 |
Задание 5. Оценка сложных систем в условиях риска и неопределенности
|
|
|
|
Определенность или детерминированность процессов определяется тем, что определённой ситуации соответствует единственный исход, такая зависимость носит название функциональной. Примером функциональной зависимости является, например, связь между скоростью, временем и длиной пути.
S = V*T
Неопределенность возникает в том случае, когда ситуация имеет несколько исходов. О неопределенности говорят в случае, если вероятность каждого исхода неизвестна. Если можно оценить вероятность каждого исхода, то говорят об условиях риска.
Исследования показали, что в зависимости от характера неопределенности все модели по принятию решений можно разделить на игровые и статистически неопределенные. В игровых операциях неопределенность формируется за счет сознательных действий противника, для исследования таких операций используется теория игр.
В настоящее время нет универсального критерия по выбору решения для задач неопределенных статически. Разработаны лишь общие требования к критериям и процедурам оценки и выбора оптимальных систем.
Наиболее часто в неопределенной ситуации используются критерии:
1. Среднего выигрыша
2. Достаточного основания (критерий Лапласа)
3. Осторожного наблюдателя (критерий Вальда)
4. Пессимизма-оптимизма (критерий Гурвица)
5. Минимального риска (критерий Севиджа)
Необходимо оценить один из трех программных продуктов аi для борьбы с одним из четырех программных воздействий kj. Матрица эффективности выглядит следующим образом.
| а\к | к1 | к2 | к3 | к4 |
| а1 | 0,1 | 0,5 | 0,1 | 0,2 |
| а2 | 0,2 | 0,3 | 0,2 | 0,4 |
| а3 | 0,1 | 0,4 | 0,4 | 0,3 |
1. Критерий среднего выигрыша
Предполагает задание вероятностей состояния обстановки Рi. Эффективность систем оценивается как среднее ожидание (мат. ожидание) оценок эффективности по всем состояниям обстановки. Оптимальной системе будет соответствовать максимальная оценка.
|
|
|
К = ∑ Р i К ij
Предположим, что вероятность применения противником программных воздействий Р1 = 0,4; Р2=0,1; Р3=0,1; Р4=0,3
К(а1)=0,4*0,1+0,5*0,2+0,1*0,1+0,3*0,2=0,21
К(а2)=0,4*0,2+0,2*0,3+0,1*0,2+0,3*0,4=0,28
К(а3)=0,4*0,1+0,2*0,4+0,1*0,4+0,3*0,3=0,25
Оптимальное решение по данному критерию - программный продукт а2.
2. Критерий Лапласа (достаточного основания)
Предполагается, что состояние обстановки равновероятно, так как нет достаточных оснований предполагать иное.
К=1/к∑К ij, для каждого i,
а оптимальное значение указывает максимальную сумму К.
Р1=0,25; Р2=0,25; Р3=0,25; Р4=0,25
К(а1)=0,25*(0,1+0,5+0,1+0,2)=0,225
К(а2)=0,25*(0,2+0,3+0,2+0,4)=0,275
К(а3)=0,25*(0,1+0,4+0,4+0,3)=0,3
Оптимальное решение - программа а3
Замечание – критерий Лапласа – это частный случай критерия среднего выигрыша.
3. Критерий осторожного наблюдателя (критерий Вальда)
Это максимальный критерий (максимальные доходы, минимальные потери). Он гарантирует определенный выигрыш при худших условиях. Критерий использует то, что при неизвестной обстановке нужно поступать самым осторожным образом, ориентируясь на минимальное значение эффекта каждой системы.
Для этого в каждой строке матрицы находится минимальная из оценок систем
К(а i) min К ij.
j
Оптимальной считается система из строки с максимальным значением эффективности
Копт= max (minKij) для всех ij
I j
К(а1)=min(0,1;0,5;0,1;0,2)=0,1
К(а2)=min(0,2;0,3;0,2;0,4)=0,2
К(а3)=min(0,1;0,4;0,4;0,3)=0,1
Оптимальное решение – продукт а2
В любом состоянии обстановки выбранная система покажет результат не хуже найденного максимина. Однако такая осторожность является в ряде случаев недостатком критерия.
4. Критерий пессимизма-оптимизма (критерий Гурвица)
Критерий обобщенного максимина. Согласно данному критерию при оценке и выборе систем не разумно проявлять как осторожность, так и азарт. Следует принимать во внимание самое высокое и самое низкое значение эффективности и занимать промежуточную позицию. Эффективность находится как взвешенная с помощью коэффициента α сумма максимальных и минимальных оценок.
|
|
|
К(ai) = α max Kij +(1- α)* min Kij
J j
0≤ α ≤1
Копт = max { α max Kij +(1+ α)* min Kij }
I j j
d=0,6
К(а1)=0,6*0,5+(1-0,6)*0,1=0,34
К(а2)=0,6*0,4+(1-0,6)*0,2=0,32
К(а3)=0,6*0,4+(1-0,6)*0,1=0,28
Оптимальное решение – продукт а 1
При α = 0 критерий Гурвица сводится к критерию максимина. На практике используются значения α из интервала (0,3÷0,7).
