Примеры решения задач

1. Даны четыре точки

M ₁(5; 5; 4), M ₂(1; -1; 4), M ₃(5; 8; - 1), M ₄(5; 8; -1).

Составить уравнения: а) плоскости M ₁ M ₂ M ₃; б) прямой M ₁ M ₂; в) прямой M ₄ K, перпендикулярной к плоскости M ₁ M ₂ M ₃; г) прямой M ₃ N, параллельной прямой M ₁ M ₂; д) плоскости, проходящей через точку M ₄ перпендикулярно прямой M ₁ M ₂.

Вычислить: е) синус угла между прямой M ₁ M ₄ и плоскостью M ₁ M ₂ M ₃; ж) косинус угла между координатной плоскостью Oxy и плоскостью M ₁ M ₂ M ₃.

Решение.

а) Уравнение плоскости M ₁ M ₂ M ₃:

Применим формулу Лапласа: (x -5)∙(18-0)–(y –5)∙(12-0)+(z –4)∙(0–12)

18 x –12 y –12 z +18=0

3 x –2 y –2 z +3=0 – общее уравнение плоскости M ₁ M ₂ M ₃.

б) Уравнение прямой M ₁ M ₂, проходящей через точки M ₁(5; 5; 4), M ₂(1; -1; 4): ;

;

– ноль в знаменателе третьей дроби не означает деление на ноль, а является формальной записью и отражает тот факт, что прямая лежит в плоскости z = 4.

Преобразуем это уравнение к каноническому виду:

в) Прямая M ₄ K, по условию перпендикулярна плоскости M ₁ M ₂ M ₃. В качестве направляющего вектора искомой прямой примем нормальный вектор плоскости M ₁ M ₂ M ₃, координаты которого пропорциональны коэффициентам при переменных в общем уравнении плоскости: . Так как прямая проходит через точку M ₄, то её уравнение

– каноническое уравнение искомой прямой.

г) Прямая параллельна M ₃ N прямой M ₁ M ₂. В качестве направляющего прямой M ₃ N можно взять направляющий вектор прямой M ₁ M ₂. В то же время прямая проходит через точку M ₃(5; 8; - 1), следовательно

.

д) Составим уравнение плоскости, проходящей через точку M ₄ перпендикулярно прямой M ₁ M ₂. Направляющий вектор прямой M ₁ M ₂ является нормальным вектором искомой плоскости. Так как плоскость проходит через точку, M ₄ то её уравнение x_a (x - x ₄) + y_a (y - y ₄) + z_a (z - z ₄) =0

2(x -5) + 3(y -8) =0;

2 x+ 3 y -34 =0 – общее уравнение плоскости, проходящей через точку M ₄.

е) Вычислим синус угла α между прямой M ₁ M ₄ и плоскостью M ₁ M ₂ M ₃.

Заметим, что , где β – острый угол между нормальным вектором плоскости M ₁ M ₂ M ₃ и вектором =(5–5; 8–5; –1–4)=(0; –3; –5).

ж) Вычислим косинус угла γ между координатной плоскостью M ₁ M ₂ M ₃ и плоскостью Oxy. Угол γ равен острому углу между нормальными векторами рассматриваемых плоскостей:

и .

.