Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Векторный и алгебраический момент пары сил.




Билет №1.

  1. Векторный способ задания движения точки. Траектория, скорость, ускорение точки.
  2. Эквивалентность пар. Сложение пар. Условие равновесия системы пар сил.

 

Векторная система координат.

Положение точки М определено, если радиус-вектор r из центра О выражен функцией времени t r= r (t) Þ задан способ определения модуля вектора и его направления, если имеется система координат. Скорость и ускорение:

r (t), тогда

(t+Δt)à r (t+Δt), получаем

Δ r = r (t+Δt)- r (t) Þ

V срr /Δt. V =lim(Δ r /Δt)=d r /dt.

a срV/ Δt. a=lim(Δ v /Δt)=d V /dt= d² r (t)/dt².

Переход от векторной формы к координатной:

r (t)=x(t) i +y(t) j +z(t) k.

Обратно:

x= r (t)× i, y= r (t)× j, z= r (t)× k.

Эквивалентность пар. Сложение пар. Условия равновесия пар сил.

Эквивалентность: А) 2 пары, имеющие равные моменты, эквивалентны. Пару сил можно перемещать, поворачивать в плоскости действия, перемещать в параллельную плоскость, менять одновременно силу и плечо.

Б) 2 пары, лежащие в одной плоскости, можно заменить на одну пару, лежащую в той же плоскости с моментом, равным сумме моментов этих пар.

M=M(R,R’)= BA × R = BA ×(F 1+ F 2)= BA × F 1+ BA × F 2. При переносе сил вдоль линии действия момент пары не меняется Þ BA × F 1=M1, BA × F 2=M2, M=M1+M2.

СЛОЖЕНИЕ. 2 пары, лежащие в пересекающихся плоскостях, эквивалентны 1 паре, момент которой равен сумме моментов двух данных пар.

Дано: (F 1, F 1’), (F 2, F 2’)

Доказательство:

Приведем данные силы к плечу АВ – оси пересечения плоскостей. Получим пары:

(Q 1, Q 1’) и (Q 2, Q 2’). При этом M 1= M (Q 1, Q 1’)= M (F 1, F 1’),

M 2= M (Q 2, Q 2’)= M (F 2, F 2’).

Сложим силы R = Q 1+ Q 2, R’ = Q 1’+ Q 2’. Т. к. Q 1’= - Q 1, Q 2’= - Q 2 Þ R = - R ’. Доказано, что система двух пар эквивалентна системе (R, R ’). M (R, R ’)= BA × R = BA ×(Q 1+ Q 2)= BA × Q 1+ BA × Q 2= M (Q 1, Q 1’)+ M (Q 2, Q 2’)= M (F 1, F 1’)+ M (F 2, F 2’) Þ M = M 1+ M 2.

УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ:

Система находится в равновесии, если суммарный момент всех пар сил, действующих на тело, равен нулю.

M 1+ M 2+…+ Mn =0.

Билет №2.

  1. Координатный способ задания движения точки (прямоугольная декартова система координат). Траектория, скорость, ускорение точки.
  2. Аксиомы статики.

Декартова система координат.

Вектор r можно разложить по базису I, j, k: r =x i +y j +z k.

Движение материальной точки полностью определено, если заданы три непрерывные и однозначные функции от времени t: x=x(t), y=y(t), z=z(t), описывающие изменение координат точки со временем. Эти уравнение называются кинематическими уравнениями движения точки. Радиус-вектор r является функцией переменных x, y, z, которые, в свою очередь, являются функциями времени t. Поэтому производная r ׳(t) может быть вычислена по правилу

d r /dt=∂ r /∂x∙dx/dt+∂ r /∂y∙dy/dt+∂ r /∂z∙dz/dt.

Отсюда вытекает, что v =vx i +vy j +vz k.

V =√ (vx²+vy²+vz²)

Ускорением точки в данный момент времени назовем вектор а, равный производной от вектора скорости v по времени. А =x׳׳(t) I +y׳׳(t) j +z׳׳(t) k.

А=√((x׳׳(t))²+(y׳׳(t))²+(z׳׳(t))²)

Аксиомы статики.

