 |
Пакет работы с тензорами tensor
|
|
|
|
Пакет для работы с тензорами tensor
Этот пакет впервые появился в реализации Maple V R5. Он дает средства для работы с тензорами и вычислениями, используемыми в общей теории относительности. В нем использован специальный тип данных tensor_type в виде таблиц с двумя полями: компонентов и характеристик индексов. Поле компонентов — массив с размерностью, эквивалентной рангу объекта. Поле характеристик индексов задается списком чисел 1 и -1. При этом 1 на i-й позиции Означает, что соответствующий индекс контрвариантный, а -1 — что он ковариантный.
Процедура tensor_type возвращает логическое значение true, если ее первый аргумент удовлетворяет свойствам тензора, и false, если он этому свойству не удовлетворяет.
Каждому тензору соответствуют еще две таблицы. Таблица коэффициентов вращения задает коэффициенты вращения Ньюмена—Пенроуза, которые вычисляются функцией tensor[npspin] и индексируются именами греческих букв alpha, beta, gamma, epsilon и т. д. Другая таблица (компонент кривизны) содержит компоненты кривизны Ньюмена—Пенроуза. Они представлены тремя полями: полем Phi в виде массива размерности (0..2.0..2) с компонентами Риччи, поле Psi с массивом размерности (0..4) с компонентами Вейля и полем R со скаляром Риччи.
Объявление:
> with(tensor);
[Christoffell, Christoffel2, Einstein, Jacobian, Killing_eqns, LevijCivita, Lie_diff, Ricci, Ricciscalar, Riemann, RiemannF, Weyl, act, antisymmetrize, change_basis, commutator,
compare, conj, connexF, contract, convertNP, cov_diff,
create,dlmetric, d2metric, directional_diff, displayGR, display_allGR, dual, entermetric, exteriorjiiff, exterior_prod, frame,geodesic_eqns, get_char, get_compts,get_rank, init, invars, invert, lin_com, lower, npcurve, npspin, partial_diff, permute_indices, petrov, prod, raise, symmetrize, tensorsGR, transform}
дает доступ к следующим функциям пакета:
- Christoffell — вычисление символов Кристоффеля первого рода;
- Christoffel2 — вычисление символов Кристоффеля второго рода;
- Einstein — возвращение тензора Эйнштейна;
- display_alJGR — описывает ненулевые компоненты всех тензоров и параметров, вычисленных командой tensorsGR (общая теория относительности);
- displayGR — описывает ненулевые компоненты конкретного тензора (общая теория относительности);
- Jacobian — Якобиан преобразования координат;
- Killng_eqns — вычисление компонентов для уравнений Киллинга (имеет отношение к симметриям пространства);
- LeviCivita — вычисление ковариантных и контрвариантных псевдотензоров Леви—Чивита;
- Lie_diff — вычисляет производную Ли тензора по отношению к контравариантному векторному полю;
- Ricci — тензор Риччи;
- Ricciscalar — скаляр Риччи;
- Riemann — тензор Римана;
- RiemannF — тензор кривизны Римана в жесткой системе отсчета;
- tensorsGR — вычисляет тензор кривизны в данной системе координат (общая теория относительности);
- Weyl — тензор Вейля;
- act — применяет операции к элементам тензора, таблицам вращений или кривизны;
- antisymmetrize — антисимметризация тензора по любым индексам;
- change_basis — преобразование системы координат;
- commutator — коммутатор двух контравариантных векторных полей;
- compare — сравнивает два тензора, таблицы вращений или кривизны;
- conj — комплексное сопряжение;
- connexF — вычисляет связующие коэффициенты для жесткой системы координат;
- contract — свертка тензора по парам индексов;
- convertNP — преобразует связующие коэффициенты или тензор Римана к формализму Ньюмена—Пенроуза;
- cov_diff — ковариантное дифференцирование;
- create — создает тензорный объект;
- dlmetric — первая частная производная метрики;
- d2metric — вторая частная производная метрики;
- directional_diff — производная по направлению;
- dual — осуществляет дуальную операцию над индексами тензора;
- entermetric — обеспечивает ввод пользователем координатных переменных и ковариантных компонент метрического тензора;
- externor_diff— внешнее дифференцирование полностью антисимметричного ковариантного тензора;
- exterior_prod — внешнее произведение двух ковариантных антисимметричных тензоров;
- frame — задает систему координат, которая приводит метрические компоненты к диагональной сигнатурной матрице (с положительными или отрицательными единицами);
- geodesic_eqns — уравнение Эйлера—Лагранжа для геодезических кривых;
- get_char — возвращает признак (ковариантный/контравариантный) объекта;
- getcompts — возвращает компоненты объекта;
- get_rank — возвращает ранг объекта;
- invars — инварианты тензора кривизны Римана (общая теория относительности);
- invert — обращение тензора второго ранга;
- lincom — линейная комбинация тензорных объектов;
- lower — опускает индексы;
- npcurve — компонента кривизны Ньюмена—Пенроуза в формализме Дебевера (общая теория относительности);
- npspin — компонент вращения Ньюмена—Пенроуза в формализме Дебевера (общая теория относительности);
- partial_diff — частная производная тензора;
- permute_indices — перестановка индексов;
- petrov — классификация Петрова тензора Вейля;
- prod — внутреннее и внешнее тензорные произведения;
- raise — поднятие индекса;
- symmetrize — симметризация тензора по любым индексам;
- transform — преобразование системы координат.
