 |
Билет. Конечные и бесконечные множества.
|
|
|
|
Билет. Понятие множества, элемента множества.
Под множеством понимается совокупность (набор, собрание) некоторых объектов. Объекты, которые образуют множество, называются элементами или точками этого множества. Примерами множеств являются: множество натуральных чисел, множество социальных работников, множество коммерческих банков и т. п.
Обычно множества обозначают большими буквами латинского алфавита, их элементы — малыми буквами латинского алфавита.
Иногда для обозначения элементов используются также большие буквы латинского алфавита и греческие буквы.
Множество часто записывают с помощью фигурных скобок, например:
А = {а1;a2;a3…an}. Если объект а принадлежит множеству Л, то пишут a Є (знак принадлежности) Л, в противном случае пишут а ∉ А.Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается символом ø. Так, например, пусто множество землян, ступивших на планету Сатурн.
Множество В называется подмножеством множества Л, если каждый элемент множества В является элементом множества Л. Символически это обозначают так: В ⊆ Л.
Если, например, А — множество всех студентов вуза, а В — множество студентов-первокурсников этого вуза, то В есть подмножество Л, т.е. В С А. Два множества А и В называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. Обозначают это так: А = В.
Объединением двух множеств Аи В называется множество С, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из данных множеств. Объединение множеств обозначают символом U и пишут С = Ли В = {х | х G А или х G В}.
Пересечением множеств Л и В называется множество D, состоящее из всех элементов, одновременно принадлежащих каждому из данных множеств Л и В. Пересечение множеств обозначают символом 
и пишут
|
|
|
D = A B = {x\x 
A и x B}.
Счетным множеством называется всякое множество, элементам которого можно поставить во взаимно однозначное соответствие множество натуральных чисел.
Отсюда, счетное множество - это бесконечное множество, элементы которого можно перенумеровать натуральными числами.
Числовые множества. Множества, элементами которых являются числа, называются числовыми. Понятие числа появилось в результате необходимости счета предметов. Вначале возникли натуральные числа. Множество натуральных чисел обозначается большой ажурной латинской буквой N.
N = {1,2,3,...}.
Иррациональные числа выражаются бесконечной непериодической десятичной дробью. Множества рациональных и иррациональных чисел составляют множество действительных чисел 
.
Между множествами N, Z, Q и существует соотношение N Z Q .
Геометрически множество действительных чисел изображается точками числовой прямой (или числовой оси), т.е. прямой, на которой выбрано начало отсчета, положительное направление и единица масштаба.
Между множеством действительных чисел и точками числовой прямой существует взаимно однозначное соответствие, т. е. каждому действительному числу соответствует определенная точка числовой прямой, и наоборот, каждой точке прямой — опре-
деленное действительное число. Поэтому часто вместо «число х» говорят «точка х».
Множество действительных чисел дополняют двумя элементами, обозначаемыми — 
и + и называемыми минус бесконечность и плюс бесконечность. Множество М, дополненное элементами — и + , называется расширенным множеством действительных чисел (расширенной числовой прямой) и обозначается с черточкой сверху. Бесконечности — и + называют еще бесконечно удаленными точками.
Билет. Конечные и бесконечные множества.
|
|
|
Множества – совокупность элементов, объединённых по какому-либо признаку. В зависимости от числа элементов множества делятся на конечные и бесконечные.
Конечное множество – это множество, количество элементов которого конечно, то есть, существует неотрицательное целое число k, равное количеству элементов этого множества. Другими словами, конечное множество (если оно не пусто) есть такое множество, элементы которого можно "пересчитать", т. е. перенумеровать так: a1, a2,..., an, причем все элементы будут занумерованы, все числа от 1 до n будут использованы и различные элементы получат различные номера. Такие множества могут состоять из одного или нескольких элементов или вообще не содержать элементов.
Примерами конечных множеств могут быть множество корней алгебраического уравнения n-й степени, множество букв русского алфавита, множество персонажей романа Михаила Булгакова «Мастер и Маргарита», множество атомов Солнечной системы. Причем неважно, известно число элементов множества или нет, главное, чтобы оно существовало.
К конечным множествам относится и множество, не содержащее элементов вообще. Такое множество называют пустым и обозначают Æ. Необходимость его введения вызвана тем, что, определяя множество с помощью некоторого условия, мы не всегда можем сказать заранее, содержит ли оно элементы или нет. Например, в 101-й группе может не быть отличников и тогда А={а | а – отличник 101-й группы}=Æ.
Бесконечное множество – множество, состоящее из бесконечного числа элементов. Или, это множество, в котором найдётся счётное подмножество. Для любого бесконечного множества существует множество с ещё большей мощностью — таким образом, не существует бесконечного множества наибольшей мощности. Мощности бесконечных множеств называются алефами.
Примерами бесконечных множеств являются множества натуральных чисел N, целых чисел Z, рациональных чисел Q, действительных чисел R, комплексных чисел C, множество точек плоскости, множество атомов во Вселенной и т.д.
Существует так называемая мощность множества (кардинальное число множества) – это характеристика множеств (в том числе бесконечных), обобщающая понятие количества (числа) элементов конечного множества. В основе этого понятия лежат естественные представления о сравнении множеств:
|
|
|
· Любые два множества, между элементами которых может быть установлено взаимно однозначное соответствие (биекция), содержат одинаковое количество элементов (имеют одинаковую мощность).
· Обратно: множества, равные по мощности, должны допускать такое взаимно однозначное соответствие.
· Часть множества не превосходит полного множества по мощности (т.е. по количеству элементов).
Существенным и весьма плодотворным оказалось деление бесконечных множеств на счётные и несчётные множества, теоремы об их свойствах, а также доказательство несчётности множества действительных чисел. Можно сказать, эти результаты лежат в самом фундаменте математического анализа.
|
|
|
