Операции над нечеткими множествами

Включение нечеткого множества A’ в нечеткое множество B’ определяется с тепенью включения нечеткого множества A’ в нечеткое множество B’ для каждого элемента универсального множества U в результате исполнения операции импликации (“если uÎU принадлежит A’, то он принадлежит B’”), т. е.

m_(A’ÍB’)=&(m_A’(u)®m_B’(u))=&(m_ùA’(u)Úm_B’(u))=min{max{(1-m_A’(u)), m_B’(u)}}.

Если m_{(A’Í B’)} ³0,5, то множество A’ нечетко включено в множество B’.

Пример: даны U={u₁, u₂, u₃, u₄, u₅}, A’={0,3/u₂, 0,6/u₃, 0,4/u₅} и B’={0,8/u₁, 0,5/u₂, 0,7/u₃, 0,6/u₅}. Определить m_(A’ÍB’).

m_(A’ÍB’)=min{max{1/u₁, 0,8/u₁}, max{0,7/u₂, 0,5/u₂}, max{0,4/u₃, 0,7/u₃}, max{1/u₄, 0/u₄}, max{0,6/u₅, 0,6/u₅}}= min{1/u₁, 0,7/u₂, 0,7/u₃, 1/u₄, 0,6/u₅}=0,6.

Ответ: нечеткое множествоA’ нечетко включено в нечеткое множество B’.

Равенство нечетких множеств A’ и B’ определяется степенью равенства нечетких множеств A’ и B’ для каждого элемента универсального множества U в результате исполнения операции эквиваленции (“если uÎU принадлежит A’, то он принадлежит B’ и если он принадлежит B’, то принадлежит A’ ”), т.е.

m_(A’@B’) =&(m_A’(u)«m_B’(u))=&((m_ùA’(u)Úm_B’(u))&(m_ùB’(u)Úm_A’(u)))=

min{min{max{(1-m_A’(u)), m_B’(u)}; max{(1-m_B’(u)), m_A’(u)}}}.

Если m_{(A’@ B’)} ³0,5, то множества A’ и B’ нечетко равны.

Пример: даны U={u₁, u₂, u₃, u₄, u₅}, A’={0,8/u₂, 0,6/u₃, 0,1/u₅} и B’={0,3/u₁, 0,6/u₂, 0,7/u₃, 0,2/u₄, 0,3/u₅}.

m_(A’@B’)=min{min{max{1/u₁, 0,3/u₁}, max{0/u₁, 0,7/u₁}}, min{max {0,2/u₂, 0,6/u₂}, max{0,8/u₂, 0,4/u₂}}, min{max{0,4/u₃, 0,7/u₃}, max{0,6/u₃, 0,3/u₃}}, min{max{1/u₄, 0,2/u₄}, max{0/u₄, 0,8/u₄}}, min{max{0,9/u₅, 0,3/u₅}, max{0,1/u₅, 0,7/u₅}}=min{min{1/u₁, 0,7/u₁}, min{0,6/u₂, 0,8/u₂}, min{ 0,7/u₃, 0,6/u₃}, min{1/u₄, 0,8/u₄}, min{0,9/u₅, o,7/u₅}}=min{0,7/u₁, 0,6/u₂, 0,6/u₃, 0,8/u₄, 0,7/u₅}=0,6.

Ответ: нечеткое множество A’ нечетко равно нечеткому множеству B’.

Поскольку нечеткие отображения и отношения есть множества нечетких совместимых кортежей, т. е. h’={m_r’(x_i, y_j)/(x_i, y_j)} и r’={m_r’ (x_i, x_j)/(x_i, x_j)}, то к ним применимы все теоретико-множественные операции.

Объединение нечетких множеств A’ и B’ есть множество С’, состоя­щее из элементов множества U, которые принадлежат нечетким множествам А’ или В’, т. е. C’=(A’ÈB’).

Степень при­надлежности элементов универсального множества нечеткому множеству C’ равна максимальному значению степени принадлежности элемента нечетким множествам А’ и В’, т.е.

m_С’(u)= (m_A(u) Ú m_B(u))=max{m_A(u); m_B(u)}.