Примеры применения этого пакета можно найти в справочной базе данных системы. Пакет представляет интерес для физиков-теоретиков, работающих в области общей теории относительности и ее приложений/Для них (но не для большинства пользователей) приведенные данные полезны и понятны.
|
|
|
|
|
|
Пакет Domains.
Пакет Domains
Этот небольшой пакет служит для создания доменов — таблиц операций для вычислений. При его загрузке появляется сообщение о переопределениях объектов и список из всего лишь шести функций:
>restart;with(Domains):
Domains version 1.0
Initially defined domains are Z and Q the integers and rationale Abbreviations, e.g. DUP for DenseUnivariatePolynomial, also made Warning, the protected names Array, Matrix and Vector have been redefined and unprotected [Array, Matrix, Matrixlnverse, Vector, init, show]
Пакет допускает применение следующих конструкций:
Domains[domain] Doma1ns[evaldomains]
Domains[example] Domains[coding]
Приведенный ниже пример поясняет создание и использование доменов Q (для рациональных
данных) и Z (для целочисленных данных):
> Q['+'](l/2,2/5,3/8);
51/40
> Z[Gcd](660,130);
Следующая операция показывает, что домен Z является таблицей:
> type(Z,table);
true
А функция show позволяет вывести полный перечень всех операций, доступных для домена Z:
|
|
|
> show(Z,operations);
Signatures for constructor Z'
note: operations prefixed by -- are not available
*: (Integers,Z) ->Z
*:(Z,Z*) ->Z
+:(Z,Z*) ->Z
-: (Z,Z) -> Z'
-:Z ->Z
0:Z
1:Z
<:(Z,Z) -> Boolean
<=: (Z.Z) -> Boolean
<>: (Z.Z) -> Boolean
=:(Z.Z) -> Boolean
>: (Z.Z) -> Boolean
>-: (Z.Z) -> Boolean
Abs: Z ->Z
Characteristic: Integers
Coerce: Integers-> Z
Div: (Z.Z) -> Union(Z,.FAIL)
EuclideanNorm: Z -> Integers
Factor: Z -> [Z,.[[Z,Integers]*]]
Gcd: Z* -> Z
Gcdex: (Z,Z,Name) ->Z
Gcdex: (Z,.Z,Name,Name) -> Z
Input: Expression -> Union(Z,.FAIL)
Inv: Z -> Union(Z,FAIL)
Lcm: Z* -> Z
Max: (Z,Z*) -> Z
Min: (Z,.Z*)-> Z
Modp: (Z,.Z) ->Z
Mods: (Z.Z)--> Z
ModularHoraomorphlsm: () -> (Z -> Z.Z)'
Normal: Z -> Z
Output: Z -> Expression
Powmod: (Z,Integers,Z) -> Z
Prime: Z -> Boolean
Quo: (Z,.Z,Name) ->Z
Quo: (Z,.Z) -> Z
Random: О ->Z
RelativelyPrime: (Z,.Z) -> Boolean'
Rem: (Z,.Z,.Name)-> Z
Rera: (Z,Z) -> Z
Sign: Z -> UNIONU,.-l,0)
SmallerEuclideanNorm: (Z,.Z) -> Boolean
Sqrfree: Z ->[Z,.[[Z,.Integers]*]]
Type: Expression -> 'Boolean'
Unit: Z -> Z
UnitNormal: Z -> [Z,.Z,.Z]
Zero: Z -> Boolean
^: (Z,Integers) -> Z.
Домены позволяют передавать в качестве параметра процедур набор функций в виде единого целою, что и объясняет название этих объектов. Предполагается, что это может привести к заметному сокращению кодов программ вычислений в будущих реализациях системы Maple. Пока же возможности доменов скорее выглядят как очередная экзотика, чем как реальное средство для оптимизации вычислений. Потребуется время, чтобы показать, что это не так.
|
|
|
