 |
Імпульсна та перехідна характеристики
|
|
|
|
Імпульсною характеристикою (ваговою функцією) називається реакція системи на одиничний нескінченний імпульс (дельта-функцію або функцію Дірака) при нульових початкових умовах. Дельта-функція визначається рівностями
, 
. (3.10)
Це узагальнена функція - математичний об'єкт, що представляє собою ідеальний сигнал, ніякий реальний пристрій не здатен його відтворити. Дельта-функцію можна розглядати як границю прямокутного імпульсу одиничної площі з центром в точці 
при прагненні ширини імпульсу до нуля.
 |
Рисунок 3.2 – Імпульсна характеристика як реакція системи на 
Друга назва - вагова функція - пов'язана з тим, що для довільного вхідного сигналу 
вихід системи 
обчислюється як згортка
. (3.11)
Тут функція 
якби «зважує» вхідний сигнал в підінтегральному виразі.
Імпульсна характеристика відображає лише вхід-вихідні співвідношення при нульових початкових умовах, тобто, не може повністю описувати динаміку системи.
Поняття імпульсної характеристики використовується головним чином для систем, передавальні функції яких строго правильні. Якщо передавальна функція правильна, але не строго правильна, коефіцієнт прямої передачі з входу на вихід не дорівнює нулю, тому нескінченний імпульс на вході в момент 
передається на вихід. Таку (нескінченну за величиною) імпульсну характеристику неможливо побудувати. Якщо система не містить інтеграторів, імпульсна характеристика прагне до нуля. Це випливає з теореми про граничні значення:
,
де 
- передавальна функція системи, яка є перетворенням Лапласа для . Імпульсна характеристика системи з одним інтегратором прагне до постійної величини, рівної статичному коефіцієнту передачі системи без інтегратора. Для системи з двома інтеграторами імпульсна характеристика асимптотично прагне до прямої, з трьома інтеграторами - до параболи і т.і.
|
|
|
Перехідною характеристикою (перехідною функцією) називається реакція системи (при нульових початкових умовах) на одиничний ступінчастий сигнал (одиничний стрибок):
. (3.12)
Приклад перехідної характеристики показано на рис. 3.3.
Імпульсна та перехідна функції пов'язані виразами
, (3.13)
. (3.14)
 |
Рисунок 3.3 – Приклад перехідної характеристики
Для систем без інтеграторів перехідна характеристика прагне до постійного значення. Перехідна характеристика системи з диференціюючою ланкою (чисельник передаточної функції має нуль у точці 
) прагне до нуля. Якщо система містить інтегруючі ланки, перехідна характеристика асимптотично прагне до прямої, параболи і т.д., в залежності від кількості інтеграторів.
За визначенням граничне значення перехідної функції 
при 
є статичним коефіцієнтом посилення:
Ця величина має сенс тільки для стійких систем, оскільки при нестійкості перехідний процес не сходиться до кінцевого значенням.
Якщо передавальна функція правильна, але не строго правильна (матриця 
моделі в просторі станів не дорівнює нулю), стрибкоподібне зміна вхідного сигналу миттєво призводить до стрибкоподібної зміни виходу. Величина цього стрибка дорівнює відношенню коефіцієнтів при старших степенях чисельника і знаменника передавальної функції (або матриці моделі в просторі станів).
По перехідній характеристиці можна знайти найважливіші показники якості системи - перерегулювання (overshoot) і час перехідного процесу (settling time).
Перерегулювання визначається як
(3.15)
де 
- максимальне значення функції 
, а 
- усталене значення виходу (рис.3.4).
 |
Рисунок 3.4 – Визначення параметрів пере регулювання
|
|
|
Час перехідного процесу - це час, після якого сигнал виходу відрізняється від усталеного значення не більше, ніж на задану малу величину (за замовчуванням використовується точність 2%).
3.2 Приклади передаточних функцій деяких важливих типових ланок:
- Пропорційна ланка
y(t) = k x(t) (3.16)
Передатна функція пропорційного ланки дорівнює його коефіцієнту підсилення:
W(s) = k (3.17)
тут k - коефіцієнт підсилення. Він може бути розмірним.
- Інтегратор:
Інтегратор це ланка, вихідний сигнал якого пропорційний інтегралу за часом від вхідного:
. (3.18)
Передатна функція інтегратора дорівнює:
, (3.19)
де T [сек] - стала часу інтегратора, k1 = 1/Т [1/сек] - коефіцієнт посилення інтегратора.
Як видно, ці ланки і пропорційне, і інтегратор повністю визначаються завданням тільки одного параметра.
- Аперіодична (інерційна) ланка:
Аперіодична ланка - це ланка, вихідний сигнал y(t) якої пов'язаний з вхідним х(t) диференціальним рівнянням:
. (3.20)
Передатна функція аперіодичної ланки дорівнює:
, (3.21)
де k - коефіцієнт підсилення (розмірний або безрозмірний) і T - постійна часу, сек.
- Коливальна ланка:
Коливальна ланка - це ланка, вихідний сигнал y(t) якої пов'язаний з вхідним сигналом x(t) диференціальним рівнянням:
. (3.22)
Її передаточна функція має вигляд:
, (3.23)
де - k - коефіцієнт підсилення, T - постійна часу, і декремент загасання 
(безрозмірний, може змінюватися від 0 до нескінченності).
Завдання на роботу
- ознайомитися з теоретичними відомостями;
- ввести модель системи у вигляді передатної функції досліджуваної ланки згідно заданого варіанту;
- побудувати перехідну, амплітудно-фазову частотну і логарифмічні амплітудно-частотну і фазо-частотну характеристики кожної з заданих типових ланок.
Варіанти завдань
| Тип ланки | Постійна часу Т (сек) | Коеф. підсилення k | Декремент δ | |||||||||||||||
| № | №2 | №3 | №4 | № | №6 | № | №2 | №3 | №4 | №5 | № | № | № | №3 | №4 | № | № | |
| Пропорційна | 1.5 | 2.5 | ||||||||||||||||
| Інтегратор | 0.5 | 1.5 | ||||||||||||||||
| Аперіодична | 0.5 | 1.5 | 2.5 | |||||||||||||||
| Коливальна | 0.5 | 1.5 | 1.5 | 2.5 | 0.2 | 0.1 | 0.4 | 0.01 | 0.05 |
|
|
|
Склад звіту
1. Титульний аркуш.
2. Теоретичні відомості.
3. Завдання на роботу згідно варіанту.
4. Опис аналітичних перетворень.
5. Отримані результати (формули, графіки).
6. Текст програм.
7. Висновки.
|
|
|
