Уравнение гармонических колебаний
где x – смещение точки от положения равновесия; A – амплитуда колебаний ( 2. Циклическая частота колебаний
где T – период колебаний; 3. Скорость и ускорение колеблющейся материальной точки
4. Сила, под действием которой материальная точка массой m совершает колебания: или где 5. Полная энергия материальной точки, совершающей гармонические колебания: 6. Период колебаний гармонического осциллятора: 1) физического маятника где I – момент инерции колеблющегося тела относительно оси колебаний; b – расстояние от центра масс тела до оси колебаний; g – ускорение свободного падения; 2) математического маятника
где 3) пружинного маятника (тела, подвешенного на пружине, масса которой мала по сравнению с массой тела) где m – масса тела; k – жесткость пружины; 4) идеального колебательного контура где L – индуктивность контура; С – электроёмкость контура. 7. Координаты центра масс системы материальных точек где 8. При сложении двух одинаково направленных гармонических колебаний одинаковой частоты получается гармоническое колебание того же периода с амплитудой и начальной фазой где 9. При сложении двух взаимно перпендикулярных колебаний одинаковой частоты уравнение траектории результирующего движения в координатах x, y имеет вид
В частных случаях: а) б) в) 10. Дифференциальное уравнение свободных незатухающих гармонических колебаний материальной точки где Решение этого уравнения где 11. Дифференциальное уравнение затухающих колебаний где Решение этого уравнения где 12. Логарифмический декремент затухания где 13. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний
где Решение этого уравнения для области установившихся колебаний где А – амплитуда вынужденных колебаний
14. Резонансная частота и резонансная амплитуда:
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Пример 17. Материальная точка массой Дано: Найти: Решение. Уравнение гармонических колебаний
Сила, действующая на материальную точку, по второму закону Ньютона где Сила будет максимальна при условии, когда Так как Выполним вычисления
Полная энергия колеблющейся точки
Подставим (1) в (2) Выполним вычисления
Ответ:
Пример 18. Складываются два колебания одинакового направления.
где Дано:
Найти: Решение. Уравнение гармонического колебания имеет вид
Запишем уравнения исходных колебаний
Выполним вычисления Для определения
Рис. 52 Амплитуда результирующего колебания является диагональю параллелограмма, построенного на векторах По теореме косинусов Выполним вычисление амплитуды результирующего колебания
Так как то Выполним вычисления начальной фазы результирующего колебания
Так как частоты складываемых колебаний одинаковы, то результирующее колебание будет иметь ту же частоту, и уравнение этого колебания будет иметь вид Ответ:
Пример 19. Найти число N полных колебаний системы, в течение которых энергия системы уменьшилась в 2 раза. Логарифмический декремент затухания Дано: Найти: N. Решение. Полная энергия колебательной системы складывается из потенциальной и кинетической
После подстановки в выражение (1) формул При малом затухании (
Запишем значения энергии для двух моментов времени и найдём отношение энергий
где Так как
Прологарифмируем это выражение
После подстановки выражения (3) в (2), получим
Так как то Тогда Выполним вычисления
Ответ: N = 34.
3.2 ВОЛНЫ. ВОЛНОВАЯ ОПТИКА
Основные законы и формулы 1. Длина волны определяется по формуле l = u T = u/n, где u - скорость волны, м/c; n - частота колебаний точек упругой среды, в которой распространяется волновой процесс, Гц.
2. Уравнение волны в среде без поглощения: - плоской, распространяющейся вдоль положительного направления оси
- сферической:
где 2. Плотность потока энергии – вектор Умова (в зарубежной литературе – вектор Пойтинга):
где 3. Интенсивность волны
энергия, содержащаяся в объеме
Для монохроматической волны среднее по времени значение вектора
Скорость u света в среде где с – скорость света в вакууме; n – абсолютный показатель преломления среды. 2. Оптическая длина пути световой волны где 3. Оптическая разность хода двух световых волн 4. Зависимость разности фаз от оптической разности хода световых волн где 5. Условие максимального усиления света при интерференции 6. Условие максимального ослабления света при интерференции 7. Оптическая разность хода световых волн, возникающих при отражении монохроматического света от тонкой плёнки, находящейся в вакууме или воздухе:
где d – толщина плёнки; n – показатель преломления; В оптическую разность хода добавляют поправку 8. Радиусы светлых колец Ньютона в отражённом свете (или тёмных в проходящем свете)
где k – номер кольца; R – радиус кривизны линзы; n – абсолютный показатель преломления среды в зазоре между линзой и пластинкой. 9. Радиусы тёмных колец Ньютона в отражённом свете (или светлых в проходящем свете) 10. Условие дифракционных максимумов от одной щели где a – ширина щели; 11. Условие дифракционных минимумов от одной щели 12. Условие главных максимумов на дифракционной решётке где d – период дифракционной решётки; 13. Закон Брюстера где 14. Закон Малюса где 15. Угол поворота а) в твёрдых телах где б) в растворах где С – массовая концентрация оптически активного вещества в растворе. 15. Степень поляризации
где Imax, Imin – соответственно, максимальная и минимальная интенсивности частично поляризованного света, прошедшего через систему поляризатора и анализатора.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ Пример 18. Определить длину звуковой волны ноты "Ля", если ей соответствующая частота колебаний равна 440 Гц, а скорость звука в воздухе 340 м/с? Дано: n= 440 Гц, u = 340 м/с. Решение. Записываем формулу, связывающую длину и скорость распространения волны l = u/n, Подставляем данные, вычисляем. l = 340/440 = 0,78 м, Ответ: 0,78 метра.
