 |
Передаточна функція
|
|
|
|
Типові ланки лінійних систем можна описувати математично і визначати різними еквівалентними способами, зокрема за допомогою так званої передаточної функції, що має, як правило, дробово-раціональний вид, тобто представляє собою відношення двох поліномів:
, (3.1)
де bi і aj - коефіцієнти поліномів; це так звані параметри передаточної функції або ланки;
s = σ+jω - незалежна змінна на комплексній площині; σ і ω змінюються від мінус до плюс нескінченності.
Передаточна функція пов'язує зображення Лапласа Y(s) вихідного сигналу y(t) ланки із зображенням X(s) його вхідного сигналу x(t):
, (3.2)
тобто дозволяє по будь-якому відомому вхідному сигналу x(t) знайти вихідний y(t). Це ж саме можна сказати і щодо сукупності коефіцієнтів поліномів чисельника і знаменника передавальної функції.
Комплексний коефіцієнт передачі (ККП) .
Важливу роль при моделюванні лінійних стаціонарних систем відіграють частотні характеристики.
.
Функцію W(jw), яку отримують з передаточної функції при підстановці в неї s=jw
(3.3)
називають комплексним коефіцієнтом передачі (ККП), або частотною передаточною функцією. Частотна передаточна функція є комплексною функцією від дійсної змінної w, яка називається частотою.
Функцію W(jw) можна представити у вигляді
W(jw)=Re(w)+jIm(w)=A(w) 
, (3.4)
де
(3.5)
- модуль ККП, що дорівнює відношенню амплітуд вихідного 
і вхідного 
сигналів для заданого значення частоти (амплідудно-частотна характеристика – АЧХ) і обчислюється, як
А(w)= 
, (3.6)
; (3.7)
а 
- фаза, яка дорівнює різниці фаз цих же сигналів
, (3.8)
і обчислюється, як
. (3.9)
На комплексній площині (рис.3.1) частотну передаточну функцію W(jw) позначають вектором, довжина (модуль) якого дорівнює А(w), а аргумент (кут утворений цим вектором з дійсно позитивною піввіссю) – j(w). Криву, яку описує кінець цього вектора при змінні частоти від нуля до нескінченності, називають амплітудно-фазовою характеристикою (АФЧХ), або годографом. Перевага годографа в тому, що він одночасно у полярній системі системі координат представляє залежність А (w) для всього діапазону частот.
|
|
|
Частотну передаточну функцію будемо називати також амплітудно– частотною функцією. Її дійсну частину Re(w) і уявну частину Im(w) будемо називати відповідно дійсною і уявною частотною функцією.
|
|
|
|
|
 |
Графік дійсної частотної функції називають дійсною частотною характеристикою, а графік уявної частотної функції– уявною частотною характеристикою.
Модуль A(w) = ê W(jw) ê називають амплітудно- частотною функцією, її графік – амплітудною частотною характеристикою.
Аргумент j(w)=argW(jw) називають фазовою частотною функцією, її графік – фазовою частотною характеристикою.
|
|
|
