 |
Делимость, простые и неприводимые элементы
|
|
|
|
Пусть 
и 
— элементы целостного кольца 
. Говорят, что « делит » или « — делитель » (и пишут 
), если и только если существует элемент 
такой, что 
.
Делимость транзитивна: если делит и делит 
, то делит . Если делит и , то делит также их сумму 
и разность 
.
Для кольца с единицей элементы 
, которые делят 1, называются единицами или делителями единицы. Они и только они обратимы в . Единицы делят все остальные элементы кольца.
Элементы a и b называются ассоциированными, если a делит b и b делит a. a и b ассоциированны тогда и только тогда, когда 
, где e — обратимый элемент.
Ненулевой элемент 
, не являющийся единицей называется неприводимым, если его нельзя разложить в произведение двух элементов, не являющихся единицами.
Ненулевой необратимый элемент 
называется простым, если из того, что 
, следует 
или 
. Это определение обобщает понятие простого числа в кольце 
, однако учитывает и отрицательные простые числа. Если — простой элемент кольца, то порождаемый им главный идеал 
будет простым. Любой простой элемент неприводим, но обратное верно не во всех областях целостности.
Свойства
- Любое поле, а также любое кольцо с единицей, содержащееся в некотором поле, является областью целостности.
- Обратно, любая область целостности может быть вложена в некоторое поле. Такое вложение дает конструкция поля частных.
- Если
― область целостности, то кольцо многочленов и кольцо формальных степенных рядов над также будут областями целостности. - Если ― коммутативное кольцо с единицей и
― некоторый идеал в , то кольцо 
является областью целостности тогда и только тогда, когда идеал прост. - Прямое произведение колец никогда не бывает областью целостности, так как единица первого кольца, умноженная на единицу второго кольца, даст 0.
- Тензорное произведение целостных колец тоже будет целостным кольцом.
- Характеристика области целостности является либо нулём, либо простым числом.
- Для любой области целостности существует поле частных.
Делитель нуля
|
|
|
В общей алгебре ненулевой элемент a кольца называется левым делителем нуля, если существует ненулевое b такое, что ab = 0.
Аналогично, ненулевой элемент a кольца является правым делителем нуля, если существует ненулевое b такое, что ba = 0.
Элемент, который одновременно является и правым, и левым делителем нуля, называется делителем нуля. Если умножение в кольце коммутативно, то понятия правого и левого делителя совпадают. Ненулевой элемент кольца, который не являются ни правым, ни левым делителем нуля, называется обычным элементом.
Пример: в кольце 
элементы 2, 3, 4 — делители нуля.
Ассоциативное коммутативное кольцо 
без делителей нуля называется областью целостности.
Определение. Пусть А – произвольное кольцо, 
.
Если 
, но 
, тогда элемент а называют левым делителем нуля, а элемент b – правым делителем нуля. Если А – коммутативное кольцо, то элементы а и b называются делителями нуля.
Определение. Если кольцо не имеет делителей нуля, то оно называется кольцом без делителей нуля.
Определение. Коммутативное кольцо с единицей и без делителей нуля называется областью целостности.
Пример 1. Кольцо целых чисел Z является областью целостности.
Пример 2. Кольцо многочленов над произвольным полем является областью целостности. (Смотри доказательство в Дополнение 2. Построение кольца многочленов.)
Пример 3. Кольцо функций 
определенных на отрезке [0; 1] является коммутативным, с единицей, но с делителями нуля. Например, положим
, 
.
Тогда f(x) и g(x) – ненулевые функции, определенные на отрезке [0; 1], т.е. являются элементами кольца , но их произведение, очевидно, равно нулевой функции:
|
|
|
,
где по определению полагают 
, 
и, очевидно, является нулем кольца.
|
|
|
