 |
Работа трансформатора с нагрузкой
|
|
|
|
Для анализа работы трансформатора с нагрузкой уравнения электрического состояния первичной (8.4) и вторичной (8.5) цепей записывают в виде
(8,7)
U 1 = - E 1 + I 1 r 1 + j I 1 x 1,
из которого следует, что ток в первичной обмотке трансформатора равен
(8.7a)
| I 1 = | U 1 + E 1 | . |
| r 1 + jx 1 |
и
(8,8)
U 2 = E 2 - I 2 r 2 - j I 2 x 2,
в которых j I 1 x 1 = - Ē р1 и j I 2 x 2 = - Е р2, где x 1 и х 2 - индуктивные сопротивления первичной и вторичной обмоток, обусловленные потоками рассеяния.
Как уже говорилось выше, при работе трансформатора с нагрузкой (см. рис. 8.1) во вторичной обмотке действует ток I 2 и основной магнитный поток создают МДС обеих обмоток. Так как положительные направления действующих значений токов в первичной и вторичной обмотках одинаковые от начала к концу (см. рис. 8.1), то основной манитный поток обусловлен суммой МДС. Сумма МДС, она векторная, заменяется одной результирующей:
(8,9)
I w 1 + I 2 w 2 = (I w)рез .
При холостом ходе I 2 = 0 и
(I w)рез = I 1 w 1 = I 10 w 1
и создаваемый этой МДС магнитный поток Ф m = Ф m 0. Значение ЭДС Е 10, индуктируемой этим потоком, как следует из уравнения (8.6), почти равно U 1, так как ток холостого хода I 10 мал и падение напряжения от него в r 1 и х 1 пренебрежимо мало:
U 1 ≈ Е 10.
При изменении нагрузки изменяются ЭДС Е 1, магнитный поток и результирующая МДС трансформатора. Однако, как уже об этом говорилось, падение напряжения в первичной обмотке как при холостом ходе, так и при нагрузке невелико и практически можно допустить, что
Е 1 = E 10 = U 1 и ЭДС не зависит от нагрузки.
Если это допустить, то необходимо предположить, что магнитный поток и создающая его МДС также не зависят от нагрузки и имеют те же значения, что и при холостом ходе:
Ф m = Ф m 0 и (Iw)peз = I 10 w 1.
Такое допущение намного упрощает анализ работы трансформатора и не вносит существенных погрешностей в расчетные формулы. Поэтому уравнение МДС (8.9) принято записывать в виде
|
|
|
(8,10)
I 1 w 1 + I 2 w 2 = I 10 w 1,
a I 10 w 1 в одних случаях называть МДС тока холостого хода, в других — просто результирующей МДС, так как в общем случае это совсем не одно и то же.
Необходимо отметить, во-первых, что физические явления в трансформаторе довольно сложные и их нельзя объяснить, если допустить, что E 1 и Ф m не зависят от нагрузки.
Как, например, объяснить в этом случае, пользуясь уравнением (8.7 а), почему с изменением тока I 2 изменяется ток I 1? Невозможно. В действительности ток I 1 изменяется потому, что изменяется ЭДС E 1. Это вытекает из (8.7 а). В выражении (8.7 а) величины U 1, r 1, х 1 не зависят от тока I 2 и с его изменением остаются неизменными. Следовательно, I 1 есть функция E 1, а она вызвана магнитным потоком Ф m (E = 4,44 wf Ф m). Магнитный поток изменяется в результате действия МДС I 2 w 2. Во-вторых, при нагрузках, значительно превышающих номинальные, например коротком замыкании, магнитный поток намного меньше, чем при номинальном режиме, и все сделанные выше допущения привели бы к недопустимым погрешностям в расчетных формулах. Разделив правую и левую части уравнения (8.10) на w 1 и решив его относительно тока I 1, получим
(8,11)
I 1 = I 10 - I 2 w 2/ w 1 = I 10 + I ' 2,
где I ' 2 = - I 2 w 2/ w 1 — приведенное значение тока вторичной обмотки.
