Общая характеристика переходных процессов
В электрических цепях возможны включения и отключения отдельных ветвей, короткие замыкания участков цепи, различного рода переключения. Любые изменения в электрических цепях можно представить в виде переключений или коммутаций. Характер коммутации указывается в схеме с помощью рубильника со стрелкой. По направлению стрелки можно судить, замыкается или размыкается рубильник. Первый закон. В любой ветви с индуктивностью ток не может изменяться скачком и в момент коммутации сохраняет то значение, которое он имел непосредственно перед моментом коммутации iL (0+) = iL (0-), где iL (0+) - ток в ветви с индуктивностью в момент коммутации, сразу после коммутации. Знак "+" в формуле обычно не записывается. Время переходного процесса отсчитывается от момента коммутации; Второй закон. Напряжение на емкости сразу после коммутации сохраняет то значение, которое оно имело непосредственно перед моментом коммутации. uC (0+) = uC (0-), где uC (0+) - напряжение на емкости в момент коммутации;
Допущения, применяемые при анализе переходных процессов. 1. Полагают, что переходный процесс длится бесконечно большое время. 2. Считают, что замыкание и размыкание рубильника происходит мгновенно, без образования электрической дуги. 3. Принимают, что к моменту коммутации предыдущие переходные процессы в цепи закончились. В соответствии с классическим методом расчета, переходный ток в ветви схемы представляют в виде суммы принужденного и свободного токов.
где iпр(t) - принужденный ток, определяется в установившемся режиме после коммутации. Этот ток создается внешним источником питания. Если в цепь включен источник постоянной ЭДС, принужденный ток будет постоянным, если в цепи действует источник синусоидальной ЭДС, принужденный ток изменяется по периодическому, синусоидальному закону; Свободный ток определяют по формуле:
Количество слагаемых в формуле равно числу реактивных элементов (индуктивностей и емкостей) в схеме.
8.2. Переходные процессы в цепях
Короткое замыкание в R-L цепи На рис. 8.1 изображена электрическая цепь, в которой включен источник постоянной ЭДС. В результате коммутации рубильник замыкается и образуется замкнутый на себя R-L контур.
Рис. 8.1 Определим закон изменения тока в индуктивности после коммутации. Принужденный ток после коммутации замыкается через рубильник, имеющий нулевое сопротивление, и через индуктивность не протекает. Индуктивный ток имеет только свободную составляющую Магнитное поле, исчезая, индуктирует в индуктивной катушке ЭДС самоиндукции. Свободный ток в R-C контуре существует за счет этой электродвижущей силы.
Ищем решение этого уравнения в виде экспоненты
Производная
Подставим значения свободного тока и производной тока в уравнение (8.1)
Уравнение (8.2), полученное из уравнения (8.1), называется характеристическим.
Постоянную интегрирования А определяем с помощью начального условия. В соответствии с первым законом коммутации,
Получим Напряжение на индуктивности
Рис. 8.2 Подключение R-L цепи к источнику постоянной ЭДС В схеме на рис. 8.3 до коммутации рубильник разомкнут. В результате коммутации рубильник замыкается и подключает R-L цепь к источнику постоянной ЭДС. Определим закон изменения тока i(t).
Принужденный ток в установившемся режиме после коммутации
В свободном режиме из схемы исключен внешний источник питания. Схема на рис. 8.3 без источника ЭДС ничем не отличается от схемы на рис. 8.1.
Рис. 8.3 До коммутации рубильник был разомкнут, и ток в схеме отсутствовал.
Напряжение на индуктивности
На рис. 8.4 изображены кривые переходного, принужденного, свободного токов и переходного напряжения на индуктивности.
Рис. 8.4 Короткое замыкание в R-C цепи В схеме на рис. 8.5 в результате коммутации рубильник замыкается, и образуется замкнутый на себя R-C контур.
Рис. 8.5 Ток через конденсатор Получим дифференциальное уравнение
Решение этого уравнения Подставим значение свободного напряжения и производной от напряжения
Уравнение
Подключение R-C цепи к источнику постоянной ЭДС Полагаем, что до коммутации конденсатор не заряжен, напряжение на нем uc(0-) = 0.
Переходное напряжение
В момент коммутации
В соответствии со вторым законом коммутации
Переходное напряжение
Переходный ток
Рис. 8.8 8.3. Переходные процессы в цепях При последовательном соединении сопротивления R, катушки индуктивности L и конденсатора С образуется электрический R-L-C контур (рис. 8.9).
После дифференцирования по t и деления на L получим
Свободная составляющая является общим решением уравнения
Пусть После подстановки этих выражений в уравнение (8.5) получим характеристическое уравнение
Характеристическое уравнение имеет два корня
где
Получим
Вид корней зависит от отношения
где
Колебательный режим Наиболее важен часто встречающийся случай, когда корни P1,2 - комплексные сопряженные с отрицательной вещественной частью, свободная составляющая имеет вид затухающих колебаний. В этом случае
где
Ток в цепи
где А и φ - постоянные интегрирования. До коммутации ток в индуктивности равен нулю, сразу после коммутации остается равным нулю
Чтобы определить две постоянные интегрирования, необходимо иметь два начальных условия и составить два уравнения. Напряжение на индуктивности
где
До коммутации конденсатор был не заряжен, поэтому
Подставляя в (8.6) и (8.7) t = 0 и используя независимое и зависимое начальные условия, получим систему уравнений
Решив систему (8.8), определим
Рис. 8.10 Постоянная времени переходного процесса При малом коэффициенте затухания величина ωС незначительно отличается от резонансной частоты ω0.
Натуральный логарифм этого оператора носит название логарифмического декремента затухания
Для контура с небольшим затуханием, когда Апериодический режим в R-L-C контуре наблюдается при большом затухании, когда Свободный ток определяется по формуле
Напряжение на индуктивности
Подставив в уравнение (8.9) и (8.10) t = 0 и используя независимое и зависимое условия, получим систему уравнений Решив эту систему, определим постоянные интегрирования
Выражение для тока в контуре состоит из положительной, медленно затухающей экспоненты с коэффициентом затухания P1 и отрицательной, быстро затухающей экспоненты P2 (рис. 8.11).
Магнитные цепи
Читайте также: I. Характеристика группы Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|