Кристаллические решетки

Основной особенностью кристаллов, отличающих их от жидкостей и аморфных твердых тел, является периодичность пространственного расположения атомов, молекул и ионов, из которых состоит кристалл. Такая периодичность получила называние дальнего порядка. В дальнейшем ради краткости мы будем говорить, что кристаллы построены из атомов, хотя роль атомов могут выполнять также молекулы или ионы. Совокупность таких периодически расположенных атомов образует периодическую структуру, называемую кристаллической решеткой. Точки, в которых расположены сами атомы (точнее, точки, относительно которых они совершают тепловые и нулевые колебания), называются узлами кристаллической решетки. Если нас интересует только пространственная периодичность в расположении атомов, то можно отвлечься от их внутренней структуры и рассматривать атомы как геометрические точки. В этом смысле говорят о пространственной решетке. Представление о пространственной решетке в кристаллографии было введено французским кристаллографом и математиком Огюстом Браве (1811-1863). Тем самым были заложены основы для систематического теоретического исследования симметрии кристаллов.

Чтобы выявить внутреннюю симметрию кристалла, мы будем предполагать, что кристаллическая решетка неограниченная. Периодичность решетки проявляется в так называемой трансляционной симметрии. Трансляционная симметрия означает, что существуют три некомпланарных вектора а₁, а₂, а₃, характеризующиеся тем, что при смещении решетки на вектор

Т =n₁ a ₁+ n₂ a ₂ + n₃ а ₃,

где n₁, n₂, n₃ - целые числа (в том числе и нули), она переходит сама в себя. Такие смещения называются трансляциями, а вектор Т — векторам трансляции. Если при неизменных направлениях векторов а ₁, а ₂, а ₃ выбрать их длины минимальными, чтобы трансляциями вдоль этих направлений можно было получить всю кристаллическую решетку, то векторы a₁, а₂, а₃ называются основными, или базисными, векторами, а их совокупность — базисом решетки. Параллелепипед с ребрами a₁, a₂, а₃ называют основным, или базисным, параллелепипедом. Вместе с находящимися в нем атомами он образует так называемую элементарную ячейку кристаллической решетки. Длины ребер а, b, с называются основными периодами решетки.

Если элементарная ячейка содержит восемь атомов в вершинах основного параллелепипеда, но не содержит ни одного атома внутри объема или на гранях этого параллелепипеда, то она называется примитивной (рис. 1). Все прочие ячейки называются сложными. Теми же терминами пользуются для названия соответствующих решеток и параллелепипедов. Поскольку к каждой вершине параллелепипеда примыкает восемь элементарных ячеек, на каждую примитивную ячейку приходится один атом. Примитивная пространственная решетка называется также решеткой Браве. Она может быть получена из одной точки, если подвергнуть последнюю всевозможным трансляциям параллельно ребрам основного параллелепипеда а, b, с. Сложную кристаллическую решетку можно рассматривать как совокупность решеток Браве, вставленных друг в друга. По внешнему виду пространственной решетки не всегда просто определить, является ли она примитивной или сложной. Приведем пример, важный для последующего изложения. Рассмотрим примитивную пространственную решетку, основным параллелепипедом которой является прямоугольный параллелепипед с ребрами а, b, с (рис. 2). Такая решетка называется простой ромбической решеткой. Поместим в центре каждой элементарной ячейки по одной точке — получится новая пространственная решетка, называемая объемноцентрированной ромбической решеткой. Если же поместить по одной точке в центрах граней элементарной ячейки, то получится решетка, называемая ромбической гранецентрированной. На первый взгляд кажется, что обе решетки — сложные. На самом деле это не так.