Из уравнения (8.11) вытекает, во-первых, то, что ток в первичной обмотке имеет две составляющие: ток холостого хода и ток, обусловленный нагрузкой, и, во-вторых, поскольку намагничивающий ток (ток холостого хода) не зависит от нагрузки, с изменением тока I 2 в той же степени изменяется ток I 1, что ранее было доказано с помощью закона сохранения энергии. Для качественного анализа и получения относительных количественных соотношений трансформатора с нагрузкой полезно использовать векторную диаграмму, которая является графическим отображением уравнений электрического состояния (8.7), (8.8) первичной и вторичной цепей трансформатора и уравнения токов (8.11).
|
|
|
Рис. 8.6. Векторная диаграмма нагруженного трансформатора
На рис. 8.6 изображена векторная диаграмма при
Z н = r н + jx н. Необходимо отметить два важных положения, вытекающих из векторной диаграммы и рис. 8.1. Первое: напряжение вторичной обмотки почти совпадает по фазе с первичным (для идеализированного трансформатора совпадает точно). Второе: ток вторичной обмотки находится почти в противофазе с током первичной обмотки. Это означает, что МДС вторичной обмотки большую часть периода переменного тока является размагничивающей относительно МДС тока первичной обмотки (см. рис. 8.6).
Действительно, если напряжение u 1 = U 1 m sin ω t и направлено от начала к концу первичной обмотки, то, как это следует из векторной диаграммы, напряжение и 2 можно записать так: u 2 = U 2 m sin (ω t - π) (угол несколько больше π, для идеализированного трансформатора точно π), но оно направлено от конца к началу вторичной обмотки. Если направление действия и 2 принять таким же, как и 1, — от начала к концу, то выражение и 2 следует записать в таком виде: и 2 = - U 2 m sin (ω t - π) или u 2 = U 2 m sin ω t. Отсюда следует, что в первую часть периода начала обмоток имеют положительный потенциал относительно своих концов, а во вторую часть периода — отрицательный, а это означает, что u 2 и u 1 почти совпадают по фазе (для идеализированного трансформатора совпадают точно).
Ток в первичной обмотке имеет выражение i 1 = I 1 m sin (ω t - φ1) и направлен от начала к концу обмотки, ток во вторичной обмотке, как это следует из векторной диаграммы, равен
i 2 = I 2 m sin (ω t - φ1 - π) (угол несколько больше π, если же пренебречь током холостого хода I 0, то точно π). Следовательно, когда ток (движение положительных зарядов) в первичной обмотке направлен от начала к концу, то во вторичной — от конца к началу и наоборот. Таким образом, мгновенное значение результирующей МДС трансформатора равно почти арифметической разности (см. рис. 8.12) МДС первичной и вторичной обмоток
i 1 w 1- i 2 w 2 = i 0 w 1,
Рис. 8.7. Схема трансформатора
|
|
|
т. е. вторичный ток по отношению к первичному является размагничивающим, что соответствует правилу Ленца.
Определить значения величин, входящих в уравнения (8.7), (8.8), (8.11), например U 2 и I 2, при заданном значении нагрузки или построить график зависимости U 2 от I 2 возможно графически путем построений нескольких векторных диаграмм, что сопряжено со значительной затратой времени и погрешностью, связанной с неточностью графических построений. Поэтому для анализа и расчета трансформаторов используется схема замещения, в которой действительная магнитная связь между первичной и вторичной обмотками заменена гальванической, в результате чего возникает единая электрическая цепь переменного тока, позволяющая аналитически определить упомянутые выше величины. Схема замещения может быть получена следующим образом.
На рис. 8.7 изображена схема трансформатора, в которой активные сопротивления r 1, r 2 и индуктивные сопротивления x 1 и х 2 первичной и вторичной обмоток вынесены, магнитная связь осуществляется между идеализированными обмотками w 1 и w 2, в которых действуют ЭДС Е 1 и Е 2от основного магнитного потока. Трансформатор, в котором r 1, r 2, x 1, х 2 равны нулю, называется идеализированным; он обведен на рис. 8.7 пунктирной линией. Для образования гальванической связи, казалось бы, необходимо соединить точки aа' и бб' (рис. 8.7). Однако делать этого нельзя, так как значения ЭДС Е 1 и Е 2 не одинаковы и в результате возникло бы короткое замыкание. Поэтому вначале надо уравнять потенциалы точек aа' и бб', т. е. ввести вместо действительного значения ЭДС Е 2 его приведенное значение Е' 2, вместо действительного тока I 2 — его приведенное значение I' 2. В результате реальный трансформатор заменяется трансформатором с одинаковым числом витков первичной и вторичной обмоток. Приведенное значение ЭДС
Е' 2 = Е 1 = Е 2 w 1/ w 2 = Е 2 п.
Приведенное значение (абсолютное) тока I' 2, как это вытекает из уравнения (8.11), равно
I' 2= I 2 w 2/ w 1. Это же можно доказать исходя из того, что мощность (электромагнитная мощность), воспринимаемая вторичной обмоткой от первичной, в схеме замещения должна иметь то же значение, что и в реальном трансформаторе:
|
|
|
| E 2 I 2 = E' 2 I' 2 = Е 2 | w 1 | I' 2, |
| w 2 |
| откуда I' 2 = I 2 | w 2 | . |
| w 1 |
Поскольку в схеме замещения действуют приведенные значения Е' 2 и I' 2, отличные от действительных, необходимо привести и значения параметров вторичной цепи к первичной. В противном случае схема замещения не будет отражать реальные соотношения в трансформаторе.
Приведенные значения параметров вторичной цепи определяются из закона сохранения энергии: потери мощности в активном сопротивлении r' 2 и реактивная мощность индуктивного сопротивления х' 2 схемы замещения должны быть соответственно такими же, как в реальных r 2 и х 2 вторичной обмотки трансформатора. Приведенные значения определяются из соотношений
I 22 r 2 = I 22 r' 2; I 22 x 2 = I 22 х' 2; I 22 z н = I 22 z' н,
откуда
r' 2 = r 2 n 2; х' 2 = х 2 n 2; z' н = z н n 2.
Приведенное значение напряжения на вторичной обмотке трансформатора
U' 2 = - U 2 w 1/ w 2 = - U 2 n.
На рис. 8.8 изображена схема замещения трансформатора. Ветвь схемы замещения аб, в которой действует I 10, называется намагничивающей, ее параметры r 0 и х 0 были рассмотрены при изучении холостого хода трансформатора. Схема замещения представляет собой разветвленную электрическую цепь переменного тока, что несколько усложняет расчеты, поэтому в практике обычно пользуются упрощенной схемой замещения. В упрощенной схеме замещения намагничивающую ветвь аб переносят к выводам первичной обмотки. Это вносит некоторые погрешности из-за падения напряжения в r 1 и х 1. Однако падение напряжения столь мало, что им можно пренебречь. Для большинства трансформаторов, как об этом уже говорилось, ток холостого хода I 10 невелик и им можно пренебречь. Поэтому в упрощенной схеме замещения (рис. 8.9) предполагается, что I 10 = 0 и I 1 = I' 2, и намагничивающая ветвь на схеме не указывается.
Рис. 8.8. Схема замещения трансформатора
Рис. 8.9. Упрощенная схема замещения трансформатора
Упрощенная схема замещения трансформатора может быть получена и другим путем, который и рассмотрим.
Выразив Е 2 в (8.8) через E 1(E 2 = E 1 w 2/ w 1 = E 1/ n) и решив уравнение относительно E 1, получим
E 1 = U 2 n + I 2 r 2 n + j I 2 x 2 n.
