 |
Аксиоматические методы в математике
|
|
|
|
Полисемия
Полисемия, или многозначность слов возникает вследствие того, что язык представляет систему, ограниченную по сравнению с бесконечным многообразием реальной действительности, так что говоря словами академика Виноградова, " Язык оказывается вынужденным разносить бесчисленное множество значений по тем или иным рубрикам основных понятий". (Виноградов "Русский язык" 1947). Нужно различать различное употребление слов в одном лексико-семантическом варианте и действительное различие слова. Так, например, словом (das)Ol можно обозначить ряд различных масел, кроме коровьего (для которого существует слово Butter). Однако из этого не следует, что, обозначая различные масла, слово Ol будет иметь каждый раз другое значение: во всех случаях значение его будет одно и то же, а именно масло(всякое, кроме коровьего). Так же как например значение слова Tisch стол независимо от того, какой вид стола обозначает слово в данном конкретном случае. Иначе обстоит дело, когда слово Ol обозначает нефть. Здесь на первый план выдвигается уже не сходство нефти по линии маслянистости с различными сортами масла, а особое качество нефти - горючесть. И при этом со словом Ol будут соотноситься уже слова, обозначающие различные виды топлива: Kohl, Holz и т.д. Это дает нам возможность выделить у слова Ol два значения (или говоря иначе, два лексико-семантических варианта): 1) масло (не животное) 2) нефть.
Обычно новые значения возникают путем переноса одного из существующих слов на новый предмет или явление. Так образуются переносные значения. В их основе лежит либо сходство предметов, либо связь одного предмета с другим. Известны несколько типов переноса названий. Важнейшие из них - метафора или метонимия.
При метафоре перенос основан на сходстве вещей по цвету, форме, характеру движения и так далее. При всех метафорических изменениях какой-нибудь признак первоначального понятия остается
|
|
|
Омонимия
Многозначность слова настолько большая и многоплановая проблема, что самые разнообразные проблемы лексикологии так или иначе оказываются связанными с нею. В частности с этой проблемой некоторыми своими сторонами соприкасается и проблема омонимии.
Омонимы - это слова, одинаковые по звучанию, но разные по своему значению. Омонимы в ряде случаев возникают их полисемии, подвергнувшейся процессу разрушения. Но омонимы могут возникнуть и в результате случайных звуковых совпадений. Ключ, которым открывают дверь, и ключ - родник или коса - прическа и коса - земледельческое орудие - эти слова имеют различное значение и различное происхождение, но случайно совпавшие в своем звучании.
Омонимы различают лексические (относятся к одной части речи, напр.ключ - для открывания замка и ключ - родник. источник) морфологические (относятся к разным частям речи, напр. три - числительное, три - глагол в повелительном наклонении), лексико- грамматические, которые создаются в результате конверсии, когда данное слово переходит в другую часть речи. например в анг. look- смотреть и look-взгляд. Особенно много лексико-грамматических омонимов в английском языке.
От омонимов нужно отличать омофоны и омографы. Омофонами называют разные слова, которые, различаясь при их принаписании, совпадают в произношении, например: лук - луг, Seite - страница и Saite - струна.
Омографами называют такие разные слова, которые совпадают по написанию, хотя и произносятся различно (как в отношении звукового состава, так и и места ударения в слове), например Замок - замок.
Синонимия
Синонимы - это близкие по значению, но разно звучащие слова, выражающие оттенки одного понятия.
Выделяются три вида синонимов:
1. Понятийные, или идеографические. Они отличаются друг от друга лексическим значением. Это различие проявляется в разной степени обозначаемого признака (мороз - стужа, сильный, мощный, могучий), в характере его обозначения (ватник - стеганка - телогрейка), в обеъеме выражаемого понятия (знамя - флаг, дерзкий - смелый), в степени связанности лексического значения (коричневый - карий, черный - вороной).
2. Синонимы стилевые, или функциональные. Они отличаются друг от друга сферой употребления, например, глаза - очи, лицо - лик, лоб - чело. Синонимы эмоционально - оценочные. Эти синонимы открыто выражают отношение говорящего к обозначаемому лицу, предмету или явлению. Например, ребенка можно торжественно назвать дитя, ласкательно мальчуган и мальчонка, презрительно мальчишка и молокосос, а также усилительно - презрительно щенок, сосунок, сопляк.
3. Антонимы - объединения слов, противоположных по своему лексическому значению, например: верх - низ, белый - черный, говорить- молчать, громко- тихо.
|
|
|
Антонимия
Есть три вида антонимов:
1. Антонимы градуальной и координированной противоположности, например, белый - черный, тихо - громко, близкий - далекий, добрый - злой и так далее. У этих антонимов есть общее в их значении, которое и допускает их противопоставления. Так понятия черный и белый обозначают противоположные цветовые понятия.
2. Антонимы дополняющей и конверсивной противоположности: война -мир, муж - жена, женатый - холостой, можно - нельзя, закрывать - открывать.
3. Антонимы дихотомического деления понятий. Они часто являются однокоренными словами: народный - антинародный, законный - противозаконный, человечный - бесчеловечный.
Интерес представляет собой и т. н. внутрисловная антонимия, когда противопоставляются значения слов, имеющих одну и ту же материальную оболочку. Например, в русском языке глагол одолжить кому-нибудь денег значит "дать в долг", а одолжить у кого-нибудь денег уже означает взять у кого-нибудь в долг. Внутрисловное противопоставление значений получило название энантиосемии.
