Главная | Обратная связь
МегаЛекции

Эквивалентные системы векторов. Свойство линейно независимых эквивалентных систем векторов.




Вектор — понятие, определяемое в разных разделах математики различно.

Линейное пространство — это множество элементов, называемых векторами, над которыми определённым образом определены операции сложения и умножения на число. В любом линейном пространстве можно выделить особую систему векторов, называемых базисом линейного пространства. Количество векторов в базисе равно размерности пространства.

Системы векторов называются эквивалентными, если векторы одной системы линейно выражаются через систему других векторов и наоборот

Теорема. Если система векторов линейно-зависима, то она эквивалентна системе

Доказательстово. Действительно, пусть одновременно неравные нулю числа такие, что . Предположим, что S 0 , разделим эту сумму на S, получим: или

, где .

Заменим систему векторов эквивалентной системой с помощью следующего элементарного преобразования:

при и . Тогда вектор . Поменяв местами векторы и получим систему вида . Что и требовалось доказать.

Следствие. Произвольную систему векторов элементарными преобразованиями можно привести к системе вида , где

линейно независимая система векторов.

Число будем называть рангом системы векторов , а систему

базисом системы векторов .

Отметим, что ранг системы векторов не зависит от конкретной цепочки элементарных преобразований.

Система векторов называется линейно независимой, если из следует, что

Пример 2. Система векторов из примера 1 линейно независима.

Действительно из следует, что .

 

Базис конечной системы векторов. Ранг конечной системы векторов, корректность определения.

Базис (др. греч βασις, основа) — множество таких векторов в векторном пространстве, что любой вектор этого пространства может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации векторов из этого множества — базисных векторов.

Базисом системы векторов A1 , A2 ,..., An называется такая подсистема B1, B2 ,...,Br(каждый из векторов B1,B2,...,Br является одним из векторов A1 , A2 ,..., An), которая удовлетворяет следующим условиям:
1. B1,B2,...,Br линейно независимая система векторов;
2. любой вектор Aj системы A1 , A2 ,..., An линейно выражается через векторы B1,B2,...,Br

r — число векторов входящих в базис.

Теорема. Любые два базиса конечной системы векторов S содержат одно и то же число векторов.

Доказательство. Пусть и – базисы системы векторов S. Предположим, что m>k. Так как любой вектор системы векторов можно представить в виде линейной комбинации системы векторов , то согласно свойству 5 система векторов линейно зависимая (противоречие). Значит, неверно, что m > k. Аналогично показывается, что k m. Следовательно, m = k.

Определение. Рангом системы векторов S называется число векторов в любом ее базисе и обозначается rang(S).


Следующие преобразования системы векторов называются элементарными:

α) исключение (добавление) нулевого вектора;

β) умножение любого вектора системы на скаляр , λ ≠ 0;

γ) прибавление к любому вектору системы любого другого вектора этой системы векторов, умноженного на скаляр , λ ≠ 0.

Если система векторов получена из системы векторов посредством элементарных преобразований α), β), γ), то rang( ) = rang( ).

Теорема. Если rang( ) = rang( ), то вектор можно представить в виде линейной комбинации системы векторов .

Доказательство. Пусть rang( ) = S и базис этой системы. Так как, rang( ) = rang( ), то система векторов – линейно зависимая. Согласно свойству 4 линейной зависимости и независимости векторов, Так как , то Следовательно, существуют такие что

 





©2015- 2017 megalektsii.ru Права всех материалов защищены законодательством РФ.