Вихревое электрическое поле.

Рассмотрим возникновение индукционного тока в неподвижном контуре который помещен в изменяющееся со временем магнитное поле.

Возникновение тока всегда обусловлено действием сторонних сил на электрические заряды. Опыт показывает что в неподвижном контуре помещенном в изменяющееся со временем магнитное поле эти сторонние силы не являются ни химическими ни механическими ни силой Лоренса. Максвелл предположил что изменяющееся со временем магнитное поле создает вокруг себя изменяющееся со временем электрическое поле и это электрическое поле приводит к движению электронов в проводнике.

Э.Д.С индукции;;значит. это значит что дифференцируем только по времени.;. Электрическое поле может так же создаваться неподвижными электрическими зарядами.. Теорема о циркуляции вектора напряженности в электростатическом поле. Электростатическое поле потенциально. Теорема о циркуляции вектора напряженности создаваемого магнитным полем..

Силовые линии замкнуты. Силовые линии разомкнуты. Поскольку результирующее поле то это уравнение показывает что поле создается подвижными зарядами и изменяющимся со времени магнитным полем.

Дифференциальная формулировка. существование взаимосвязи между электрическим и магнитным полями служи причиной того что рассматривать отдельно их не имеет смысла.

Примеры:1. В одной системе отсчета электрические заряды покоятся и они создают электростатическое поле. В иной системе отсчета эти заряды движутся и здесь они создают электрическое и магнитное поля.

2. В одной системе отсчета в неподвижном проводнике течет ток вокруг него магнитное поле. В другой системе отсчета проводник движется тогда он создает вокруг себя изменяющееся магнитное поле которое создает электрическое поле.

Обобщенная теорема о циркуляции для вектора магнитной напряженности. Ток смещения.

В случае стационарного магнитного поля теорема о циркуляции;..

В случае нестационарного поля это соотношение не выполняется: возьмем дивергенцию от правой и левой частей:;;это уравнение не прерывности, т.е. Чтобы соотношение выполнялось Максвелл ввел в правую часть дополнительное слагаемое. Это слагаемое – плотность тока смещения, тогда;значит;;;.По теореме Гаусса для вектора, продифференцируем по времени.;;.

Теорема о циркуляции для. или. В интегральной форме.

Обобщенная теорема о циркуляции показывает что магнитное поле создается не только стационарными токами но и изменяющимся со временем электрическим полем.

Ток смещения – это вспомогательный ток и с реальным током он имеет только одно свойство: создает магнитное поле вокруг себя. Ток смещения существует и в проводниках с токами, но здесь он меньше чем токи проводимости.

Рассмотрим ток смещения в диэлектрике.;.;таким образом отражает реальное смещение реальных связных зарядов. - не связано со смещением никаких зарядов, оно присутствует даже в вакууме где изменяющиеся со временем электрическое поле создает вокруг себя магнитное поле.

Уравнение Максвелла.

1.. Дифференц ф-ка - физически смысл: электрическое поле создает не только не подвижными зарядами но и изменяющимся со временем магнитным полем:

2.. Дифференц ф-ка физически смысл: магнитное поле создается токами и изменяющимся со временем электрическими полем.

3. Дифференц ф-ка физически смысл: электростатическое поле создается электрическими неподвижными зарядами.

4. Дифференц ф-ка физически смысл: магнитных зарядов в природе нет.

Материальное уравнение – это связь основных и вспомогательных характеристик.. Св-ва уравнения Максвелла.

1) Записано для покоящихся сред.

2) Одинаково записывается во всех системах отсчета, т.е является инвариантной относительно разных систем отсчета.

3) линейны, т.е в них входит 1-я производная от электрических и магнитных полей.

4) не симметричны относительно электрических и магнитных полей. Это обусловлено тем что электрические заряды существуют а магнитные нет.

5) Из ур-нии вытекают все законы электромагнетизма.

Пример: из теоремы о циркуляции для. можно получить уравнение непрерывности отражающее закон сохранения заряда для этого стягиваем контур в точку; значит

6) Из уравнении следует существование электромагнитных волн и их своиств.

20\Свободные незатухающие колебания в колебательном контуре.

Колебательный контур - это электрическая цепь, состоящая из последовательно включенных катушки индуктивностью L, конденсатора емкостью C и резистора сопротивлением R.

Рассмотрим последовательные стадии колебательного процесса в идеальном контуре с пренебрежимо малым сопротивлением (R=0).