5. Критерий минимального риска (критерий Севиджа)
Минимизирует потери эффективности при наихудших условиях. В этом случае матрица эффективности должна быть преобразована в матрицу потерь. Каждый элемент определяется как разность между максимальным и текущим значениями оценок эффективности в столбце.
∆ К ij = maxKij - Kij
После преобразования матрицы используется критерий минимакса, т.е. оптимального решения критерия.
K (ai)= max ∆ К ij
j
K опт= min (max ∆ К ij)
I j
Матрица потерь
| а\к | к1 | к2 | к3 | к4 | к(аi) |
| а1 | 0,1 | 0 | 0,3 | 0,2 | 0,3 |
| а2 | 0 | 0,2 | 0,2 | 0 | 0,2 |
| а3 | 0,1 | 0,1 | 0 | 0,1 | 0,1 |
Оптимальное решение – продукт а 3
Комментарий: критерий отражает сожаления по поводу того, что выбранная система не оказалась лучшей при определении состава обстановки. Например, если выбрать программу а 1, а угрозу n 3, то сожаление, что не выбрана лучшая из программ а 3 составит 0,3.
Таким образом, эффективность систем в неопределенных операциях может оцениваться по ряду критериев. На выбор каждого из них может влиять ряд факторов:
а) природа конкретных операций и ее цель
- в одном случае допустим риск
- в другом - гарантированный результат
б) причина неопределенности
- закон природы
- разумные действия противника
в) характер лица, принимающего решение:
- склонность добиться большего, идя на риск
- всегда осторожные действия
Результаты всех расчётов записываются в одну таблицу.
Таблица. Форма записи результатов
| а\к | к1 | к2 | к3 | к4 | Ср. выигр | Лапласа | Вальда | Гурвица | Севиджа |
| а1 | 0,1 | 0,5 | 0,1 | 0,2 | 0,21 | 0,225 | 0,1 | 0,34 | 0,3 |
| а2 | 0,2 | 0,3 | 0,2 | 0,4 | 0,28 | 0,275 | 0,2 | 0,32 | 0,2 |
| а3 | 0,1 | 0,4 | 0,4 | 0,3 | 0,25 | 0,300 | 0,1 | 0,28 | 0,1 |
|
|
|
Тип критерия для выбора рационального варианта выбирается на аналитической стадии рассмотрения сложных систем.
Задание
По каждому из приведенных выше критериев найти решение задачи.
Представить в виде таблицы «Форма записи результатов»
Вариант 1
В ресторане решено делать бизнес-ланч.
Процесс производства позволяет изготавливать 70, 120 или 150 бизнес-ланчей. Число посетителей колеблется от 60 до 160. Необходимо определить число изготавливаемых бизнес-ланчей аi, если число посетителей kj.
Матрица эффективности имеет вид (руб.).
| а/ к | к1 = 60 | к2= 95 | к3= 125 | к4= 160 |
| а1= 70 | -1600 | 2300 | 2300 | 2300 |
| а2= 120 | -4000 | 5300 | 7800 | 7800 |
| а3= 150 | -6200 | -1750 | 10000 | 9500 |
Вариант 2
Транспортное предприятие организует пригородные автобусные рейсы. Ежедневное число пассажиров изменяется в интервале от 200 до 300 человек. Необходимо определить число рейсов аi, если число пассажиров kj. Матрица эффективности имеет вид (руб.).
| а/к | к1 = 200 | к2= 225 | к3= 250 | к4= 300 |
| а1= 8 | 12300 | 12300 | 12300 | 12300 |
| а2= 10 | 10000 | 16400 | 16520 | 17900 |
| а3= 12 | 8000 | 15000 | 17250 | 19500 |
| а4= 14 | 6000 | 10500 | 17240 | 18560 |
Вариант 3
Туристическая фирма планирует организовать маршрут по Карелии. Число туристов за сезон ожидается от 10 до 16 тысяч человек. Группы формируются по 20 чел. Необходимо определить число маршрутов аi, если число туристов kj. Матрица эффективности имеет вид (тыс.руб.)