Подставив это значение Е 1 в (8.7), получим
U 1 = - U 2 n - I 2 r 2 n - j I 2 x 2 n + I 1 r 1 + j I 1 x 1. (8,12)
Если пренебречь током холостого хода (I 10 = 0), то из (8.11) следует, что
I 1 = - I 2 w 2/ w 1 = - I 2/ n.
Подставив это значение I 1 в (8.12), получим
U 1 = - U 2 n - I 2 r 2 n - j I 2 x 2 n - I 2 r 1/ n - j I 2 x 1/ n. (8,13)
Выразив U 2 и I 2 в (8.13) через их приведенные значения U' 2 = - U 2 n и I ' 2 = - I 2/ n, откуда
U 2 = - U' 2/ n и I 2 = - I' 2 п (знак минус появился вследствие того, что во вторичной обмотке ток I 2направлен от начала к концу, напряжение — от конца к началу, а в схеме замещения эти направления изменены на обратные), получим U 1 = U ' 2 + I ' 2 r 2 n 2 + j I ' 2 x 2 n 2 + I ' 2 r 1 + j I ' 2 x 1.
|
|
|
Обозначив r 2 п 2 = r' 2 и х 2 п 2 = х' 2, получим
U 1 = - U ' 2 + I ' 2 r' 2 + j I ' 2 x' 2 + I ' 2 r 1 + j I ' 2 x 1 = U ' 2 + I ' 2(r 1 + r' 2) + j I ' 2(x 1 + x' 2) =
= U ' 2 + I ' 2 r к + j I ' 2 x к = U ' 2 + I ' 2 Z к.
Этому уравнению соответствует упрощенная схема замещения трансформатора, изображенная на рис. 8.9.
На основании закона Ома применительно к упрощенной схеме замещения можно записать
| I 1 = I ' 2 = | U 1 | . |
| √ r к + r' н)2 + (x к + x' н)2 |
(8.14)
где r к = r 1 + r' 2— активное сопротивление обмоток трансформатора; х к = х 1 + х' 2 — индуктивное сопротивление обмоток трансформатора; r' н — приведенное значение активного сопротивления нагрузки; х' н — приведенное значение индуктивного сопротивления нагрузки.
Напряжение на выводах вторичной обмотки трансформатора
U ' 2 = U 1 - I ' 2 r к - j I ' 2 x к. (8,15)
Падение напряжения в обмотках трансформатора
Δ U = U 1 - U ' 2 = I ' 2 Z к,
где Z к = r к + jx к— полное сопротивление обмоток трансформатора.
Рис. 8.10. Схема опыта короткого замыкания ( а ), схема замещения трансформатора при коротком замыкании ( б )
Сопротивления r к и x к определяются из опыта короткого замыкания, поэтому их называют параметрами короткого замыкания трансформатора.
Опыт короткого замыкания. Для выяснения соответствия значений расчетных данных сопротивлений r к и x к их действительным проводят опыт короткого замыкания. Опыт проводят и для определения r к и x к, когда их расчетные значения не известны.
Схема опыта короткого замыкания изображена на рис. 8.10, а. Значение полного сопротивления обмоток трансформатора z к составляет всего 5 — 15% сопротивления нагрузки, и если бы вторичная обмотка оказалась замкнутой накоротко при номинальном напряжении на первичной обмотке, то в обмотках трансформатора возник бы опасный для обмоток ток, больший номинального примерно в 10 — 20 раз.
Поэтому опыт проводят следующим образом. После сборки схемы опыта с помощью какого-либо регулятора напряжения устанавливают напряжение на первичной обмотке такого значения, при котором ток в обмотках равен их номинальным значениям. Напряжение при этом окажется не более 5 — 15% номинального. Это напряжение называют напряжением короткого замыкания и обозначают U 1к. Затем записывают показание приборов. На рис. 8.10, б изображена схема замещения при опыте короткого замыкания.
