Т. о приведении произвольной системы сил к силе и паре сил.

Теорема Пуассо: Произвольная система сил, действующих на твердое тело, можно привести к какому-либо центру О, заменив все действующие силы главным вектором системы сил R, приложенным к точке О, и главным моментом M _O системы сил относительно точки О.

Доказательство:

Пусть О – центр приведения. Переносим силы F ₁, F ₂,…, F _n в точку О: F O= F ₁ + F ₂+…+ F _n= ∑ F _k. При этом получаем каждый раз соответствующую пару сил (F ₁, F ₁”)…(F _n, F _n”), Моменты этих пар равны моментам этих сил относительно точки О. M₁=M(F ₁, F ₁”)= r ₁x F ₁=M_O(F ₁). На основании правила приведения систем пар к простейшему виду M_O=M₁+…+M₂=∑M_O(F _k)= ∑ r _kx F _k => (F ₁, F ₂,…, F _n) ~ (R, M _O) (не зависит от выбора точки О).

Билет №5.

1. Определение скорости точки при задании ее движения в криволинейных координатах.
2. Момент силы относительно оси.

Скорость точки в криволинейных координатах.

V =d r /dt=(∂ r /∂q₁)∙dq₁/dt+(∂ r /∂q₂)∙dq₂/dt+(∂ r /∂q₃)∙dq₃/dt.

v= (dq₁/dt)H₁ e ₁+(dq₂/dt)H₂ e ₂+(dq₃/dt)H₃ e ₃.

v=√(dq₁/dt)²H₁²+(dq₂/dt)²H₂²+(dq₃/dt)²H₃². v_q1=(dq₁/dt)H₁, v_q2=(dq₂/dt)H₂, v_q3=(dq₃/dt)H₃.

Пример: 1) скорость в цилиндрической системе.

Т.к. x=ρcosφ, y=ρsinφ, z=z, то

H₁=1, H₂=ρ, H₃=1.

v_ρ=dρ/dt, v_φ=ρdφ/dt, v_z=dz/dt.

2) Движение по винтовой.

ρ=R=const, φ=kt, z=ut.

v_ρ=0, v_φ=kR, v_z=u.

Момент силы относительно оси.

Момент силы относительно оси – алгебраический момент проекции этой силы на ось, перпендикулярную оси z, взятого относительно точки A пересечения оси с этой плоскостью. Характеризует вращательный эффект относительно оси.

M_z(F)=±2S_ΔABC=±F_┴∙h.

Если M_z(F)=0, то сила F либо параллельна оси z, либо линия её действия пересекает ось z.

 

Билет №6.

1. Понятие о криволинейных координатах. Координатные линии и координатные оси.
2. Основные виды связей и их реакции.

Криволинейные координаты.

Устанавливают закон выбора 3 чисел q₁, q₂, q₃. q₁, q₂, q₃ – криволинейные координаты. Функция координат: r = r (q₁,q₂,q₃) (из точки О).

Возьмем точку М₀ с координатами q₁,q₁₀,q_20.

X=X(q₁,q₂₀,q₃₀);

Y=Y(q₁,q₂₀,q₃₀);

Z=Z(q₁,q₂₀,q₃₀);

Определяют кривую (переменная только q₁). Кривая – координатная линия, соответствующая изменению q₁ (аналогично q₂ и q₃). Касательные к координатным линиям, проведенные в точке M₀ в сторону возрастания соответствующих координат – координатные оси: [q₁], [q₂], [q₃].

 

H₁=

Коэффициент Ламе.

e ₁=(∂ r /∂q₁)/H₁.

Аналогично Н₂, Н₃, е ₂, е ₃.

Виды связей и их реакции.

Связи – ограничения, накладываемые на свободное твердое тело (занимает произвольное положение в пространстве). Реакция связи направлена в сторону, противоположную той, куда связь не дает перемещаться телу.

1)Гладкая поверхность – по общей нормали.

2)Нить – вдоль к точке закрепления.

3)Сферический шарнир – по любому радиусу.

4)Сферический шарнир – по любому радиусу.

5)Подпятник, подшипник – любое направление.

Дополнительно:

А) Скользящий;

Б) Внутренний.

 

Билет №7.

1. Число степеней свободы твердого тела в общем и частных случаях его движения.
2. Лемма о параллельном переносе силы.

Число степеней свободы твердого тела

n=3N-k, где n-число степеней свободы, N-число точек, к-число связей. n =6-для свободного тв.тела

Для тела, кот-е совершает сферич.дв-е достаточно 3 коор-ты, поскольку оно имеет 3 степени свободы.

Лемма о параллельном переносе силы.

Сила, приложенная к какой-либо точке твердого тела, эквивалентна такой же силе, приложенной к любой другой точке тела, и паре сил, момент которой равен моменту данной силы относительно новой точки приложения.

Доказательство: пусть дана сила F. Приложим к какой-либо точке В систему F’ и F ”.

| F |=| F’ |=| F” |. F ~(F, F’, F ”), т.к. (F ’, F ”) ~ 0, то

F ~ (F, F ’, F ”) ~ (F, F ’ ,F”) ~ (F ’, M (F, F ”)).