| а/к | к1 = 10000 | к2= 12000 | к3= 14000 | к4= 16000 |
| а1= 500 | 125 | 214 | 189 | 120 |
| а2= 600 | 246 | 440 | 260 | 260 |
| а3= 700 | 126 | 135 | 590 | 600 |
| а4= 800 | 100 | 123 | 580 | 853 |
Вариант 4
У предпринимателя есть идея организовать сервисный центр. По прогнозным оценкам ожидается от 90 до 150 клиентов в месяц. На одном рабочем месте можно обслужить 20 человек в месяц. Определить число рабочих мест аi, если число клиентов kj. Матрица эффективности имеет вид (тыс. руб.)
| а/к | к1 = 90 | к2= 110 | к3= 130 | к4= 150 |
| а1= 5 | 30 | 31 | 32 | 32 |
| а2= 6 | 42 | 44 | 26 | 26 |
| а3= 7 | 36 | 136 | 190 | 170 |
| а4= 8 | 25 | 23 | 150 | 175 |
Вариант 5
Решено организовать тренажерный зал. По прогнозным оценкам ожидается от 80 до 150 посетителей в день. Определить, сколько закурить тренажёров аi, если число посетителей kj. Матрица эффективности имеет вид (тыс. руб.)
|
|
|
| а/к | к1 = 80 | к2= 110 | к3= 130 | к4= 150 |
| а1= 8 | 3050 | 3180 | 3240 | 3210 |
| а2= 11 | 4270 | 4410 | 2650 | 2690 |
| а3= 13 | 3690 | 13620 | 19070 | 17030 |
| а4= 15 | 2570 | 2330 | 15060 | 17560 |
Вариант 6
В ресторане решено делать бизнес-ланч.
Процесс производства позволяет изготавливать 80,120 или160 бизнес-ланчей. Число посетителей колеблется от 70 до 160. Необходимо определить число изготавливаемых бизнес-ланчей аi, если число посетителей kj.
Матрица эффективности имеет вид (руб).
| а/ к | к1 = 80 | к2= 110 | к3= 140 | к4= 160 |
| а1= 80 | -1200 | 3300 | 3300 | 3300 |
| а2= 120 | -4500 | 5400 | 7890 | 7890 |
| а3= 160 | -6800 | -2750 | 11000 | 10500 |
Вариант 7
Транспортное предприятие организует пригородные автобусные рейсы. Ежедневное число пассажиров изменяется в интервале от 400 до 550 человек. Необходимо определить число рейсов аi, если число пассажиров kj. Матрица эффективности имеет вид (руб.).
| а/к | к1 = 400 | к2= 450 | к3= 500 | к4= 550 |
| а1= 12 | 24600 | 24600 | 24600 | 24600 |
| а2= 14 | 20000 | 19400 | 19520 | 18900 |
| а3= 16 | 15500 | 15000 | 21250 | 19500 |
| а4= 18 | 8500 | 10500 | 27240 | 29560 |
Вариант 8
Туристическая фирма планирует организовать маршрут по Карелии. Число туристов за сезон ожидается от 5 до 8 тысяч человек. Группы формируются по 20 чел. Необходимо определить число маршрутов аi, если число туристов kj. Матрица эффективности имеет вид (тыс. руб.)
| а/к | к1 = 5000 | к2= 6000 | к3= 7000 | к4= 8000 |
| а1= 250 | 63 | 108 | 99 | 60 |
| а2= 300 | 123 | 256 | 136 | 130 |
| а3= 350 | 66 | 77 | 280 | 320 |
| а4= 400 | 59 | 66 | 290 | 472 |
Вариант 9
У предпринимателя есть идея организовать сервисный центр. По прогнозным оценкам ожидается от 90 до 150 клиентов в месяц. На одном рабочем месте можно обслужить 20 человек в месяц. Определить число рабочих мест аi, если число клиентов kj. Матрица эффективности имеет вид (тыс. руб.)
| а/к | к1 = 90 | к2= 110 | к3= 130 | к4= 150 |
| а1= 5 | 60 | 70 | 70 | 68 |
| а2= 6 | 46 | 48 | 36 | 38 |
| а3= 7 | 55 | 139 | 211 | 179 |
| а4= 8 | 29 | 44 | 231 | 198 |
Вариант 10
Решено организовать тренажерный зал. По прогнозным оценкам ожидается от 80 до 150 посетителей в день. Определить, сколько закурить тренажёров аi, если число посетителей kj. Матрица эффективности имеет вид (тыс. руб.)
| а/к | к1 = 80 | к2= 110 | к3= 130 | к4= 150 |
| а1= 8 | 7890 | 7856 | 8899 | 5678 |
| а2= 11 | 6543 | 6677 | 4455 | 4422 |
| а3= 13 | 4432 | 23456 | 24567 | 31900 |
| а4= 15 | 6432 | 3524 | 24312 | 30954 |
|
|
|
