Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Примеры решения задач

Даны результаты измерения диаметров брёвен, которые поступают на распиловку деревообрабатывающего предприятия.

Задание.

1. Построить гистограмму и полигон относительных частот.

2. Найти эмпирическую функцию распределения и построить её график.

3. Вычислить выборочное среднее значение и несмещённую оценку дисперсии .

4. Определить гипотетическую плотность закона распределения.

5. Определить теоретические частоты и проверить согласование данных выборки с гипотетическим законом распределения с помощью критерия (Пирсона) при уровне значимости .

6. Найти доверительный интервал для математического ожидания с доверительной вероятностью .

Решение. Строим интервальный статистический ряд. Объем выборки . Количество интервалов . Принимаем . Размах выборки . Длина интервала будет . Принимаем . Значения разбиваем на интервалы равной длины. Находим количество элементов выборки в каждом интервале, т.е. частоту . Полученные значения делим на объем выборки и получаем относительные частоты . Полученные данные заносим в таблицу 3.

Таблица 3

Интервал [ x _i- x _i+1)	Середина интервала	Частота n _i	Относительная частота	Высота
[17-23) [23-29) [29-35) [35-41) [41-47) [47-53) [53-59)			0.06 0.15 0.22 0.26 0.16 0.1 0.05	0.01 0.025 0.037 0.043 0.027 0.017 0.008

Строим гистограмму относительных частот (рис.1). На каждом интервале группировки статистического ряда строим прямоугольники с найденной высотой. Площадь каждого прямоугольника равна относительной частоте. Площадь всей гистограммы равна единице.

Рис. 1. Гистограмма относительных частот.

Определим эмпирическую функцию распределения по формуле (1). Значение данной функции увеличивается на значение относительной частоты при переходе значения через значение .

Строим график функции распределения (рис.3)

Рис.2. Эмпирическая функция распределения.

По виду гистограммы выдвигаем гипотезу H₀ о нормальном законе распределения диаметров бревен, которые поступают на распиловку деревообрабатывающего предприятия.

Данный закон содержит два параметра и : ; .

Определим точечную оценку математического ожидания по формуле (2):

Несмещённую оценку дисперсии найдем по формуле (4)

. Тогда .

Функция плотности соответствующего нормального закона распределения имеет вид

Определим вероятности p_i, с которыми случайная величина попадает в соответствующий интервал по формуле (7). Значения интегральной функции Лапласа находим в приложении 1. Все вычисления заносим в табл.4.

Таблица 4

Интервал	n_i	p_i	np_i	n_i-np_i
[-¥;23) [23;29) [29;35) [35;41) [41;47) [47;53) [53;+ ¥)		0.0668 0.1309 0.2230 0.2529 0.1907 0.0956 0.0401	6.68 13.09 22.30 25.29 19.07 9.56 4.01	-0.68 1.91 -0.30 0.71 -3.07 0.44 0.99	0.4624 3.6481 0.09 0.5041 9.4249 0.1936 0.9801	0.0692 0.2787 0.0040 0.0199 0.4942 0.0203 0.2444	5.3892 17.1871 21.7040 26.7299 13.4242 10.4603 6.2344
						=1.1308	101.130

Вычисляем выборочное значение статистики критерия по формуле (8). Выполняем контроль вычислений по равенству (9).

Так как , то вычисления выполнены правильно. Определим критическое значение критерия . Нормальный закон распределения содержит два определяемых параметра и , поэтому .

Количество интервалов статистического ряда . Число степеней свободы .

Для уровня значимости по таблице в приложении 3 находим .

Таким образом, , поэтому принимаем гипотезу о нормальном законе распределения случайной величины диаметров бревен с параметрами , .

Определим доверительный интервал для математического ожидания при неизвестной дисперсии по формуле (6) с уровнем значимости . Число степеней свободы будет . По табл. (приложение2,) определим . Тогда получим:

Решение при помощи Excel.

1. Фрагмент рабочего листа с построением интервального статистического ряда представлен на (рис. 3). Для промежуточных вычислений использованы функции: LOG10(число) − возвращает логарифм десятичный положительного вещественного числа, МАКС(число1;число2;...) − возвращает наибольшее значение из набора значений, МИН(число1;число2;...) − возвращает наименьшее значение из набора аргументов.

Для нахождения концов интервалов проделаем следующее: в ячейку А19 запишем минимальное значение выборки =МИН(А2:J11), а в ячейки A20 и B19 формулу =А19+$I$14 и размножим ее в ячейки соответствующего столбца. Для вычисления количества элементов выборки в соответствующем интервале воспользуемся функцией ЧАСТОТА(массив_данных;массив_интервалов).