Конденсатор предварительно заряжают, на его обкладках заряд. Тогда в начальный момент времени между обкладками возникает электрическое поле, энергия которого. Если конденсатор замкнуть на катушку индуктивности, то он начнет разряжаться, и в контуре потечет возрастающий со временем ток I. Энергия электрического поля конденсатора уменьшается, а энергия магнитного поля катушки возрастает. Возрастающий со временем ток создает в катушке возрастающее магнитное поле, а, следовательно, и возрастающий магнитный поток. Значит, по закону электромагнитной индукции Фарадея, в катушке возникает индукционный ток, который направлен навстречу току разрядки конденсатора и замедляет его возрастание. Поскольку R=0, то по закону сохранения энергии полная энергия системы остается постоянной, т.к. на нагревание энергии не расходуется:

Когда ток катушки имеет максимальное значение, конденсатор полностью разряжен. В этот момент энергия магнитного поля максимальна, а электрического поля минимальна. Далее, достигнув максимального значения, ток в контуре начинает уменьшаться, следовательно, уменьшается магнитное поле катушки. В ней возникает индукционный ток, который течет в том же направлении, что и ток разрядки конденсатора. Конденсатор перезаряжается, заряд на обкладках достигает максимального значения, а ток в катушке равен нулю. Энергия электрического поля достигает максимума, а энергия магнитного поля минимума. Далее процессы начнут протекать в обратном направлении.

Согласно закону Ома, где - э.д.с. самоиндукции катушки, - напряжение на конденсаторе, - по определению.

,. Обозначим. Тогда. Решение этого уравнения, т.о. заряд изменяется по гармоническому закону с циклической частотой и периодом - формула Томсона.

Напряжение на конденсаторе:, где - максимальное значение напряжения на конденсаторе.

Сила тока в колебательном контуре:,

т.е. ток изменяется по гармоническому закону и колебания тока опережают по фазе напряжение на конденсаторе на p/2. Это означает, что когда ток достигает максимального значения, заряд и напряжение на конденсаторе обращается в нуль, и наоборот.

Свободные затухающие колебания в колебательном контуре.

Всякий реальный колебательный контур обладает активным сопротивлением. Энергия, запасенная в контуре, постепенно расходуется на нагревание, из-за чего свободные колебания и затухают.

Закон Ома для колебательного контура с сопротивлением:

, - э.д.с. самоиндукции катушки, - напряжение на конденсаторе, - по определению.,.

Обозначим. Тогда дифференциальное уравнение можно записать в виде.

При условии, что, решением этого уравнения является выражение, т.е. колебания заряда совершаются с частотой.

Напряжение на конденсаторе:.

Сила тока:

Обозначим,..

Поскольку, то. Таким образом, при наличии в контуре активного сопротивления сила тока опережает по фазе напряжение на конденсаторе более чем на p/2.

Логарифмический декремент затухания:.

Вынужденные колебания.

Чтобы в реальной колебательной системе компенсировать потери энергии и получить незатухающие колебания нужно воздействовать на систему внешней вынуждающей силой, изменяющейся со временем по гармоническому закону.

В случае колебательного контура роль вынуждающей силы играет источник тока с э.д.с.. Согласно закона Ома:

 

Решением неоднородного дифференциального уравнения является:

1. Общее решение однородного дифференциального уравнения:

. Через достаточно большое время множитель становится малым и им можно пренебречь. Это решение играет роль только при установлении колебаний.

1. Частное решение неоднородного дифференциального уравнения:

Установившиеся вынужденные колебания определяются выражением.

Сила тока в контуре:. Запишем это выражение в виде:, где - сдвиг фаз между током и приложенным напряжением. Тогда

.

Следовательно, ток отстает по фазе от приложенного напряжения тогда, когда, и опережает напряжение когда.

Напряжение на активном сопротивлении:.

Напряжение на конденсаторе:, где

.

Напряжение на катушке:

, где.

Таким образом, напряжение на емкости отстает по фазе от силы тока на p/2. Напряжение на катушке опережает ток на p/2. Напряжение на сопротивлении совпадает по фазе с током.

Гармонические колебания можно задать с помощью вектора. Возьмем в качестве прямой, от которой отсчитывается начальная фаза, ось токов. Тогда напряжения на сопротивлении, конденсаторе и катушке можно представить на диаграмме. Суммарное напряжение должно быть равно приложенному напряжению, т.к. согласно закону Ома. Поэтому на диаграмме напряжение U изображается, равным сумме векторов.

Из формулы следует, что амплитуда заряда и напряжения на конденсаторе имеет максимум при частоте w _рез. Чтобы найти частоту максимума надо выражение для амплитуды продифференцировать по частоте, тогда получим. При резонансные кривые сходятся в одной точке с.

Амплитуда силы тока имеет резонансное значение при. Поэтому резонансная частота для силы тока совпадает с собственной частотой контура. Резонансные кривые для тока I начинаются из нуля, т.к. при постоянном напряжении установившийся ток в цепи с конденсатором течь не может.

21\Электромагнитные волны.

Из уравнений Максвелла следует, что переменное магнитное поле порождает переменное электрическое поле, а переменное электрическое поле порождает переменное магнитное поле. Т.е. электрическое и магнитное поле неразрывно связаны друг с другом. Они образуют единое электромагнитное поле. Если возбудить с помощью колеблющихся зарядов переменное электромагнитное поле, то в окружающем пространстве возникнет последовательность взаимных превращений электрического и магнитного полей, распространяющихся в пространстве от точки к точке. Этот процесс будет периодическим во времени и в пространстве, и представляет собой электромагнитную волну.