Но M (F, F ”)= BA x F = M _B(F).

Получаем:

F ~ (F ’, M (F, F ”))

Ч. т. д.

 

Билет №8.

1. Поступательное движение твердого тела. Число степеней свободы, уравнения движения. Скорости и ускорения точек тела.
2. Связь векторного момента силы относительно точки с моментом силы относительно оси, проходящей через эту точку.

Поступательное движение.

Существует 5 видов движения – поступательное, вращательное вокруг неподвижной оси, плоское (плоскопараллельное), сферическое, общий случай. Поступательное движение твердого тела – движение, при котором любая прямая этого тела при движении остается параллельной самой себе.

Траектории любой точки тела, совершающего поступательное движение, одинаковы.

Радиус – вектор любой точки движущегося поступательно тела равен r _B= r _A+ AB, AB =const. d r _B/dt=d r _A/dt+ d AB /dt=d r _A/dt => v_B=v_A, a_B=a_A

Связь между моментом относительно оси и относительно точки.

Момент силы F относительно оси z равен проекции на эту ось вектора момента силы F относительно произвольной точки О на этой оси.

Доказательство:

Пусть О – произвольная точка на оси z. Момент силы F относительно точки О перпендикулярен плоскости ОАВ

M _O(F)┴(OAB). Пусть угол между M _O(F) и осью z равен α. Тогда Пр_z M _O(F)=2S_{ΔO’A’B’}= 2S_ΔOAB∙cosα => M _z(F) = | M _O(F)|cosα.

Ч.т.д.

Билет №9.

1. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси. Векторные и скалярные формулы для скоростей и ускорений точек тела.
2. Теорема о приведении произвольной системы сил к силе и паре – основная теорема статики.

Вращение вокруг неподв. оси.

φ=φ(t) – угол поворота, n=1 степень свободы. Для задания вращения вокруг неподвижной оси необходимо выбрать ось, начало отсчета угла поворота и его положительное направление и задать зависимость угла поворота от времени. ω=dφ/dt – угловая скорость. ε=dω/dt= d²φ/dt² - угловое ускорение. Скорость любой точки тела, не лежащей на оси v = ω x r, ускорение a =d v /dt=(d ω /dt)x r + ω xd r /dt= ε x r + ω x(ω x r), где a _τ= ε x r

Частные случаи: 1) ω=const – равномерное вращение (φ=φº+ωt). 2) ε=const – равноускоренное вращение (ω=ωº+εt, φ=φº+ωt+ εt²/2)

2. Основная теорема статики (теор. Пуансо):

При приведении системы сил к заданому центру возникает главный вектор R равный сумме всех сил и главный момент М_о, равный сумме моментов всех сил относительно центра приведения.

R=åF_k

L_o=åM_o(F_k)

Билет №10.

1. Плоское движение твердого тела. Уравнения плоского движения. Разложение плоского движения на поступательное движение вместе с полюсом и вращательное вокруг оси, проходящей через полюс.
2. Инварианты системы сил. Частные случаи приведения системы сил к простейшему виду.

2. Инварианты системы сил. Частные случаи приведения.

Инвариант системы сил – векторные и скалярные величины, не зависящие от точки приведения системы сил.

1.Главный вектор R =∑ F _i=const.

2.Скалярное произведение главного вектора и главного момента L _O R =const=F_xM_x+ F_yM_y+F_zM_z.

Доказательство: Умножим обе части выражения (1) на R:

M _O1 R = M _O R +( O₁O x R) R Þ Пр _R (L _O1)= Пр _R (L _O)=L_O1R∙ ∙cos(L_O1^R)= L_O2Rcos(L_O2^R).

L_O1xR_x+ L_O1yR_y +L_O1zR_z =L_O2xR_x +L_O2yR_y +L_O2zR_z

Приведение к простейшему виду:

1) M _O=0, R ¹0 à к равнодействующей, равной R, проходящей через О.

2) R =0, M _O¹0 à к паре с моментом M _O (независимо от О).

R ¹0, M _O¹0, M _O┴ R àк равнодействующей, равной R, проходящей через О₁: ОО₁=d= | M _O| / | R |. Доказательство: R и пара сил с моментом M _O лежат в одной плоскости Þ

Þ силы R и R ” уравновешиваются, систему можно заменить равнодействующей R ’.

3) M _O R ¹0, R ¹0, M _O¹0, R не перпендикулярна M _O – приводится к динаме.

Доказательство: Разложим M _O на 2 составляющих: M ₁ и M ₂. M ₂ представим в виде пары сил R ’ и R ”. Силы R и R ” уравновешиваются, а M ₁ перенесем в точку O₁ (свободы).

В результате получили винт R ’, M ₁, проходящий через точку О₁.

Прямая, проходящая через точку О₁ – ось динамы.

Билет №11.

1. Соотношение между ускорениями двух точек плоской фигуры при плоском движении твердого тела.
2. Равновесие тела с учетом трения скольжения. Законы Кулона.

⇐ Предыдущая123Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: