Главная | Обратная связь
МегаЛекции

Независимость аксиоматической системы.




Непротиворечивая система аксиом называется независимой, если ни одна из аксиом этой системы не может быть выведена из остальных аксиом как теорема. В противном случае система аксиом называется зависимой.

Для иллюстрации этого свойства обратимся снова к геометрической теории, основанной на аксиоматике Гильберта. Ясно, что непосредственная проверка независимости каждой из 20 аксиом затруднительна. История V постулата "Начал" Евклида является поучительным тому примером. Четвертый постулат о конгруэнтности всех прямых углов в последствии был доказан как логическое следствие других аксиом и постулатов (точнее других "очевидных" утверждений). Возник вопрос о независимости или прямом доказательстве следующего, пятого постулата о параллельных прямых. Тем более, см. замечание к аксиоме параллельности в §2 , что как бы "половина доказательства" аксиомы параллельности уже была известна. Боле двух тысяч лет предпринимались попытки доказать одно из двух: либо то, что V постулат есть логическое следствие других "более очевидных" утверждений, либо то, что он не доказывается исходя из каких-либо "очевидных" утверждений, аксиом и постулатов. Обсуждением той роли, которую сыгралVпостулат в теории познания вообще и в математике в частности, мы займемся чуть позже.

Сформулируем назревший вопрос. Существует ли эффективное достаточное условие для проверки независимости какого-либо утверждения А от системы аксиом Т (проверенной уже на совместность). Такое условие существует и для совместной системы аксиом формируется следующим образом в терминах реализаций.

Пусть Т – непротиворечивая система аксиом. Утверждение (аксиома) А не зависит от системы Т, если вместе с некоторой реализацией R1(Т , А) системы Т и А существует некоторая реализацияR2(T, ùA)системы Т иùА.

Доказательство. Пусть существует реализация R2(T, ùA) системы Т и ùА и пусть Т А. Тогда реализация R2(T, ùA) содержит вместе со свойством ùА и его отрицание А=ù (ùА), что несовместимо с понятием реализации (см. п.6.3, §6). Следовательно, предположение ТА (о том, что А следует из Т) неверно. В качестве применения этого достаточного условия докажем независимость аксиомы параллельности от всех остальных 14 аксиом планиметрии.

Независимость аксиомы параллельности.

Напомним, что планиметрия строится на системе 15 аксиом, включая аксиому параллельности (см. Аксиоматику Д. Гильберта в п.2.2.,§2). Пусть Т={T1,...,T14} – система аксиом без аксиомы параллельности, П – аксиома параллельности евклидовой геометрии. В качестве реализацииR1(T,П) системы аксиом Т и П возьмем модельR2 - арифметической евклидовой плоскости :R2= R1(T,П). В качестве реализацийR2(T,ùП) возьмем модель ПуанкареL2= R2(T,ùП). Непротиворечивость этих реализаций сводится, как было замечено в п.7.1, к непротиворечивости арифметики действительных чисел. Существование реализацийR1(T,П) иR2(T,ùП), согласно достаточному условию, сформулированному и доказанному в п.7.2, влечет независимость аксиомы параллельности П евклидовой геометрии от остальных 14 аксиом планиметрии.

Дедуктивная полнота и категоричность системы аксиом.

Для структуры ∑{T,Ð ,М} всякой системы аксиом Т определено множеств И – утверждений или высказываний, связывающих элементы Т, Ð, М этой структуры. (Напомним, что М – множество базовых элементов, а Ð – множество отношений между элементами М, см п.6.1-6.2., §6). Любое высказывание "и"ÎИ обладает одним из следующих трех свойств. Высказывание "и" является доказуемым в теории Т, обозначим множество таких высказываний Д. Высказывание "и"ÎИ опровержимо в системе Т, обозначим множество таких высказываний О. Наконец, высказывание "и"ÎИ является ни доказуемым, ни опровержимым, то есть неопределенным; множество таких "и" обозначим Н. Таким образом, множество всех высказываний И, касающихся понятий структуры∑Т, есть сумма непересекающихся классов:

И=ДUОUН (1)

Определение (дедуктивной полноты).

