Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Частные производные.

Стр 1 из 3Следующая ⇒

Задание 1.

1. Вычислить предел . Наберите:

> Limit((1-x)*tan(Pi*x/2),x=1)=

limit((1-x)*tan(Pi*x/2),x=1);

2. Найти односторонние пределы и . Наберите:

> Limit(arctan(1/(1-x)),x=1,left)=

limit(arctan(1/(1-x)), x=1, left);

> Limit(arctan(1/(1-x)),x=1,right)=

limit(arctan(1/(1-x)),x=1, right);

§2. Дифференцирование

Вычисление производных.

Для вычисления производных в Maple имеются две команды:

1) прямого исполнения – diff(f,x), где f – функция, которую следует продифференцировать, x – имя переменной, по которой производится дифференцирование.

2) отложенного исполнения – Diff(f,x), где параметры команды такие же, как и в предыдущей. Действие этой команды сводится к аналитической записи производной в виде . После выполнения дифференцирования, полученное выражение желательно упростить. Для этого следует использовать команды simplify factor или expand, в зависимости от того, в каком виде вам нужен результат.

Пример:

> Diff(sin(x^2),x)=diff(sin(x^2),x);

Для вычисления производных старших порядков следует указать в параметрах x$n, где n – порядок производной; например:

> Diff(cos(2*x)^2,x$4)=diff(cos(2*x)^2,x$4);

Полученное выражение можно упростить двумя способами:

> simplify(%);

> combine(%);

Дифференциальный оператор.

Для определения дифференциального оператора используется команда D(f) – f -функция. Например:

> D(sin);

cos

Вычисление производной в точке:

> D(sin)(Pi):eval(%);

-1

Оператор дифференцирования применяется к функциональным операторам

> f:=x-> ln(x^2)+exp(3*x):

> D(f);

Задание 2.

1. Вычислить производную

> Diff(sin(2*x)^3-cos(2*x)^3,x)=

diff(sin(2*x)^3-cos(2*x)^3,x);

2. Вычислить . Наберите:

> Diff(exp(x)*(x^2-1),x$24)=

diff(exp(x)*(x^2-1),x$24):

> collect(%,exp(x));

3. Вычислить вторую производную функции в точках x =p/2, x =p.

> y:=sin(x)^2/(2+sin(x)): d2:=diff(y,x$2):

> x:=Pi; d2y(x)=d2;

x:=p d2y(p)=1

> x:=Pi/2;d2y(x)=d2;

х:=

§3. Дифференциальное исчисление функций многих переменных

Большинство задач дифференциального исчисления функций многих переменных решается в Maple теми же командами, что и для функций одной переменной, только с указанием дополнительных параметров.

Частные производные.

Для вычисления частных производных функции f (x ₁,…, x_m) используется уже хорошо известная вам команда diff. В этом случае эта команда имеет такой формат: diff(f,x1$n1,x2$n2,…, xm$nm), где x1,…, xm – переменные, по которым производится дифференцирование, а после знака $ указаны соответствующие порядки дифференцирования. Например, частная производная записывается в виде: diff(f,x,y).

Задание 3.

1. Найти и функции .

> f:=arctan(x/y):

>D iff(f,x)=simplify(diff(f,x));

> Diff(f,y)=simplify(diff(f,y));

2. Найти все частные производные 2-го порядка функции .

> restart; f:=(x-y)/(x+y):

> Diff(f,x$2)=simplify(diff(f,x$2));

> Diff(f,y$2)=simplify(diff(f,y$2));

> Diff(f,x,y)=diff(f,x,y);

§4. Исследование функции

Исследование функции необходимо начинать с нахождения ее области определения, но, к сожалению, это трудно автоматизируемая операция. Поэтому при рассмотрении этого вопроса приходится решать неравенства (см. тему II). Однако, ответить на вопрос, определена ли функция на всей числовой оси, или нет, можно исследовав ее на непрерывность.

12 3 Следующая ⇒