 |
Теоретические предпосылки. Модель резонансной диффузии
|
|
|
|
Эффект резонансной прозрачности описывается в рамках следующего формализма [2]. Две одинаковые частицы с массами 
, связанные потенциалом 
, проходят сквозь барьер, описываемый потенциалом 
. Их эволюция подчиняется уравнению Шредингера с гамильтонианом:
С помощью преобразования координат
(1)
это уравнение преобразуется к виду
. (2)
Константа С выбирается, исходя из вида потенциала, связывающего две частицы. Так, для часто используемого в подобных расчетах осцилляторного потенциала 
константа 
. В этом случае 
– частота колебаний осциллятора.
Для этого уравнения решается задача рассеяния, то есть задаются специальные граничные условия для волновой функции. Эти условия имеют вид:
что означает невозможность разрыва связи пары при прохождении барьера, и
где функции 
– собственные функции уравнения Шредингера с потенциалом 
, собственные значения этого уравнения 
. Коэффициенты S и R определяют вероятности прохождения и отражения барьера соответственно:
где импульсы 
.
Классические модели диффузии в твердом теле предполагают абсолютную непрозрачность внутрикристаллических барьеров при энергии частицы E, меньшей высоты барьера E max. То есть вероятность прохождения барьера P для одной частицы пропорциональна единичной функции:
При этом диффузию как функцию энергии можно записать в виде: D= D 0 P (E), где D 0 имеет масштаб газовой диффузии [7]. После термодинамического усреднения получаем известную формулу эмпирической зависимости диффузии от температуры:
.
В квантовом случае вероятность P (E) нужно заменить на полную вероятность прохождения через барьер: 
. Соответственно:
|
|
|
.
Температура 
берется в единицах энергии. Пример расчета функции 
приведен в [6]. Дальнейшие расчеты при данных параметрах показали, что превышения молекулярной резонансной диффузии над одночастичной не наблюдается.
Расчеты, пример которых упомянут выше, чрезвычайно сложны и продолжительны. В [6] использовались параметры потенциалов твердого тела «по возможности», то есть такие, с которыми еще могла работать программа, написанная для машины с восьмиразрядным процессором. При этом некоторая часть резонансов уже и здесь не могла быть рассчитана точно, и для учета их вкладов использовалась полуэмпирическая модель экстраполяции от точно просчитанных резонансов. Параметры потенциалов реальных твердых тел задают еще более сложную перспективу для расчетов. Имеет смысл для предварительной оценки целесообразности таких расчетов в использовании неких приближений, которые, конечно, огрубляют искомый результат, но, вместе с тем, могут дать хотя бы предварительную картину.
Уравнение (2) соответствует двумерной задаче рассеяния на потенциальном барьере, примерный вид которого приведен на рис. 1.
Рисунок 1 – Суммарный потенциал в задаче на резонансную диффузию. Случай осцилляторного потенциала взаимодействия частиц и гауссового – барьера. Стрелками указаны метастабильные состояния
Для получения предварительных результатов заменим эту задачу на более простую: одномерное рассеяние на двух прямоугольных барьерах. Основными параметрами будут ширины и высоты барьеров, для масштабирования будут применяться преобразования, аналогичные (1). Коэффициент C выбран, по аналогии с [6], как для двухатомной молекулы бериллия.
В качестве одного из учитываемых параметров используется также глубина ямы между двумя барьерами. Этот параметр необходимо учитывать, так как в некоторых случаях, например, когда рассматривается рассеяние на двумерном барьере из двух гауссовых потенциалов, резонансное прохождение при низких энергиях отсутствует. В работе исследуется зависимость для задачи, когда потенциал связи частиц выбран осцилляторный, а барьерный потенциал – гауссовой формы. Для этого случая минимальная энергия, при которой возможно резонансное прохождение, определяется как сумма:
|
|
|
, (3)
где 
– суммарный потенциал. Точка 
является решением уравнения на поиск минимум потенциальной энергии
.
Формула (3) формируется следующим образом: первое слагаемое – значение потенциала в точке минимума, в двух других выражения под корнем – «частота» двух перпендикулярных осцилляторных потенциалов, которыми можно аппроксимировать поведение суммарного потенциала в точке минимума. В целом два последних слагаемых – выражение для минимальной энергии осциллятора 
. Этот параметр является достаточно важным – он определяет, кроме вышеуказанного, в спорных случаях возможность резонансной диффузии в целом. Резонансная диффузия возможна, если только (3) меньше высоты барьера.
|
|
|