Непротиворечивая система аксиом Т называется дедуктивно-полной, если в определяемой ею теории всякое предложение либо доказуемо, либо опровержимо.

Другими словами, в теории всех высказываний такой системы Т недоказуемые и неопровержимые (неопределенные) утверждения отсутствуют и разложение (1) принимает вид:

И=ДUО (2)

Например, система аксиом Т абсолютной геометрии, состоящая из аксиом Д. Гильберта с исключенной аксиомой П - параллельности прямых, дедуктивно неполна. Действительно, аксиома параллельности П не доказуема и не опровержима в системе Т, так как П не зависит от Т.

Вся система аксиом Гильберта обладает свойством дедуктивной полноты,

В случае дедуктивно неполной системы аксиом можно найти две неизоморфные модели. В качестве примера можно взять систему аксиом абсолютной планиметрии и ее две реализации в модели R2и в моделиL2Критерием дедуктивной полноты является свойство категоричности системы аксиом.

Определение (категоричности).

Непротиворечивая, система аксиом называется категоричной, если любые ее модели (реализации) изоморфны.

Рассмотренный выше пример системы аксиом абсолютной геометрии представляет примет некатегоричной системы аксиом, так как существуют две неизоморфные реализации L2и R2этой системы.

Приведем без доказательства следующий критерий дедуктивной полноты.Если система аксиом категорична, то она и дедуктивно полна.

Обратное утверждение не справедливо. Существуют примеры дедуктивно-полных систем аксиом, у которых имеются неизоморфные реализации.

 

7. Атмосфера. Температурный режим. Климат. Погода. Состав и строение атмосферы. Температурный режим атмосферы. Конвекция. Барическое поле Земли. Адвекция. Общая

циркуляция атмосферы. Атмосферная влажность. Облачность. Осадки. Погода. Климат. Климатообразующие факторы.

Атмосфера Земли представляет собой смесь различных газов. Она простирается от поверхности Земли на высоту до 900 км, защищая планету от вредного спектра солнечного излучения, и содержит газы, необходимые для всего живого на планете. Атмосфера задерживает солнечное тепло, нагреваявоздух около земной поверхности и создавая благоприятный климат.

Состав атмосферы

Атмосфера Земли состоит в основном из двух газов — азота (78%) и кислорода (21%). Кроме того, она содержит примеси углекислого и других газов. Вода в атмосфере существует в виде пара, капель влаги в облаках и кристалликов льда.

Слои атмосферы

Атмосфера состоит из многих слоев, между которыми нет четких границ. Температуры разных слоев заметно отличаются друг от друга.

Безвоздушная магнитосфера. Здесь летает большинство спутников Земли за пределамиземной атмосферы. Экзосфера (450-500 км от поверхности). Почти не содержит газов.Некоторые спутники погоды совершают полеты в экзосфере. Термосфера (80-450 км)характеризуется высокими температурами, достигающими в верхнем слое 1700°С. Мезосфера(50—80 км). В этой сфере температура падает по мере увеличения высоты. Именно здесьсгорает большинство метеоритов (осколков космических пород), попадающих в атмосферу.Стратосфера (15—50 км). Содержит озоновый спой, т. е. слой озона, поглощающего ультрафиолетовое излучение Солнца. Это приводит к повышению температуры околоповерхности Земли. Здесь обычно летают реактивные самолеты, так каквидимость в этом слов очень хорошая и почти нет помех, вызванных погодными условиями. Тропосфера. Высотаварьируется от 8 до 15 км от земной поверхности. Именно здесь формируется погода планеты,так как вэтом слое содержится больше всего водяных паров, пыли и возникают ветры. Температура понижается по мере удаления от земной поверхности.





©2015- 2017 megalektsii.ru Права всех материалов защищены законодательством РФ.