Покажем, что существование электромагнитных волн вытекает из уравнений Максвелла:

,,,,,,

В случае однородной нейтральной (r = 0), непроводящей (j = 0) среды с постоянными e и m уравнения Максвелла можно переписать:

(1), (2), (3), (4)

Возьмем ротор от обеих частей уравнения (1):..(5)

Здесь использовано соотношение и учтено, что. Согласно (3) первое слагаемое выражения (5) равно нулю. Поэтому. Изменение порядка дифференцирования по координате и времени приводит к равенству:. Таким образом,. Используя соотношение (2), получим, или,(6), где

Аналогично можно получить уравнение для вектора Н, взяв ротор от уравнения (2):

. (7)

Уравнения (6) и (7) неразрывно связаны друг с другом, т.к. они получены из уравнений Максвелла, которые содержат и Е, и Н. Уравнения, - представляют собой волновые уравнения для векторов Е и Н, соответственно, причем фазовая скорость волны. В вакууме. В среде. Т.е. с – скорость распространения электромагнитных волн в вакууме – есть предельная скорость распространения электромагнитных волн.

Рассмотрим плоскую электромагнитную волну, распространяющуюся в однородной нейтральной (r = 0), непроводящей (j = 0) среде с постоянными e и m. Направим ось x перпендикулярно волновым поверхностям, т.е. вектора Е и Н и их компоненты по координатным осям не будут зависеть от координат y и z.

Тогда уравнения Максвелла, можно записать в виде: т.к.. т.к.. Таким образом, и не зависят от x. Запишем x -ую составляющую роторов Е и Н:, - не зависит от t., - не зависит от t. Таким образом, и не зависят от x и от t, т.е. поле волны не имеет составляющих вдоль оси x, а, следовательно, векторы Е и Н перпендикулярны к направлению распространения волны. Это означает, что электромагнитные волны поперечны.

Допустим, что первоначально было создано поле, направленное вдоль оси y. Согласно уравнению Максвелла это поле создает переменное магнитное поле, направленное вдоль оси z. Согласно другому уравнению Максвелла это поле создает электрическое поле. Таким образом, вектора Е и Н взаимно перпендикулярны

Продифференцировав первое уравнение по x, и подставив во второе уравнение, получим: и.

Решением этих уравнений являются функции:

, где k - волновое число, j₁ и j₂ – начальные фазы.

Подставим эти выражения в уравнения и. Получим:,

Для того чтобы уравнения удовлетворялись необходимо, чтобы начальные фазы были равны: j₁ = j₂. Перемножим эти два выражения, получим. Таким образом, колебания векторов Е и Н происходят синфазно и амплитуды векторов в каждый момент времени связаны соотношением:.

Свойства электромагнитных волн:

1. Из уравнений Максвелла следует, что векторы напряженности E и H электромагнитного поля удовлетворяют волновому уравнению:

, где D - оператор Лапласа, v - фазовая скорость.

2. Фазовая скорость определяется выражением:, где e_о и m_о - электрическая и магнитная постоянные, e и m - электрическая и магнитная проницаемости среды. В вакууме, и скорость распространения электромагнитных волн совпадает со скоростью с. Т.к., то скорость распространения электромагнитных волн в веществе всегда меньше скорости распространения электромагнитных волн в вакууме.

3.Электромагнитные волны поперечны, т.е. векторы напряженностей электрических и магнитных полей Е и Н в волне взаимно перпендикулярны, и лежат в плоскости, перпендикулярной вектору v скорости распространения волны.

4. Векторы Е и Н всегда колеблются в одинаковых фазах, мгновенные значения Е и Н в любой точке связаны соотношением

5. Волновым уравнениям удовлетворяют плоские монохроматические волны (волны строго определенной частоты):

, где k - волновое число.

Энергия электромагнитных волн. Вектор Умова-Пойнтинга. Импульс электромагнитного поля.

Объемная плотность энергии электромагнитной волны складывается из объемных плотностей w_эл и w_м электрического и магнитного полей:

Плотность энергии электрического и магнитного полей в каждый момент времени одинаковы.

Если умножить плотность энергии на скорость распространения волн в среде, то получим модуль плотности потока энергии S = w v = EH. Т.к. векторы E и H перпендикулярны, то направление вектора совпадает с направлением переноса энергии. Вектор плотности потока электромагнитной энергии называется вектором Умова-Пойнтинга: Он направлен в сторону распространения электромагнитной волны.

Поглощаясь в каком-либо теле, электромагнитная волна сообщает этому телу некоторый импульс, т.е. оказывает на него давление. Опыты Лебедева в 1908 году доказывают, что свет действительно оказывает на тело давление.

Пусть плоская электромагнитная волна падает на плоскую поверхность слабо проводящего тела. Электрическое поле электромагнитной волны возбудит в теле ток плотности. Магнитное поле волны действует на ток с силой Ампера, которая в расчете на единицу объема тела, равна:. Следовательно, поверхностному слою площадью единица и толщиной dl, сообщается импульс:. В этом же слое в единицу времени поглощается энергия. Разделим друг на друга эти выражения:. ()

Следовательно, импульс единицы объема электромагнитного поля:. Вектор Умова-Пойнтинга. Направления векторов p и S совпадают.

⇐ Предыдущая123Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: