 |
Примеры комплексов рационально-эмпирических систем
|
|
|
|
В качестве демонстрации взаимодействия эмпирических и рациональных систем можно привести ряд моделей, примеров знакомых студентам по школьной программе, но ранее не рассматриваемых с точки зрения «Общей теории систем».
В 17 веке Блез Паскаль, французский математик, физик, один из основателей теории вероятностей, создает «Трактат об арифметическом треугольнике» где исследует свойства «треугольника Паскаля» (рациональной системы) и его применение к подсчёту числа сочетаний, не прибегая к алгебраическим формулам. Треугольник Паскаля образован биномиальными коэффициентами, изучаемыми еще в школе формулы 2.1-2.3, рис.2.1. Бином Ньютона - формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных.
Частные случаи Бинома Ньютона (для квадратов и кубов):
, (2.1)
, (2.2)
Общая формула Бинома Ньютона:
(2.3)
Рис. 2.1 Треугольник Паскаля и Бином Ньютона.
Мартин Гарднер пишет в книге "Математические новеллы" (М., Мир, 1974): "Треугольник Паскаля так прост, что выписать его сможет даже десятилетний ребенок. В тоже время он таит в себе неисчерпаемые сокровища и связывает воедино различные аспекты математики, не имеющие на первый взгляд между собой ничего общего. Столь необычные свойства позволяют считать треугольник Паскаля одной из наиболее изящных схем во всей математике".
Перечислим лишь некоторые свойства треугольника Паскаля рис. 2.2- 2.3[8].
Рис. 2.2 Диагонали треугольника Паскаля.
На вершине треугольника стоит 1. Треугольник можно продолжать неограниченно. Он обладает симметрией относительно вертикальной оси, проходящей через его вершину. Вдоль диагоналей, параллельных сторонам треугольника (на рисунке отмечены зелеными линиями) выстроены треугольные числа и их обобщения на случай пространств всех размерностей [8].
|
|
|
Следующая зеленая линия покажет нам тетраэдральные числа. А следующая зеленая линия (1, 5, 15, 35,...) демонстрирует попытку выкладывания гипертетраэдра в четырехмерном пространстве - один шар касается четырех, а те, в свою очередь, десяти... В нашем мире такое невозможно, только в четырехмерном, виртуальном варианте пространства. И тем более пятимерный тетраэдр, о котором свидетельствует следующая зеленая линия, он может существовать только в рассуждениях топологов.
Чтобы найти сумму чисел, стоящих на любой диагонали от начала до интересующего нас места, достаточно взглянуть на число, расположенное снизу и слева от последнего слагаемого. (слева для правой диагонали, для левой диагонали будет справа, а вообще - ближе к середине треугольника). Пусть, например, мы хотим вычислить сумму чисел натурального ряда от 1 до 9. "Спустившись" по диагонали до числа 9, мы увидим слева снизу от него число 45. Оно то и дает искомую сумму. Чему равна сумма первых восьми треугольных чисел? Отыскиваем восьмое число на второй диагонали и сдвигаемся вниз и влево. Ответ: 120. Но, кстати, 120 - тетраэдральное число. Следовательно, взяв все шары, из которых сложены 8 первых треугольников, мы могли бы сложить тетраэдр [8].
Суммы чисел, стоящих вдоль не столь круто падающих диагоналей (на рисунке отмечены красными линиями) образуют хорошо известную постоянным читателям последовательность Фибоначчи рис. 2.3.
Рис.2.3. Ряд Фибоначчи.
Рассмотрим ряд из n стульев. Сколькими способами можно рассадить на них мужчин и женщин так, чтобы никакие две женщины не сидели рядом? При n=1, 2, 3, 4,... число способов соответственно равно 2, 3, 5, 8,..., то есть совпадает с числами Фибоначчи. Паскаль, по-видимому, не знал, что числа Фибоначчи скрыты в его треугольнике. Это обстоятельство было обнаружено только в XIX веке. Числа, стоящие на горизонтальных строках треугольника Паскаля, - это биномиальные коэффициенты, то есть коэффициенты разложения (x+y)n по степеням x и y. Например, (x+y)2=x2+2xy+y2 и (x+y)3=x3+3x2y+3xy2+y3. Коэффициенты разложения 1, 2, 2 стоят во второй строке, а 1, 3, 3, 1 - в третьей строке треугольника. Чтобы найти коэффициенты разложения (x+y)n, достаточно взглянуть на n-ую строку треугольника. Именно это фундаментальное свойство треугольника Паскаля связывает его с комбинаторикой и теорией вероятности, превращая в удобное средство проведения вычислений [8].