Пример: даны два нечетких множества A’={0,6/u₁, 0,4/u₂, 0,8/u₃, 0,2/u₄, 1,0/u₅, 0,3/u₆} и B’={0,9/u₁, 0,4/u₂, 1,0/u₃, 0,7/u₇, 0,3/u₈, 0,5/u₉}.

Найти С’=(A’ÈB’).

Ответ: С’=(A’ÈB’)={0,9/u₁, 0,4/u₂, 1,0/u₃, 0,2/u₄, 1,0/u₅, 0,3/u₆, 0,7/u₇, 0,3/u₈, 0,5/u₉}.

Пример: даны h’₁={m_q’1(x_i, y_j)/(x_i, y_j)} и h’₂={m_q’2(x_i, y_j)/(x_i, y_j)}.

Найти h’=(h’₁Èh’₂).

Степень принадлежности элемента (x_i,y_j) объединению двух нечетких отображений есть

m_h’(x_i, y_j)=m_h’1(x_i, y_j) Ú m_h’2(x_i, y_j)= max{m_h’1(x_i, y_j), m_h’2(x_i, y_j)}.

h1’	y2	y3	y4		h2’	y2	y3	y4
x1	0,2	0,4	0,6		x1	0,4	0,2	0,8
x2	0,3	0,5	0,7	È	x2	0,5	0,7	0,3	=
x3	0,2	0,5	0,4		x3	0,5	0,2	0,6
x4	0,3	0,6	0,9		x4	0,4	0,7	0,8
ООтвет: в таблицах приведены результаты исполнения этой операции.		h’	y2	y3	y4
=	x1	0,4	0,4	0,8
	x2	0,5	0,7	0,7
	x3	0,5	0,5	0,6
	x4	0,4	0,7	0,9

Пример: даны r’₁={m_r’1(x_i, x_j)/(x_i, x_j)} и r’₂={m_r’2(x_i, x_j)/(x_i, x_j)}.

Найти r’=(r’₁Èr’₂).

Степень принадлежности элемента (x_i, x_j) есть

m_r’(x_i, x_j)= m_r’1(x_i, x_j) Ú m_r’2(x_i, x_j)=max{m_q’1(x_i, x_j), m_q’2(x_i, x_j)}.

r1’	x1	x2	x3	x4		r2’	x1	x2	x3	x4
x1	0,2	0,4	0,6	0,3		x1	0,4	0,2	0,8	0,9
x2	0,3	0,5	0,7	0,5	È	x2	0,5	0,7	0,3	0,7	=
x3	0,2	0,5	0,4	0,7		x3	0,5	0,2	0,6	0,5
x4	0,3	0,6	0,9	0,9		x4	0,4	0,7	0,8	0,3
Ответ: в таблицах приведены результаты исполнения этой операции.		r’	x1	x2	x3	x4
=	x1	0,4	0,4	0,8	0,9
	x2	0,5	0,7	0,7	0,7
	x3	0,5	0,5	0,6	0,7
	x4	0,4	0,7	0,9	0,9

Пересечение нечетких множеств A’ и B’ есть множество С’, состоящее из элементов множества U, которые принад­лежат нечетким множествам А’ и В’, т. е. C’=(A’ÇB’). Степень при­надлежности нечеткому множеству C’ равна минимальному значению степени принадлежности нечетким множествам А’ и В’, т.е. m_С’(u)=m_A’(u)&m_B’(u)=min{m_A’(u), m_B’(u)}.

Пример: даны нечеткие множества A’={0,6/u₁, 0,4/u₂, 0,8/u₃, 0,2/u₄, 1,0/u₅, 0,3/u₆} и B’={0,9/u₁, 0,4/u₂, 1,0/u₃, 0,7/u₇, 0,3/u₈, 0,5/u₉}. Найти С’=(A’ÇB’).

Ответ: С’=(АÇВ)={0,6/u₁,0,4/u₂, 0,8/ u₃}.

Пример: даны h’₁={m_h’1(x_i, y_j)/(x_i, y_j)} и h’₂={m_h’2(x_i, y_j)/(x_i, y_j)}.

Найти h’=(h’₁Çh’₂).

Степень принадлежности элемента (x_i,y_j) есть

m_h’(x_i, y_j)=m_h’1(x_i, y_j) & m_h’2(x_i, y_j)=min{m_h’1(x_i, y_j), m_h’2(x_i, y_j)}.

h1’	y2	y3	y4		h2’	y2	y3	y4
x1	0,2	0,4	0,6		x1	0,4	0,2	0,8
x2	0,3	0,5	0,7	Ç	x2	0,5	0,7	0,3	=
x3	0,2	0,5	0,4		x3	0,5	0,2	0,6
x4	0,3	0,6	0,9		x4	0,4	0,7	0,8
ООтвет: в таблицах приведены резуль- таты исполнения этой операции.		h’	y2	y3	y4
	x1	0,2	0,2	0,6
=	x2	0,3	0,5	0,3
	x3	0,2	0,2	0,4
	x4	0,3	0,6	0,8

Пример: даны r’₁={m_r’1(x_i, x_j)/(x_i, x_j)} и r’₂={m_r’2(x_i, x_j)/(x_i, x_j)}.

Найти r’=(r’₁Çr’₂).

Степень принадлежности элемента (x_i,x_j) есть

m_r’(x_i, x_j)= m_r’1(x_i, x_j) & m_r’2(x_i, x_j)= min{m_q’1(x_i, x_j), m_q’2(x_i, x_j)}.

r’1	x1	x2	x3	x4		r2’	x1	x 2	x3	x4
x1	0,2	0,4	0,6	0,3		x1	0,4	0,2	0,8	0,9
x2	0,3	0,5	0,7	0,5	Ç	x2	0,5	0,7	0,3	0,7	=
x3	0,2	0,5	0,4	0,7		x3	0,5	0,2	0,6	0,5
x4	0,3	0,6	0,9	0,9		x4	0,4	0,7	0,8	0,3
	Ответ: в таблицах приведены результаты исполнения этой операции.		r’	x1	x2	x3	x4
		x1	0,2	0,2	0,6	0,3
	=	x2	0,3	0,5	0,3	0,5
		x3	0,2	0,2	0,4	0,5
		x4	0,3	0,6	0,8	0,3

Дополнение нечеткого множества A’ есть нечеткое множество ùA’, состоящее из всех элементов универсального множества U, которые не принадлежат нечет­кому множеству А’.

Степень при­надлежности нечеткому множеству ùA’ равна дополнению степени принадлежности нечеткому множеству A’ до значения степени принадлежности универсальному множеству U, т.е. m_ùA’(u)= 1 - m_A’(u).

 

Пример: даны универсальное множество U={u₁, u₂, u₃, u₄, u₅, u₆, u₇, u₈, u₉} и два нечетких подмножества A’={0,6/u₁, 0,4/u₂, 0,8/u₃, 0,2/u₄, 1,0/u₅, 0,3/u₆} и B’={0,9/u₁, 0,4/u₂, 1,0/u₃, 0,7/u₇, 0,3/u₈, 0,5/u₉}.

Найти ùА’ и ùВ’.

Ответ: ùА’={0,4/u₁, 0,6/u₂, 0,2/u₃, 0,8/u₄, 0,7/u₆, 1,0/u₇, 1,0/u₈, 1,0/u₉};

ùВ’={0,1/u₁, 0,6/u₂, 1,0/u₄, 1,0/u₅, 1,0/u₆, 0,3/u₇, 0,7/u₈, 0,5/u₉}.

Пример: дано нечеткое отображение h’={m_h’(x_i, y_j)/(x_i, y_j)}.

Найти ù h’.Степень принадлежности есть m_ùh’(x_i, y_j)=(1-m_h’(x_i, y_j)).

 

h’	y2	y3	y4		ù h’	y2	y3	y4
x1	0,2	0,4	0,6		x1	0,8	0,6	0,4
x2	0,3	0,5	0,7	Þ	x2	0,7	0,5	0,3
x3	0,2	0,5	0,4		x3	0,8	0,5	0,6
x4	0,3	0,6	0,9		x4	0,7	0,4	0,1

Пример: дано нечеткое r={m_h’(x_i, x_j)/(x_i, x_j)}. Найти `r’.

Степень принадлежности есть m_ùr’(x_i, x_j)=(1 - m_r’(x_i, x_j).