Замечание. Так как в рассматриваемых интервалах левый конец включен, а правый нет, то, в случае если элементы выборки и концы интервалов являются целыми числами, для правильного подсчета частоты запишем в столбце Н элементы столбца В на единицу меньшие. В этом случае, например элемент 29 попадет в третий, а не во второй интервал.

Итак, выделяем ячейки D19:D25, вызываем функцию =ЧАСТОТА($А$2:$J$11;$H$19:$H$25) и нажимаем сочетание клавиш Ctrl+Shift+Enter.

Рис. 3. Интервальный статистический ряд

2. Построим гистограмму относительных частот (рис.3), используя Мастер диаграмм, который вызывается с помощью команды Вставка → Диаграмма или при нажатии соответствующей кнопки на панели инструментов.

· Выделим данные, которые будут включены в гистограмму по оси Y, т.е. ячейки G19:G25.

· Выбираем команду Вставка → Диаграмма (можно щелкнуть кнопку Мастер диаграмм на панели инструментов).

· На первом шаге работы Мастера диаграмм выбираем Тип диаграммы вариант Гистограмма и нажимаем Далее.

· На втором шаге выбираем вкладку Ряд и указываем Подписи по оси X диапазон ячеек C19:C25 (середины интервалов ).

· На третьем шаге можно добавить Заголовки, Легенду, Линии сетки и другую информации, нажимаем кнопку Готово. На экране появится гистограмма. При необходимости его можно перетащить в более удобное место, зацепив мышью за край области диаграммы.

· Щелкнув мышью по гистограмме и по появившейся точке, мы вызвали диалоговое окно Формат ряда данных. Во вкладке Параметры установим ширину зазора 0.

3. Найдем эмпирическую функцию распределения (1) (рис.4). Для этого можно также использовать функцию ВЕРОЯТНОСТЬ, которая возвращает вероятность того, что значение из интервала находится внутри заданных пределов.

Рис.4. Эмпирическая функция

4. Далее решение представлено на фрагменте рабочего листа (рис.5). Для вычисления вероятностей использована функция, возвращающая нормальную функцию распределения для указанного среднего и стандартного отклонения

НОРМРАСП(x;среднее;стандартное_откл;интегральная),

где x ─ значение, для которого строится распределение,

среднее − среднее выборочное,

стандартное_откл — стандартное отклонение распределения,

интегральная — логическое значение, определяющее форму функции.

Если интегральная имеет значение ИСТИНА, то функция НОРМРАСП возвращает интегральную функцию распределения; если это аргумент имеет значение ЛОЖЬ, то возвращается функция плотности распределения.

Для вычисления выборочного значения статистики критерия используется функция

ХИ2ОБР(уровень_значимости;степени_свободы)

категории Статистические. t-значение распределения Стьюдента можно получить с помощью функции

СТЬЮДРАСПОБР(уровень_значимости;степени_свободы).

Рис. 5. Решение задачи.

Замечание. При объеме выборки до 30 элементов для вычисления выборочного среднего, исправленной дисперсии и доверительного интервала можно пользоваться функциями категории Статистические СРЗНАЧ, ДИСП, ДОВЕРИТ.

3. Контрольные вопросы

1. Что называется генеральной совокупностью?

2. Что называется выборкой? объемом выборки?

3. Что называется вариационным рядом.?статистическим ря

дом?

4.Что такое интервальный статистический ряд? И как он стро

ится?

5. Что называется гистограммой частот (относительных частот)?

6. Дайте определение и перечислите свойства эмпирической

функции распределения?

7. Что такое статистическая оценка параметра?

8. Какие виды статистических оценок вы знаете?

9. Перечислите свойства точечных оценок. В чем суть этих

свойств?

10. Какие точечные статистические оценки вы знаете?

11. Что такое доверительный интервал?

12. Запишите доверительный интервал для математического

ожидания нормально распределенной случайной величины

при данном уровне значимости и известном .

13. От чего зависит длина доверительного интервала?

14. Что называетсястатистической гипотезой?

15.Что называется статистическим критерием проверки гипоте

зы?

16. Что называется критерием согласия?

17. На основании каких признаков можно произвести предва

рительный выбор закона распределения?

18. Опишите схему проверки гипотезы о виде функции распре

деления с помощью критерия .

⇐ Предыдущая 123 Следующая ⇒