 |
Выбор аппроксимации для сложной функции
|
|
|
|
Выбор аппроксимации для сложной функции
Задание исходной функции и построение ее графика
Трудно представить себе область более широкую и>й6читаемую, чем аппроксимация различных функциональных зависимостей. С получения простой аппроксимации сложной зависимости нередко начинаются (а часто и заканчиваются) научные исследования во многих областях как прикладной, так и фундаментальной науки. Покажем возможности в этом системы Maple 7 на одном из примеров, давно помещенных в библиотеку пользователей системы Maple V R2, и переработанных для Maple 7.
Воспользуемся возможностями пакета numapprox, для чего прежде всего подключим его:
> restart:with(numapprox):
[chebdeg,chebmult,chebpade,chebsort,chebyshev, confracform,hermite_pade,hornerform, infnorm,laurent,minimax,pade,remez]
Будем искать приемлемую аппроксимацию для следующей, отнюдь не простой, тестовой функции:
График этой функции представлен на рис. 17.1. С первого взгляда — это простой график, но тут как раз тот случай, когда простота обманчива. Вы сразу Заметите, что график строится необычно медленно, поскольку в каждой из множества его точек системе Maple 7 приходится вычислять значение интеграла с подынтегральной функцией, содержащей довольно каверзную гамма- функцию. И делает это Maple 7 по сложному и медленному алгоритму адаптивного численного интегрирования.
Рис. 17.1. График аппроксимируемой функции
Итак, вычисление f(x) по ее интегральному представлению совершенно не эффективно. Наша цель состоит в разработке процедуры вычислений, которая дала бы 6 точных цифр результата в интервале [0..4] и требовала, по возможности, наименьшего числа арифметических операций для каждого вычисления. Втайне не вредно помечтать о том, чтобы после аппроксимации время вычислений уменьшилось бы хотя в несколько раз. Что получится на деле, вы увидите чуть позже. А пока войдем в дебри аппроксимации.
|
|
|
Gif
Gif
Аппроксимации рядом Тейлора
Аппроксимации рядом Тейлора
Начнем с аппроксимации функции хорошо известным рядом Тейлора степени 8 относительно середины интервала (точки с х=2):
Такой ряд позволяет использовать для вычислений только арифметические действия, что само по себе здорово! Для удобства преобразуем аппроксимацию в функцию, чтобы она соответствовала форме, указанной для первоначальной функции f(x). Тогда мы сможем построить график кривой ошибок для аппроксимации полиномом Тейлора:
Кривая ошибок для аппроксимации полиномом Тейлора строится командой:
> plotd(f- TaylorApprox,0..4,.co1or=black);
и имеет вид, представленный на рис. 17.2. Эта кривая нас, прямо скажем, не слишком радует, поскольку погрешность в сотни раз превышает заданную.
Рис. 17.2. Кривая погрешности при аппроксимации рядом Тейлора
Типичное свойство аппроксимации рядом Тейлора состоит в том, что ошибка мала вблизи точки разложения и велика вдали от нее. В данном случае самая большая ошибка имеет место в левой оконечной точке. Чтобы вычислить значение ошибки в точке х =0, что ведет к делению на нуль (см. определение для f(x)), мы должны использовать значение предела:
> maxTaylorError:= abs(Limit(f(x), х-0) - ТауlorАрргох(0));
maxTaylorError:=.0015029620
Итак, в самом начале наших попыток мы потерпели полное фиаско. Но отчаиваться не стоит, ибо, как говорят, «даже у хорошей хозяйки первый блин — комом».
Gif
Gif
Gif
Паде-аппроксимация
Паде-аппроксимация
Теперь опробуем рациональную аппроксимацию Паде (Fade) функции f(x) степени (4,4). Приближения по этому разложению будут аппроксимировать функцию более точно, и потому ошибки округления в вычислениях станут более заметными. Поэтому зададим еще два дополнительных знака для точности вычислений.
|
|
|
Кривая ошибки для интервала [0, 4] строится командой:
и имеет вид, показанный на рис. 17.3.
Рис. 17.3. Кривая погрешности при Паде- аппроксимации степени (4,4)
Как и при аппроксимации рядом Тейлора, ошибка здесь мала вблизи точки разложения и велика вдали от нее. Мы снова видим из графика, что для указанной функции, самая большая ошибка — в левой оконечной точке. Однако максимальная ошибка в Паде- аппроксимации уже на порядок меньше, чем при аппроксимации полиномом Тейлора:
Это успех, показывающий, что мы на верном пути. Но пока погрешность остается слишком большой по сравнению с заданной.
Gif
Gif
Gif
Gif
|
|
|
