Приближённые методы

В экономико-математическом моделировании широко используются методы, преобразующие табличные значения к аналитическому виду с помощью интерполяции, аппроксимации и экстраполяции. Их относят к приближённым методам, поскольку, в решении практических задач, как правило, не удаётся получить точного решения (точной формулы, совпадающей в «узловых» точках с табличными данными).

Интерполяция – приближённое или точное нахождение некоторой величины по известным отдельным значениям этой же или другой величины, с ней связанной. Так, через любые n + 1 точки можно провести линию, описываемую полиномом n -ой степени и проходящую через все заданные точки.

Аппроксимация – замена одних математических объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным. Аппроксимация позволяет изучать сложные объекты (например, сложные функции, экономические системы), заменив их более простыми и удобными для исследования объектами. Из методов аппроксимации в практическом моделировании часто используют метод наименьших квадратов.

Экстраполяция – продолжение функции за пределы её области определения, при котором продолженная функция принадлежит заданному классу; распространение тенденций, установленных в прошлом, на будущий период. Активно применяется в прогнозировании.

 

Интерполирование функций

Постановка задачи

 

Пусть на некотором отрезке заданы n + 1 точки x₀, x₁, x₂,..., x_n, которые называются узлами интерполяции, и значения некоторой функции y = f (x) в этих точках: y₀ = f (x₀), y₁ = f (x₁),..., y_n = f (x_n). Тогда функцию y = f (x) можно определить таблицей

 

xi	x0	x1	...	xn
yi	y0	y1	...	yn

 

Требуется построить функцию F (x), принадлежащую известному классу функций и принимающую в узлах интерполяции те же значения, что и f (x), т.е. такую, что

y₀ = F (x₀), y₁ = F (x₁),..., y_n = F (x_n).

Такая функция F (x) называется интерполирующей функцией.

Геометрически это означает, что нужно найти кривую y = F (x) некоторого определённого типа, проходящую через заданные точки N_i (x_i, y_i), где i = 0, 1,..., n (рис. 7).

 

 

Рис. 7. Интерполирующая функция

 

Заметим, что в такой общей постановке задача интерполирования может иметь бесконечное множество решений или совсем не иметь решений. Однако задача становится однозначной, если вместо произвольной функции F (x) следует искать многочлен Р_n (x) степени n такой, что

y₀ = Р_n (x₀), y₁ = Р_n (x₁),..., y_n = Р_n (x_n). (2.1)

 

Таким образом, задачей интерполяции является построение многочлена Р_n (x), значения которого в узлах интерполяции x_i равны соответствующим значениям заданной функции, т.е. для него выполняются условия (2.1).

На практике полученную интерполяционную формулу y = Р_n (x) используют для приближённого вычисления значений заданной функции

f (x), где значения аргумента x отличны от узлов интерполяции. Такая операция называется интерполированием функции f (x).

 

⇐ Предыдущая123456789Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: