 |
В заключении рассчитывается аппроксимирующая сглаживающая функция и строится её гладкий график, на котором точками отображаются значения исходной табличной функции.
|
|
|
|
Рис.4.
Контрольные задания
Выполнить необходимые расчёты для построения аппроксимирующей функции вида
,
которая описывает экспериментальные данные, приведённые на графиках в количестве 20-ти точек (см. рис.5–14).
Для построения аппроксимирующей функции выбрать три функции из четырёх ji (x) (i = 1,2,3,4), заданных в таблице 1. График аппроксимирующей функции вместе с точками, описывающими экспериментальные данные вывести на экран монитора. Вывести на печать значения коэффициентов с 1, с 2 и с 3 и записать с ними аппроксимирующую функцию y.
При выполнении лабораторной необходимо перебрать все возможные варианты формирования аппроксимирующей функции из четырёх имеющихся функций (j 1 – j 2 – j 3, j 1 – j 2 – j 4, j 1 – j 3 – j 4 и j 2 – j 3 – j 4), привести в отчете результаты аппроксимации, которые они дают, и обосновать свой выбор лучшего варианта.
| 1-3. Диаграмма испытаний на растяжение цилиндрического образца из нержавеющей стали 1Х18Н9Т. | 4-6. Диаграмма избыточного давления в цилиндре четырехтактного двигателя в зависимости от угла поворота его вала. |
| 
|
| Рис.5. | Рис.6. |
|
| 7-9. Степень обогащенности газовой смеси карбюратора в зависимости от перепада давления на его диффузоре. | 10-12. Уровень шума работы дизельного двигателя Д.3–28/АТ в зависимости от числа оборотов вращения его вала. |
| 
|
| Рис.7. | Рис.8. |
| 13-15. Зависимость мощности карбюраторного двигателя 11Ф–615 от числа оборотов вращения его вала. | 16-18. Вертикальное смещение передней части кузова автомобиля при переезде единичной неровности на V = 50 км/час. |
| 
|
| Рис.9. | Рис.10. |
| 19-21. Зависимость амплитуды вертикальных колебаний передней части кузова автомобиля при переезде единичной неровности от скорости его движения. | 22-24. Упругая характеристика независимой подвески McConnell передних колес легкового автомобиля 405 Station Wagon (Peugeot, 1933). |
| 
|
| Рис.11. | Рис.12. |
|
|
|
| 25-27. Перегрузка передней части кузова автомобиля в зависимости от частоты возбуждающей силы на подвеске передних колес. | 28-30. Жёсткостная характеристика амортизатора подвески автомобиляScorpio 2.9i V6–24V GHIA (Ford, 1963). |
| 
|
| Рис.13. | Рис.14. |
Таблица 1. Варианты функций j 1(x), j 2(x), j 3(x) и j 4(x), составляющих аппроксимирующую функцию.
| Варианты 1–3 (Рис.6, ε 0= 0.2) | |
| |
| |
| |
| Варианты 4–6 (Рис.7, φ 0= 30о) | |
| |
| |
| |
| Варианты 7–9 (Рис.8, p 0= 4 КПа) | |
| |
| |
| |
| Варианты 10–12 (Рис.9, n 0= 200 об/мин) | |
| |
| |
|
Таблица 1. Продолжение.
| Варианты 13–15 (Рис.10, n 0= 800 об/мин) | |
| |
| |
| |
| Варианты 16–17 (Рис.11, t 0= 1.2 сек) | |
| |
| |
| |
| Варианты 19–21 (Рис.12, V 0= 20 км/час) | |
| |
| |
| |
| Варианты 22–24 (Рис.13, z 0= 5 см) | |
| |
| |
|
Таблица 1. Продолжение.
| Варианты 25–27 (Рис.14, ω 0= 10 Гц) | |
| |
| |
| |
| Варианты 28–30 (Рис.15, V 0= 0.2 м/сек) | |
| |
| |
|
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 1-ГО ПОРЯДКА
Справочная информация
Обыкновенное дифференциальное уравнение 1-го порядка
связывает независимую переменную x, искомую функцию y и её производную. Решение дифференциального уравнения заключается в отыскании функции y = y (x), обращающей это уравнение в тождество на конечном или бесконечном интервале (a, b). Различают общее и частные решения дифференциального уравнения. Общее решение уравнения имеет вид y = y (x, C), где C – произвольная постоянная интегрирования. Его графическим отображением является семейство кривых (см. рис.1), называемых интегральными. Каждая интегральная кривая является отображением частного решения, соответствующего своему значению постоянной C. Для выделения частного решения из множества кривых общего решения необходимо задать начальное условие
|
|
|
.
Такая постановка задачи отыскания решения дифференциальных уравнений называется задачей Коши (A.L.Cauchy, 1789–1857). Для существования единственного решения задачи Коши необходимо и достаточно существование и ограниченность правой части дифференциального уравнения f (x, y) и её частной производной ¶ f (x, y)/¶ y в некоторой окрестности начальной точки (x 0, y 0).
Для численного решения задачи Коши существует множество методов, которые условно делятся на две группы: одношаговые и многошаговые. Все эти методы позволяют получить искомое решение дифференциального уравнения в виде таблично заданной функции, в 
той или иной мере согласующееся с истинным частным решением (см. рис.2). Эти группы методов различаются объёмом информации, которая используется для вычисления координат очередной 
точки табличной функции. Одношаговые методы используют значения функции и её производной только в одной предыдущей точке, в то время как многошаговые – в нескольких. К одношаговым методам решения задачи Коши относятся метод Эйлера, модифицированный метод Эйлера, методы Рунге–Кутта и другие.
Метод Эйлера (L.Euler, 1768)
Он является старейшим методом решения задачи Коши и заключается в последовательном применении следующих формул
,
,
,
геометрическая интерпретация которых при k = 0 представлена на рис.3. В точке (x 0, y 0)вычисляется значение производной dy/dx через f (x, y), которое определяет тангенс угла наклона касательной к графику точного решения задачи Коши. Следующая точка численного решения определяется как точка на этой касательной с абсциссой x 1 = x 0+ h. В компактном виде для k = 0, 1, 2,… эти соотношения записываются следующим образом
, 
.
Метод Эйлера относится к методам первого порядка точности, поскольку его решение совпадает с истинным только в том случае, когда последнее является линейной функцией y = a 1+ a 2 x. Его абсолютная погрешность ε абс(xk +1, h) на каждом шаге пропорциональна величине h 2. Это обусловлено тем, что в качестве направления, определяющего положение следующей точки численного решения, используется касательная в левой точке каждого отрезка [ xk, xk +1]. На рис.3 видно, что для получения более точного численного решения недостаточно знания параметров функции в единственной левой точке отрезка [ xk, xk +1]. Требуется собрать дополнительную информацию о её поведении на отрезке интегрирования для отыскания решения при x = xk +1 с меньшей погрешностью. Для этого можно использовать некоторые промежуточные направления, определяемые касательными к графику неизвестного точного решения в характерных точках рассматриваемого отрезка (крайние точки, середина отрезка и т.д.).
|
|
|
|
|
|