Рис. 8 11. Схема трансформатора к примеру
Мощность, измеряемая ваттметром, есть мощность всех потерь энергии в трансформаторе. Однако из-за малого значения напряжения на первичной обмотке и, следовательно, малого значения амплитуды магнитной индукции, что вытекает из выражения
U 1к = E 1к = 4,44 w 1 fBmS ст, потери мощности в магнитопроводе, которые примерно пропорциональны квадрату амплитуды магнитной индукции, намного меньше, чем при номинальном напряжении, и значительно меньше потерь в обмотках трансформатора при номинальном токе и ими можно пренебречь. Таким образом, ваттметр фактически измеряет мощность потерь в обмотках трансформатора при номинальной нагрузке:
Δ Р к = I 21н r 1 + I 22н r 2 = I 21н r 1 + I' 22н r' 2,
а так как
I' 2н = I 1н и r' 2 = r 2 n 2,
то
Δ P к = I 1н2(r 1 + r' 2) = I 1н2 r к ,
откуда определяется значение
r к = Δ P к / I 1н2.
Значение полного сопротивления определяется по показаниям вольтметра и амперметра и составляет
z к = U 1к/ I 1к = U 1к / I 1н.
Значение идуктивного сопротивления определяется из выражения
x к = √ z к2 - r к2.
В трансформаторах малой мощности (10 —500 Вт) r к > х к, средней r к < х к, большой r к << х к.
Пример 8.1. Как изменятся амплитуда магнитной индукции, ток холостого хода, напряжение на вторичной обмотке, токи во вторичной и первичной обмотках трансформатора, а также мощность, потребляемая трансформатором, и потери мощности в магнитопроводе трансформатора, если уменьшить число витков первичной обмотки на 5 — 10% (выключатель В переключить из положения а в положение б, рис 8.11)?
Решение. 1. Как вытекает из выражения
U 1 ≈ E 1 = 4,44 fw 1 BmS ст
при уменьшении числа витков первичной обмотки w 1 увеличится амплитуда магнитной индукции Вm в магнитопроводе трансформатора, так как остальные величины, входящие в уравнение, не изменятся.
2. Как вытекает из выражения
Bm = μ aHm,
увеличится значение амплитуды напряженности магнитного поля в магнитопроводе.
3. Из закона полного тока
H ст m l ст + H 0 m l 0 = I 0 m w 1
следует, что с увеличением Нm увеличится и ток холостого хода I 0 m .
4. Напряжение на вторичной обмотке U 2 увеличится, что вытекает
из выражения
U 2 = U 1 w 2/ w 1
5. Ток во вторичной обмотке I 2 увеличится, что следует из закона Ома,
I 2 = U 2/ z п
6. Ток в первичной обмотке I 1 и мощность, потребляемая трансформатором Р, увеличится, что следует из закона сохранения энергии,
P = U 2 I 2 = I 22 r п ≈ I 1 U 1
или из уравнения
Ī 1 =Ī 0 + Ī' 2.
7. Потери мощности в магнитопроводе трансформатора возрастут, поскольку они пропорциональны примерно квадрату амплитуды магнитной индукции, а она увеличилась
Пример 8.2. Как изменятся напряжение вторичной обмотки, ток холостого хода и потери мощности в магнитопроводе трансформатора, рассчитанного для работы в сети с частотой f = 50 Гц, если его включить в сеть с частотой f = 100 Гц того же значения первичного напряжения?
Решение 1 Как вытекает из выражения
U ≈ Е 1= 4,44 w 1 fBmS ст,
с увеличением частоты f уменьшится значение амплитуды магнитной индукции Bm, следовательно, и напряженности магнитного поля Hm (Bm = μа Hm), и тока холостого хода
I 0(H ст m l ст + H 0 m l 0= I 0 m w 1).
2. Напряжение вторичной обмотки не изменится, так как оно определяется из соотношения
U 2 = U 1 w 2 / w 1.
3. Потери мощности в магнитопроводе трансформатора
| Δ P ст = G Δ P 10 Bmn ( | f | )1,3 |
уменьшатся, так как показатель степени n ≈ 2, а показатель степени частоты f равен 1,3.
|
|
|
