 |
Арифметические операции над двоичными числами
|
|
|
|
Система счисления
Цифры — система знаков для записи конкретных значений чисел.
Число — основное понятие математики, используемое для количественной характеристики, сравнения, нумерации объектов и их частей. Письменными знаками для обозначения чисел служат цифры, а также символы математических операций.
Система счисления- символический метод записи чисел, представление чисел с помощью письменных знаков.
Непозиционная система счисления - система счисления, в которой значение чисел, выражаемое совокупностью цифр, определяется только конфигурацией цифровых символов. (XIX).
Позиционная система счисления - система, в которой значение любой цифры определяется не только конфигурацией ее символов, но и местоположением, занимаемым в числе. (0,7; 7; 70) Примеры: десятичная, двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная.
Основание позиционной системы счисления - количество различных знаков и символов, используемых для представления чисел в данной системе.
| Система счисления | Основание q | Алфавит цифр |
| Десятичная | 10 | 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 |
| Двоичная | 2 | 0, 1 |
| Восьмеричная | 8 | 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 |
| Шестнадцатеричная | 16 | 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F |
ПЗ 2 по вариантам.
Двоичная система счисления.
Основание q = 2; старшая цифра разряда 1.
210 = 102
310 = 112
Перевод чисел из десятичной системы счисления в двоичную:
Метод разностей»: не писать
1. Запишем ряд чисел 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, …
2. Найдем число из этого ряда ближайшее к данному, но меньшее его, найдем разность этих чисел.
3. Также поступим и с разностью, и так далее…
4. Запишем исходное число в виде суммы чисел составленного ряда с сомножителями 1 или 0, в зависимости от того участвует ли данное число ряда в разностях или нет.
|
|
|
5. Запишем единицы и нули из полученной суммы в том порядке, как они стоят в сумме – это и будет искомое число.
Пример:
1409=1024+256+128+1=1*1024+0*512+1*256+1*128+0*64+0*32+0*16+0*8 +0*4+0*2+1*1.
140910=101100000012.
Задание: Переведите число в двоичную СС методом разностей: 205210=?2.
2 «Метод остатков»:
1. Разделить целое десятичное число на 2. Остаток записать.
2. Если полученное частное не меньше 2, то продолжать деление.
3. Двоичный код десятичного числа получается при последовательной записи последнего частного и всех остатков, начиная с последнего.
Задание: 1) Опишите схему перевода числа 1409 в двоичную СС: 140910 = 101100000012.
2) Вычислите значение в двоичной СС методом остатков: 20010=?2.
Перевод дробных чисел (10-2)
Последовательно умножают дробную часть на 2. При этом если в результате получилось число, большее 1, пишем к итоговому двоичному числу цифру 1. А если получилось число меньше 1, пишем цифру 0 к итоговому.
Умножение производится до получения “0” дробной части или до заданной точности.
1
2
Перевод чисел из двоичной системы счисления в десятичную.
1. Записать число в развёрнутом виде;
2. Вычислить его значение.
Пример: 101012=1*24+0*23+1*22+0*21+1*20=16+0+4+0+1=2110
101012=2110
Задание: Переведите число в десятичную СС: 111102=?10
ответы- слайд
Перевод дробных чисел (2-10)
Переведём двоичное дробное число 1101,1101 в десятичную дробь.
Таблица разрядов числа 1101,1101
| цифра | 1 | 1 | 0 | 1 | . | 1 | 1 | 0 | 1 |
| разряд | 3 | 2 | 1 | 0 | -1 | -2 | -3 | -4 |
1 * 23 + 1 * 22 + 0 * 21 + 1 * 20 + 1 * 2-1 + 1 * 2-2 + 0 * 2-3 + 1 * 2-4 = 8 + 4 + 0 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0 + 0.0625 = 13.8125
Степени числа 2 равны номеру разряда.
Итак, двоичное число 1101,1101 равно 13,8125 в десятичной системе счисления.
Арифметические операции над двоичными числами
Сложение:
Вычитание:
В ЭВМ вычитание производится как сложение отрицательных чисел. Для отрицательных чисел рассчитываются коды дополнительный и обратный.
|
|
|
1 Для выполнения операции вычитания вычитаемое следует перевести в дополнительный код и просуммировать с первым слагаемым. Полученный результат (разность) будет представлен в дополнительном коде.
2 Затем его следует перевести в прямой код.
Прямой и дополнительный код положительных чисел совпадают.
Вычислите разность 10 - 3 = 7 в двоичной СС:
1010 – 11 = 1010 + (–11) (преобразовали разность в сумму)
1) Прямой код числа 1010 = 00001010 (положительное 8-битное число);
2) Прямой код числа –11 = 10000011 (отрицательное 8-битное число);
3) Обратный код числа 10000011 = 01111100 (инвертировали).
4) Дополнительный код числа 10000011 = 01111101 (добавили 1 в младший разряд);
5) Сумма первого числа и дополнительного кода второго числа:
6) 00001010
+ 01111101
10000111 (1 из знакового разряда отбрасывается)
Самостоятельно: Вычислите разность 20 – 7 = 13 в двоичной СС:
10100 – 111 =
Умножение: (как в 10-й СС)
Решите: 1101*11=; 111*101=.
Деление:
Решите: 1101/11=; 1100/100=.
|
|
|