1) 2 силы, приложенные к абс. твердому телу будут эквивалентны 0 тогда и только тогда, когда они равны по модулю, действуют на одной прямой и направлены в противоположные стороны.

2) Действие данной системы сил на абсолютно твердое тело не изменится, если к ней добавить или отнять систему сил, эквивалентную 0 => точку приложения силы можно переносить вдоль линии её действия.

3) Если к телу приложены 2 силы, исходящие из одной точки, то их можно заменить равнодействующей (любую силу можно разложить на составляющие бесконечное число раз).

4) Силы взаимодействия двух тел равны по модулю и противоположны по направлению.

Действие связей можно заменить действием сил – реакций связи.

 

Билет №3.

  1. Естественный способ задания движения точки. Траектория, скорость, ускорение точки.
  2. Алгебраический и векторный момент силы относительно точки.

Естественный способ.

Если задана траектория движения точки, выбрано начало и положительное направление отсчета и известна S=S(t) зависимость пути от времени, то такой способ задания движения точки называется естественным. V=d r /dt∙dS/dS=S׳(t)∙d r /dS=S׳(t)∙ τ = =vττ. D r /dS= τ. Τ направлена всегда в «+» направлении отсчета S.

A =d v /dt=S׳׳(t)∙ τ +S׳(t)∙d τ /dt=S׳׳∙ τ+ ( S׳)² n /ρ. Aτ=S׳׳-тангенциальное ускорение, an=(S׳)²/ρ-нормальное (центростремительное) ускорение, ρ-радиус кривизны.

A=√((aτ)²+(an)²).

Векторный и алгебраический момент пары сил.

Алгебраический момент M=±F∙d (пара). M=±dF1=±dF2=±2SΔABC= ±Sٱ. Он не меняется при перемещении сил вдоль линии их действия (ни плечо, ни направление вращения не меняются).

Векторный момент – вектор M = M (F, F’), направлен перпендикулярно плоскости пары в ту сторону, откуда видно стремление пары повернуть тело против часовой хода стрелки, его модуль равен алгебраическому моменту пары.

M (F 1, F 2)= BA x F 1= AB x F 2.

Моменты относительно точки.

Алгебраическим моментом силы F относительно точки О называется взятое со знаком «+» или «-» произведение | F | на её плечо: MO(F)=±Fh=±2SΔOABM O(F). «+» - против часовой стрелки. Характеризует вращательный эффект F.

Свойства:

А) Не меняется при переносе точки приложения вдоль линии действия силы. (т.к. | F |sinα= const).

Б) Ь=0 если т. О лежит на линии действия силы.

Плоскость действия M – через F и O.

Векторный момент силы F относительно точки О – вектор M O(F)= r x F (r – радиус- вектор из А в О). | M O(F)|=| F |∙| r |∙sinα=Fh.

i j k

M O(F)= xA yA zA =>

Fx Fy Fz

 

ð MOx(F)=yFz-zFy

ð MOy(F)=zFx-xFz

MOz(F)=xFy-yFx

 

Билет №4.

  1. Координатный способ задания движения точки (полярная система координат). Траектория, скорость, ускорение точки.
  2. Пара сил. Теорема о сумме моментов сил, составляющих пару, относительно произвольной точки.

Полярные координаты

Ox – полярная ось, φ – полярный угол, r – полярный радиус. Если задан закон r=r(t), φ=φ(t), то задано движение в полярной системе координат. Пусть r = r, - единичный вектор, pº┴rº - единичный вектор. Тогда v =d r /dt=r׳ +

rd /dt=r׳ +rφ׳ =vr +vp pº. vp и vr – трансверсальная и радиальная составляющая скорости. A =d v /dt=d(r׳ +rφ׳ )/ dt=r׳׳ +r ׳ d /dt+r׳φ׳ +rφ׳׳ +rφ׳∙

d /dt=(r׳׳-(rφ׳)²) +(rφ׳׳+2r׳φ׳) = ar +ap .

r²=x²+y², φ=arctg(y/x).

vr=r׳=(xvx+yvy)/r,

vp=rφ׳=(xvy-yvx)/r

Поделиться:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...