 |
Глава 3. Квантовые статистические распределения.
|
|
|
|
Глава 3. Квантовые статистические распределения.
§3. 1. Статистическая сумма. Большой канонический ансамбль.
Известно, что все частицы в природе в зависимости от их спина делятся на фермионы и бозоны. Спин - это внутренний механический момент количества движения частицы не связанный с ее движением в пространстве. Частицы с полуцелым спином s = 1/2, 3/2, 5/2… называются фермионами, а частицы с целым значением s = 0, 1, 2, ... - бозонами. Так электрон, нейтрон, протон имеют s = 1/2 и являются фермионами. Бозонами являются фотон, векторные мезоны (s = 1) и гравитон (s = 2). В зависимости от спина, ядра атомов (и сами атомы) всех существующих в природе химических элементов тоже являются фермионами или бозонами. Различие между фермионами и бозонами заключается в возможности занимать одно и то же квантовое состояние нескольким тождественным частицам. Квантовые частицы неразличимы. Поэтому любые конфигурации, отличающимися только перестановками двух и более тождественных частиц считаются одинаковыми.
Многочастичные квантовые состояния системы удобно записывать в представлении чисел заполнения. Для этого введем полный набор одночастичных состояний 
с собственными энергиями 
, где индекс 
- номер состояния. Многочастичное состояние определяется указанием числа частиц 
для всех значений . Числа принимают значения:
=0, 1, 2, 3, …. в случае статистики Бозе – Эйнштейна (Б-Э),
= 0, 1 - в случае статистики Ферми – Дирака (Ф-Д).
Одно из центральных мест в квантовой статистике занимает понятие статистической суммы (статсуммы)
. (3. 1)
В этом выражении индекс n нумерует собственные функции |n> и собственные значения En всей системы. В квантовой статистике среднее значение оператора 
в соответствии с распределением Гиббса определяется выражением
|
|
|
, (3. 2)
где 
– вероятность обнаружения системы в состоянии |n> . Если статсумма известна, то с её помощью можно найти все термодинамические свойства системы.
Введём свободную энергию
(3. 3)
и энтропию
. (3. 4)
Определение энтропии (3. 4) полностью соответствует определению, данному ранее в Главе 1. В условиях равновесия
. (3. 5)
Использую нестационарную теорию возмущений легко показать, что при отклонении от равновесия энтропия с течением времени всегда возрастает
. (3. 6)
Рассмотрим полную энергию системы, находящейся в состоянии с номером n: 
, где 
- энергии подсистем. Тогда ( b=1/kT )
=
(3. 7)
Таким образом, свободная энергия всей системы есть сумма свободных энергий её подсистем.
При фиксированном числе частиц N в системе должно выполняться условие 
, которое затрудняет вычисление статистической суммы. Данную проблему можно обойти, если ввести понятие химического потенциала m для систем с переменным числом частиц. Ансамбль таких систем называется большим каноническим ансамблем. В этом ансамбле формально переходят к гамильтониану 
. Химический потенциал m находится из условия
и имеет смысл полной энергии, приходящейся на одну частицу.
В большом каноническом ансамбле статсумма равна
. (3. 8)
Свободная энергия 
называется термодинамическим потенциалом. В случае, когда 
,
. (3. 9)
|
|
|
Однако, по определению,
,
так что 
. (3. 10)
Последнее уравнение позволяет найти зависимость m от числа частиц 
.
Аналогичным образом можно получить:
= 
. (3. 11)
Внутренняя энергия системы
. (3. 12)
В качестве примера использования полученных выше формул рассмотрим одноатомный идеальный газ в трехмерном ящике с непроницаемыми стенками. Из квантовой механики известно, что энергия частиц равна
, где 
размеры ящика, а 
целые числа. Статистическую сумму запишем в виде Z=Zx × Zy × Zz. Отдельные сомножители легко вычисляются:
Средняя энергия одной частицы равна 
а средняя энергия всех частиц 
. Используя полученные выражения для Z, можно найти среднее давление 
. Для этого примем во внимание, что
Тогда
Отсюда получаем, что 
|
|
|