 

r’	x1	x 2	x3	x4		`r’	x1	x2	x3	x4
x1	0,4	0,2	0,8	0,9		x1	0,6	0,8	0,2	0,1
x2	0,5	0,7	0,3	0,7	Þ	x2	0,5	0,3	0,7	0,3
x3	0,5	0,2	0,6	0,5		x3	0,5	0,8	0,4	0,5
x4	0,4	0,7	0,8	0,3		x4	0,6	0,3	0,2	0,7

Разность нечетких множеств А’ и В’ есть множество С’, состоящее из тех элементов множества U, которые при­надлежат нечеткому множеству А’ и не принадлежат нечеткому множест­ву В’,

т. е. C’=A’\B’=A’ÇùB’.

Степень при­надлежности элемента универсального множества нечеткому множеству C’ равна минимальному значению его функции принадлежности нечетким множествам А’ и ùВ’, т.е.

m_С’(u)=m_A’(u) & (1-m_B’(u))=min{m_A’(u), (1-m_B’(u))}.

Пример: даны h’₁={m_h’1(x_i, y_j)/(x_i, y_j)} и h’₂={m_h’2(x_i, y_j)/(x_i, y_j)}.

Найти h’=(h’₁\h’₂).

Степень принадлежности элемента (x_i,y_j) есть

m_h’(x_i, y_j)=m_h’1(x_i, y_j) & (1-m_h’2(x_i, y_j))=min{m_h’1(x_i, y_j); (1-m_h’2(x_i, y_j))}.

h1’	y2	y3	y4		h2’	y2	y3	y4
x1	0,2	0,4	0,6		x1	0,4	0,2	0,8
x2	0,3	0,5	0,7	\	x2	0,5	0,7	0,3	=
x3	0,2	0,5	0,4		x3	0,5	0,2	0,6
x4	0,3	0,6	0,9		x4	0,4	0,7	0,8
Ответ: в таблицах приведены результаты исполнения этой операции.		h’	y2	y3	y4
	x1	0,2	0,4	0,2
=	x2	0,3	0,3	0,3
	x3	0,2	0,5	0,4
	x4	0,3	0,3	0,2

Пример: даны универсальное множество U={u₁, u₂, u₃, u₄, u₅, u₆, u₇, u₈, u₉} и два нечетких подмножества A’={0,6/u₁, 0,4/u₂, 0,8/u₃, 0,2/u₄, 1,0/u₅, 0,3/u₆} и B’={0,9/u₁, 0,4/u₂, 1,0/u₃, 0,7/u₇, 0,3/u₈, 0,5/u₉}.

Найти С’=А’\В’.

Ответ: С’=А’\В’={0,1/u₁, 0,4/u₂, 0,2/u₄, 1,0/u₅, 0,3/u₆}.

 

Пример: даны r’₁={m_r’1(x_i, x_j)/(x_i, x_j)} и r’₂={m_r’2(x_i, x_j)/(x_i, x_j)}.

Найти r’=(r’₁\ r’₂).

Степень принадлежности (x_i,x_j) есть

m_r’(x_i, x_j)= m_r’1(x_i, x_j) & (1-m_r’2(x_i, x_j))= min{m_r’1(x_i, x_j); (1-m_r’2(x_i, x_j))}.

	r1’	x1	x2	x3	x4		r2’	x1	x 2	x3	x4
	x1	0,2	0,4	0,6	0,3		x1	0,4	0,2	0,8	0,9
	x2	0,3	0,5	0,7	0,5	Ç	x2	0,5	0,7	0,3	0,7	=
	x3	0,2	0,5	0,4	0,7		x3	0,5	0,2	0,6	0,5
	x4	0,3	0,6	0,9	0,9		x4	0,4	0,7	0,8	0,3
Ответ: в таблицах приведены результаты исполнения этой операции.		r’	x1	x2	x3	x4
	x1	0,2	0,4	0,2	0,1
=	x2	0,3	0,3	0,7	0,3
	x3	0,2	0,5	0,4	0,5
	x4	0,3	0,3	0,2	0,7

Симметрическая разность нечетких множеств A' и B’ есть нечеткое множество С’, состоящее из элементов универсального множества U, которые принадлежат нечетким множествам А’ и ùВ’ или В’ и ùА’, т. е. С’=(А’DВ’)= (А’ÇùВ’)È(В’ÇùА’).

