 |
Проверка непараметрических гипотез
|
|
|
|
Две основные группы непараметрических гипотез:
1) Проверка гипотезы о виде функции распределения
2) Проверка гипотезы о принадлежности двух выборок одной генеральной совокупности
Проверка непараметрических гипотез выполняется при помощи непараметрических критериев значимости, то есть случайных величин, которые при условности верности Н0 имеют заранее определенное распределение.
Для проверки гипотез первого типа используется критерий согласия.
Для проверки гипотез второго типа используется критерий однородности.
Критерий согласия Хиггсона – Хи2
Проверяется согласование гипотетического (предполагаемого) и эмпирического (опытного) законов распределения.
Порядок действий:
1) Первичный анализ данных, в т.ч. построение статистического ряда СВ Х, сгруппированного или интервального.
Строим интервальный статистический ряд.
На основании предметной постановки задачи, а также анализа данных, выдвигается гипотеза H0 о виде закона распределения. H0: Fksi(x)=F*(x); Halpha: Fksi(x)!=F*(x)
Выполняется оценка параметров гипотетической функции F*(x)
2) Для проверки гипотезы о вида функции распределения используется статистика вида Хи2 = SUM(i=1;k)(mi-npi)2/npi, где n – объем выборки, mi – количество значений СВ, попавших в интервал i. pi – вероятность попадания СВ в i интервал, исходя из F*(x).
Попадание значения X в i интервал статистического ряда есть испытание Бернулли. Следовательно, mi имеет биномиальный закон распределения с параметрами n и pi.
ОКЗ критерия Хи2 является правосторонним. Для заданного уровня значимости ОКЗ определяется из условия P(Хи2 прин. ОКЗ) = P(Хи2 > Хикрит) = alpha
Хи крит – квантиль распределения Хи2alpha/2 с k – r – 1 степенями свободы, где k – количество интервалов, а r – количество параметров функции F*.
|
|
|
3) Рассчитывается выборочное значение статистического критерия значимости (ф-ла 2.). И если Хи2 < Хи2крит, то гипотеза Хи2 принимается.
Критерий согласия ЛЯМБДА Колмогорова. Используется для проверки гипотезы вида H0: Fksi(x)=F*(x); Halpha: Fksi(x)!=F*(x), в условиях когда параметры гипотетического F*(x) точно известны.
Для проверки гипотезы H0 используется статистический критерий LAMBDA, равный максимальному отклонению эмпирической и гипотетической функции распределения.
LAMBDA = MAX[F^ (x)-F*(x)]sqrt(n), где n – объем выборки.
Как было доказано Колмогоровым, в случае справедливости гипотезы H0: Fksi(x)=F*(x) при n -> inf, критерий LAMBDA имеет распределение Колмогорова
Flambda(x) = SUM(k=-inf, +inf)(-1)ke-2k^2x^2. Эта функция распределения не зависит от F*(x). При высоком согласовании гипотетической функции с выборочными данными, LAMBDA близка к нулю.
Т.о. LAMBDA^ < LAMBDAкрит, где LAMBDAкрит определяется из справочника для уровня значимости alpha и объема n.
Достоинства критерия Колмогорова по сравнению с критерием Хиггсона.
1) Независимость от способа группировки данных.
2) Возможность применения для проверки гипотезы выборок небольшого объема (от 20 до 30 элементов).
-00---0---00-00-0-
Обозначим вероятность попадания
Моделируется 
независимых реализаций кси, вычисляется оценка величины 
- количество реализаций 
, попавших в область 
или абсолютная частота.
Относительная частота попадания - 
, она же эффективная оценка вероятности 
.
Для вычисления одной и той же величины возможны разные варианты построения СВ кси. Предпочтение отдается варианту, наиболее полно удовлетворяющему след. условию - 
минимальна. Моделирование кси выполняется одним из известных способов – реализацией жребия.
После розыгрыша равномерно распределенной величины 
вычисляется обратная функция 
, обратная по отношению к 
. Тогда 
будет искомым значением случайной величины.
|
|
|
Жребий 4:
Возможны 2 случая: если 
независимы друг от друга, то моделирование жребия сводится к повторению 
раз моделирования жребия 3. Если зависимы, то имеются условные распределения случайных величин. При этом максимально корректным является следующий подход:
1. Получают значение 
2. Затем получают значение 
, пользуясь условным распределением для
3. Затем получают значение 
, пользуясь условным распределением для полученных значений и
4. И так далее
Поскольку использование условных распределений значительно усложняет вычислительный процесс, считают случайные величины независимыми, при этом предварительно оценивают ошибку от такого допущения
|
|
|