6. Аксиоматическое построение системы натуральных чисел. Аксиоматический метод построения математической теории. Требования к системе аксиом: непротиворечивости, независимости, полноты. Аксиоматика Пеано. Понятие натурального числа с аксиоматических позиций. Модели системы аксиом Пеано. Сложение и умножение натуральных чисел с аксиоматических позиций. Упорядоченность множества натуральных чисел. Свойства множества натуральных чисел. Вычитание и деление множества натуральных чисел с аксиоматических позиций. Метод математической индукции. Введение нуля и построение множества целых неотрицательных чисел. Теорема о делении с остатком.
|
|
|
Основные понятия и определения
Число – это выражение определенного количества.
Натуральное число элемент неограниченно продолжающейся последовательности.
Натуральные числа (естественные числа) — числа, возникающие естественным образом при счёте (как в смысле перечисления, так и в смысле исчисления).
Существуют два подхода к определению натуральных чисел — числа, используемые при:
перечислении (нумеровании) предметов (первый, второй, третий, …);
обозначении количества предметов (нет предметов, один предмет, два предмета, …).
Аксиома – это основные исходные положения (самоочевидные принципы) той или иной теории, из которых путем дедукции, то есть чисто логическими средствами, извлекается все остальное содержание этой теории.
Число, которое имеет только два делителя (само это число и единицу) называется - простым числом.
Составное число - это такое число, которое имеет более двух делителей.
§2. Аксиоматика натурального числа
Натуральные числа получаются при счете предметов и при измерении величин. Но если при измерении появляется числа, отличные от натуральных, то счет приводит только к числам натуральным. Чтобы вести счет, нужна последовательность числительных, которая начинается с единицы и которая позволяет осуществлять переход от одного числительного к другому и столько раз, сколько это необходимо. Иначе говоря, нужен отрезок натурального ряда. Поэтому, решая задачу обоснования системы натуральных чисел, в первую очередь надо было ответить на вопрос о том, что же представляет собой число как элемент натурального ряда. Ответ на это был дан в работах двух математиков - немца Грассмана и итальянца Пеано. Они предложили аксиоматику, в которой натуральное число обосновывалось как элемент неограниченно продолжающейся последовательности.
|
|
|
Аксиоматическое построение системы натуральных чисел осуществляется по сформулированным правилам.
Пять аксиом можно рассматривать как аксиоматическое определение основных понятий:
- 1 есть натуральное число;
- следующее за натуральным числом есть натуральное число;
- 1 не следует ни за каким натуральным числом;
- если натуральное число а следует за натуральным числом b и за натуральным числом с, то b и с тождественны;
- если какое-либо предложение доказано для 1 и если из допущения, что оно верно для натурального числа n, вытекает, что оно верно для следующего за n натурального числа, то это предложение верно для всех натуральных чисел.
Единица – это первое число натурального ряда, а также одна из цифр в десятичной системе счисления.
Считается, что обозначение единицы любого разряда одним и тем же знаком (довольно близким современному) появилось впервые в Древнем Вавилоне приблизительно за 2 тысячи лет до н. э.
Древние греки, считавшие числами лишь натуральные числа, рассматривали каждое из них как собрание единиц. Самой же единице отводится особое место: она числом не считалось.
И. Ньютон писал: «… под числом мы понимаем не столько собрание единиц, сколько отвлеченное отношение одной величины к другой величине, условно принятой нами за единицу». Таким образом, единица уже заняла своё законное место среди других чисел.
Арифметические действия над числами имеют самые различные свойства. Их можно описать словами, например: «От перемены мест слагаемых сумма не меняется». Можно записать буквами: a+b = b+a. Можно выразить специальными терминами.
Мы применяем основные законы арифметики часто по привычке, не осознавая этого:
1) переместительный закон (коммутативность), – свойство сложения и умножения чисел, выражаемое тождествами:
a+b = b+a a*b = b*a;
2) cочетательный закон (ассоциативность), – свойство сложения и умножения чисел, выражаемое тождествами:
(a+b)+с = а+(b+с) (a*b)*с = а*(b*с);
3) распределительный закон (дистрибутивность), – свойство, связывающее сложение и умножение чисел и выражающееся тождествами:
a*(b+с) = а*b+а*с (b+с) *a = b*а+с*а.
После доказательства переместительного, сочетательного и распределительного (по отношению к сложению) законов действия умножения дальнейшее построение теории арифметических действий над натуральными числами не представляет уже принципиальных затруднений.
|
|
|
В настоящее время в уме или на листке бумаги мы делаем лишь самые простые вычисления, все чаще и чаще поручая более сложную вычислительную работу калькуляторам, вычислительным машинам. Однако в основе работы всех вычислительных машин – простых и сложных – лежит самая простая операция – сложение натуральных чисел. Оказывается, самые сложные расчеты можно свести к сложению, только делать эту операцию надо многие миллионы раз.
Аксиоматические методы в математике
Одной из основных причин развития математической логики является широкое распространение аксиоматического метода в построении различных математических теорий, в первую очередь, геометрии, а затем арифметики, теории групп и т.д. Аксиоматический метод можно определить как теорию, которая строится на предварительно выбранной системе неопределяемых понятий и отношений между ними.
В аксиоматическом построении математической теории предварительно выбирается некоторая система неопределяемых понятий и отношений между ними. Эти понятия и отношения называются основными. Далее вводятся аксиомы т.е. основные положения рассматриваемой теории, принимаемые без доказательств. Все дальнейшее содержание теории выводится логически из аксиом. Впервые аксиоматическое построение математической теории было предпринято Евклидом в построении геометрии.
|
|
|