|
|
|
В общем случае, число, показывающее, сколькими способами можно выбрать n элементов из множества, содержащего r различных элементов, стоит на пересечении n-ной диагонали и r-ой строки. И еще раз, для тех, кто хоть что-то понял. Число возможных сочетаний из n элементов по m определяется формулой:
(2.4)
Кстати, из формулы сочетаний следует, что количество вариантов выбора трех из семи равно количеству вариантов выбора четырех из семи, или, число вариантов заполнения карточек Спортлото 5 из 36 равно количеству выбора 31 из 36, поразмышляйте об этом приятном предмете.
Связь между комбинаторикой и теорией вероятностей станет ясной, если мы рассмотрим восемь возможных исходов бросания трех монет: ГГГ, ГГР, ГРГ, РГГ, РГР, РРГ, РРР. Нетрудно видеть, что три герба выпадают лишь в одном случае, два герба - в трех случаях, один герб - также в трех случаях и ни одного герба - в одном случае. Числа благоприятных испытаний для получения 3, 2, 1 и 0 гербов равны 1, 3, 3, 1. Именно эти числа стоят в третьей строке треугольника Паскаля. Предположим теперь, что мы хотим узнать вероятность выпадения ровно 5 гербов при одновременном бросании 10 монет. Прежде всего, необходимо подсчитать, сколько существуют различных способов, позволяющих выбрать 5 монет из 10. Ответ мы получим, найдя число, стоящее на пересечении 5-й диагонали и 10-й строки. Оно равно 252. Сложив все числа, стоящие в 10-й строке, мы найдем число возможных исходов, вычисления можно намного сократить, если воспользоваться следующим свойством биномиальных коэффициентов: сумма коэффициентов бинома (х+у)n, а именно они и стоят в n-й строке треугольника Паскаля, равна 2n. Действительно, сумма чисел, стоящих в любой строке треугольника, вдвое больше суммы чисел, стоящей в предыдущей строке, поскольку при построении каждой строки числа, стоящие в предыдущей, сносятся дважды [8]. Сумма чисел первой (самой верхней) строки равна 1. Следовательно, суммы чисел, стоящих в строках треугольника Паскаля, образуют геометрическую прогрессию с первым членом, равным 1, и знаменателем 2: 1, 2, 4, 8,.... Десятая степень числа 2 равна 1024. Следовательно, вероятность выпадения пяти гербов при бросании 10 монет равна 252/1024= 63/256.
|
|
|
Для более подробного ознакомления с треугольником Паскаля рекомендуется ознакомиться с источниками [8,9,10] библиографического списка.
Треугольник Паскаля представляет собой систему, построенную рациональным путем, и объединяющую через свои системные свойства различные разделы математики.
С точки зрения Общей теории систем примером тесного взаимодействия эмпирического и рационального при исследованиях, является возможность получить «треугольник Паскаля» и эмпирическим путем. Треугольник Паскаля позволяет объяснить принцип действия так называемой доски Гамильтона - механического устройства служащего для демонстрации приближенного гауссовского распределения.
Принцип работы доски Гамильтона таков: металлические шарики поступают в самый верхний канал. Наткнувшись на первое острие, они «выбирают» путь направо или налево. Затем происходит второй такой выбор и т.д. При хорошей подгонке деталей выбор оказывается случайным. Как видно, попадание шариков в нижние лунки не равновероятно. В этом случае мы имеем дело с гауссовым, или нормальным, распределением.
Рассмотренные методы моделирования широко используется, в том числе и для анализа инвестиционной деятельности.
На сайте корпорации Index Funds Advisors (консультантов по индексным фондам - http://www.ifa.com), которая является платным независимым консультантом по ценным бумагам и биржам США, в качестве подтверждения одной их стратегии при работе на бирже приводится пример с доской Гальтона и реальным распределением прибыли. Как видно на рисунке распределение прибыли по месяцам за 65 лет и имитация доски Гальтона дают приблизительно одно и тоже распределение рис. 2.4 [11].
|
|
|
Рис. 2.4. Распределение прибыли на бирже за 65 лет и доска Гальтона.
Тесное взаимодействие рациональных и эмпирических подходов при решении задач, а также другие принципы, которые развивает Общая теория систем, широко используется в различных областях науки и практики, что лишний раз доказывает важность освоения дисциплины «Общей теории систем».
|
|
|
