 |
Задания для домашнего выполнения
|
|
|
|
Задача 1
Постройте график кусочно-заданной функции и по графику опишите свойство непрерывности этой функции; сформулируйте при этом рабочие определения:
1) 
2) 
Задача 2
Исследуйте непрерывность элементарной функции, используя основные свойства непрерывных функций; построите часть графика функции в окрестности каждой точки разрыва:
1) 
; 2) 
;
Задание 3
Решите следующие задачи (Берман №222, №223, №227, №228, №229):
1. Три цилиндра, радиусы оснований которых соответственно равны 3, 2 и 1 м, а высоты одинаковы и равны 5 м, поставлены друг на друга. Выразить площадь поперечного сечения 
получившегося тела как функцию расстояния 
этого сечения от нижнего основания нижнего цилиндра. Будет ли эта функция непрерывной?
2. Функция 
содержит параметр a:
При каком выборе числа 
функция 
будет непрерывной?
3.Какого рода разрывы имеют функции 
и 
при 
? Укажите характер графиков этих функций в окрестности точки .
4. Исследуйте непрерывность функции, заданной так: 
при 
, 
при . Постройте график этой функции.
5.Сколько точек разрыва (и какого рода) имеет функция 
? Постройте её график.
Ответы к заданиям для домашнего выполнения
Задача 1
1) Функция является непрерывной на промежутках 
и
; в точке 
имеет разрыв типа выколотой точки, т.к. 
; в точке 
имеет разрыв типа скачка, т.к. 
.
2) Функция является непрерывной при 
и при 
, в точке 
имеет бесконечный разрыв, т.к. 
.
Задача 2
1)
| Функция является непрерывной при  и при  , в точке x = 1 – имеет бесконечный разрыв;
 ,  .
|
2)
| Функция  непрерывна на каждом из промежутков  и имеет бесконечные разрывы в точках  и .
|
Задача 3
1. 
, функция имеет разрывы типа скачка при x = 5 и x = 10.
|
|
|
2. При a = 1.
3.Функция 
имеет в точке разрыв первого рода (типа выколотой точки);
функция 
имеет в точке разрыв второго рода (бесконечный).
4. Функция является непрерывной при всех 
и имеет разрыв типа скачка при x = 0.
5. Функция имеет три точки разрыва: - точка разрыва первого рода (устранимый разрыв), 
- точки разрыва второго рода (бесконечные разрывы).
Занятие 10. Контрольная работа
Цель занятия:
провести контрольную работу по теме: «Предел и непрерывность функций одной переменной»
Контрольная работа «Предел и непрерывность функций одной переменной»,
вариант 0
Задача 1
Вычислите 
, ответы проиллюстрируйте возможным локальным поведением графика функции в окрестности точки 
:
1) 
; 2) 
;
3*) 
; 4) 
.
Задача 2
Сравните бесконечно малые функции при 
:
1) 
, 
, 
;
2*) 
, 
, 
.
Задача 3
1) По графику функции опишите ее непрерывность:
.
2) Проведите исследование функции на непрерывность, постройте часть ее графика в окрестности точки разрыва: 
.
Задача 4
Используя строгое определение предела функции по Коши (на языке 
), докажите, что 
.
Ответы к задачам 0 варианта контрольной работы
«Предел и непрерывность функций одной переменной»
Задача 1
1) 
значения функции 
сколь угодно близки к числу 2 при достаточно больших положительных значениях x и сколь угодно близки к числу -2 при достаточно больших по модулю отрицательных значениях x.
2) 
значения функции 
становятся сколь угодно близкими к числу e2, если значения аргумента x будутдостаточно большими по модулю.
3*) 
значения функции 
сколь угодно мало отличаются от числа 
для значений аргумента x, достаточно близких к числу 2 (но 
не существует).
4) 
значения функции 
сколь угодно мало отличаются от числа 
, если значения аргумента x будут достаточно близкими к числу 0
(но 
не существует).
Задача 2
1) 
при 
, то есть б.м. функция 
имеет более высокий порядок малости по сравнению с б.м. функцией 
, при ;
|
|
|
2*) 
при 
, то есть б.м. функции и при имеют одинаковый порядок малости.
Задача 3
1)
Функция является непрерывной при 
, 
и 
; при 
функция имеет разрыв типа скачка, при 
– разрыв типа выколотой точки.
2)
| Функция является непрерывной при  и при  , имеет бесконечный разрыв в точке  .
|
Задача 4
, так как 
|
|
|