Степень при­надлежности элемента универсального множества нечеткому множеству C’ равна максимальному значению из двух минимальных значений степеней принадлежности элемента (А’ÇùВ’) и (В’ÇùА’), т.е

m_C’(u)=(m_A’(u) & m_ùB’(u)) Ú (m_B’(u) & m_ùA’(u_i))= max{min{m_A’(u);m_ùB’(u)};

min{m_B’(u);m_ùA’(u_i)}}.

Пример: даны универсальное множество U={u₁, u₂, u₃, u₄, u₅, u₆, u₇, u₈, u₉} и два нечетких подмножества A’={0,6/u₁, 0,4/u₂, 0,8/u₃, 0,2/u₄, 1,0/u₅, 0,3/u₆} и B’={0,9/u₁, 0,4/u₂, 1,0/u₃, 0,7/u₇, 0,3/u₈, 0,5/u₉}.

Найти С’=(А’DВ’).

Ответ: С’=(А’DВ’)={0,4/u₁, 0,4/u₂, 0,2/u₃, 0,2/u₄, 1,0/u₅, 0,3/u₆, 0,7/u₇, 0,3/u₈, 0,5/u₉}.

 

Пример: даны h’₁={m_h’1(x_i, y_j)/(x_i, y_j)} и h’₂={m_h’2(x_i, y_j)/(x_i, y_j)}.

Найти h’=(h’₁Dh’₂).

Степень принадлежности (x_i, y_j) есть

m_h’(x_i, y_j)=(m_h’1(x_i, y_j) & (1-m_h’2(x_i, y_j))) Ú (m_h’2(x_i, y_j) & (1-m_h’1(x_i, y_j)))= max{min{m_h’(x_i, x_j); (1-m_h2’(x_i, x_j))}; min{m_h2’(x_i, x_j); (1-m_h1’(x_i, x_j))}}.

h1’	y2	y3	y4		h2’	y2	y3	y4
x1	0,2	0,4	0,6		x1	0,4	0,2	0,8
x2	0,3	0,5	0,7	D	x2	0,5	0,7	0,3	=
x3	0,2	0,5	0,4		x3	0,5	0,2	0,6
x4	0,3	0,6	0,9		x4	0,4	0,7	0,8
Ответ: в таблицах приведены резуль- таты исполнения этой операции.		h’	y2	y3	y4
	x1	0,4	0,4	0,4
=	x2	0,5	0,5	0,3
	x3	0,5	0,5	0,6
	x4	0,4	0,4	0,2

Пример: даны r’₁={m_r’1(x_i, x_j)/(x_i, x_j)} и r’₂={m_r’2(x_i, x_j)/(x_i, x_j)}.

Найти r’=(r’₁Dr’₂).

Степень принадлежности (x_i, x_j) есть

m_r’(x_i, x_j)=(m_r’1(x_i, x_j) & (1-m_r’2(x_i, x_j))) Ú (m_r’2(x_i, x_j) & (1-m_r’1(x_i, x_j)))=

max{min{m_r’(x_i, x_j); (1-m_r2’(x_i, x_j))}; min{m_r2’(x_i, x_j); (1-m_r1’(x_i, x_j))}}.

r1’	x1	x2	x3	x4		r2’	x1	x 2	x3	x4
x1	0,2	0,4	0,6	0,3		x1	0,4	0,2	0,8	0,9
x2	0,3	0,5	0,7	0,5	D	x2	0,5	0,7	0,3	0,7	=
x3	0,2	0,5	0,4	0,7		x3	0,5	0,2	0,6	0,5
x4	0,3	0,6	0,9	0,9		x4	0,4	0,7	0,8	0,3
Ответ: в таблицах приведены результаты исполнения этой операции.		r’	x1	x2	x3	x4
	x1	0,4	0,4	0,4	0,7
=	x2	0,5	0,5	0,7	0,5
	x3	0,5	0,5	0,6	0,5
	x4	0,4	0,4	0,2	0,7

⇐ Предыдущая234567891011Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: