого в настоящее время нельзя произвести ни одного сколько-нибудь сложного вычисления. Пусть кто-нибудь попробует вычеркнуть из математики хотя бы только отрицательные и дробные степени, – и он увидит, что без них далеко не уедешь.
(—. – = +, ÷ = + √ —1 и т. д. разобрать до этого).
Поворотным пунктом в математике была Декартова переменная величина. Благодаря этому в математику вошли движение и тем самым диалектика и благодаря этому же стало немедленно необходимым дифференциальное и интегральное исчисление, которое тотчас и возникает и которое было в общем и целом завершено, а не изобретено, Ньютоном и Лейбницем.
* * *
Количество и качество. Число есть чистейшее количественное определение, какое мы только знаем. Но оно полно качественных различий. 1) Гегель, численность и единица, умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня. Уже благодаря этому получаются, – чего не подчеркнул Гегель, – качественные различия: простые числа и произведения, простые корни и степени. 16 есть не только суммирование 16 единиц, оно также квадрат от 4 и биквадрат от 2. Более того, простые числа сообщают числам, получающимся из них путем умножения на другие числа, новые, вполне определенные качества: только четные числа делятся на два; аналогичное определение – для 4 и 8. Для деления на 3 мы имеем правило о сумме цифр. То же самое в случае 9 и 6, где оно соединяется также со свойством четного числа. Для 7 особый закон. На этом основываются фокусы с числами, которые непосвященным кажутся непонятными. Поэтому неверно то, что говорит Гегель («Количество», стр. 237) о мыслительной скудости арифметики. Ср., однако: «Мера».[627]
Говоря о бесконечно большом и бесконечно малом, математика вводит такое качественное различие, которое имеет даже характер непреодолимой качественной противоположности: мы имеем здесь количества, столь колоссально отличные друг от друга, что между ними прекращается всякое рациональное отношение, всякое сравнение, и что они становятся количественно несоизмеримыми. Обычная несоизмеримость, например несоизмеримость круга и прямой линии, тоже представляет собой диалектическое качественное различие; но здесь[628] именно количественная разница однородных величин заостряет качественное различие до несоизмеримости.
* * *
Число. Отдельное число получает некоторое качество уже в числовой системе и сообразно тому, какова эта система. 9 есть не только суммированная девять раз 1, но и основание для 90, 99, 900000 и т. д. Все числовые законы зависят от положенной в основу системы и определяются ею. В двоичной и троичной системе 2 х 2 не = 4, а = 100 или = 11. Во всякой системе с нечетным основанием теряет свою силу различие четных и нечетных чисел. Например, в пятеричной системе 5 = 10, 10 = 20, 15 = 30. Точно так же в этой системе теряет свою силу правило о сумме цифр, делящейся на 3, для чисел кратных трем, resp.[629] девяти (6 = 11, 9 = 14). Таким образом, основание числовой системы определяет качество не только себя самого, но и всех прочих чисел.
Если мы возьмем степенное отношение, то здесь дело идет еще дальше: всякое число можно рассматривать как степень всякого другого числа – существует столько систем логарифмов, сколько имеется целых и дробных чисел.
* * *
Единица. Ничто не выглядит проще, чем количественная единица, и ничто не оказывается многообразнее, чем эта единица, коль скоро мы начнем изучать ее в связи с соответствующей множественностью, с точки зрения различных способов происхождения ее из этой множественности. Единица – это, прежде всего, основное число всей системы положительных и отрицательных чисел, благодаря последовательному прибавлению которого к самому себе возникают все другие числа. – Единица есть выражение всех положительных, отрицательных и дробных степеней единицы: 12, √1, 1-2 все равны единице. – Единица есть значение всех дробей, у которых числитель и знаменатель оказываются равными. – Она есть выражение всякого числа, возведенного в нулевую степень, и поэтому она единственное число, логарифм которого во всех системах один и тот же, а именно = 0. Тем самым единица есть граница, делящая на две части все возможные системы логарифмов: если основание больше единицы, то логарифмы всех чисел, больших единицы, положительны, а логарифмы всех чисел, меньших единицы, отрицательны; если основание меньше единицы, то имеет место обратное.
Таким образом, если всякое число содержит в себе единицу, поскольку оно составляется из одних лишь сложенных друг с другом единиц, то единица, в свою очередь, содержит в себе все другие числа. Не только в возможности, поскольку мы любое число можем построить из одних только единиц, но и в действительности, поскольку единица является определенной степенью любого другого числа. Однако те самые математики, которые непринужденнейшим образом вводят, где им это удобно, в свои выкладки х° = 1 или же дробь, числитель и знаменатель которой равны и которая тоже, значит, представляет единицу, – математики, которые, следовател<
|
|
|