Пример 19. Волна распространяется со скоростью 10 м/с вдоль оси ОХ. Две точки, находящиеся на этой оси на расстоянии 6 м и 7,5 м от источника, колеблются по закону синуса с одинаковыми амплитудами А = 0,2 м и с разностью фаз ∆j = 0,75π. Найти длину волны λ; найти смещение указан- ных точек в момент времени t = 0,6 с. Дано: u=10 м/с, х 1 = 6 м, х 2 = 7,5 м, А = 0,2 м, ∆j = 0,75π Решение. Точки, находящиеся друг от друга на расстоянии, равном длине волны λ, колеблются с разностью фаз, 2π радиан; точки, находящиеся друг от друга на любом расстоянии ∆ х, колеблются с разностью фаз Выразим и рассчитаем из этого уравнения длину волны λ
Рассчитаем циклическую частоту колебаний ω=2pn = 2pu/l ω=2p10/4= 5p, с-1.
Для расчета смещений указанных точек в момент времени t запишем уравнение плоской волны x = A sin(ω t – kx), где k =2π/λ – волновое число, или x = A sin ω(t – x /u). 3. Найдем смещение x, подставляя в это уравнение значения t и х: x1 = 0,1sin5π(0,6 – 6/10) = 0,1sin3π = 0; x2 = 0,1sin5π(0,6 – 7,5/10) = -0,1 sin 0,75π = 1sin0,25π = -0,071 м. Пример 20. Уравнение плоской синусоидальной волны, распространяющейся вдоль оси ОХ, имеет вид
Определить скорость распространения волны (фазовую скорость). Дано: Найти: u. Решение. Уравнение плоской волны в среде без поглощения имеет вид
Сравнивая его с уравнением волны в условии задачи:
Получаем тогда Ответ: u = 500 м/c.
![]() ![]() ![]()
Рис. 53 Дано: n= 1,6; Найти: R. Решение. Для определения радиуса кривизны линзы R воспользуемся выражением для радиуса тёмных колец Ньютона в отражённом свете Учитывая, что показатель преломления воздуха n = 1, получим Разность радиусов первых двух тёмных колец
Возведём левую и правую часть равенства (1) в квадрат
Выразим из соотношения (2) R Выполним вычисления:
Ответ: R = 2,65 м.
Пример 21. На дифракционную решётку длиной Дано: Найти: N; Решение. На рис. 53 изображён график зависимости интенсивности света на экране от расстояния x (I = f (x)).
Рис.54 Период дифракционной решётки определим по формуле Подставляя числовые данные, получим
Условие главных максимумов для дифракционной решётки
Поскольку наибольший угол отклонения лучей решёткой не может быть более Подставляя данные, получим
Число k должно быть обязательно целым. В то же время оно не может быть равным 10, так как при этом значении Общее число максимумов, даваемых дифракционной решёткой: Максимумы наблюдаются как справа, так и слева от центрального максимума, а единица учитывает центральный нулевой максимум. Вычисляя, получим Угол дифракции, соответствующий последнему максимуму, найдём, записав условие (1) в виде Откуда Выполним вычисления: Ответ: N = 19;
Пример 22. Определить, во сколько раз ослабится интенсивность света, прошедшего через два николя, расположенные так, что угол между их главными плоскостями Дано: Найти: Решение. Согласно условию задачи изобразим рисунок (рис. 54)
Рис. 55 Естественный свет, падая на грань призмы Николя, расщепляется вследствие двойного лучепреломления на два пучка: обыкновенный (о) и необыкновенный (е). Оба пучка одинаковы по интенсивности и полностью поляризованы во взаимно перпендикулярных плоскостях. Плоскость колебаний необыкновенного пучка лежит в плоскости чертежа (). Плоскость колебаний обыкновенного пучка перпендикулярна плоскости чертежа (·). Обыкновенный пучок света (о) вследствие полного отражения от границы АB отбрасывается на зачернённую поверхность призмы и поглощается ею. Необыкновенный пучок (е) проходит через призму, уменьшая свою интенсивность вследствие поглощения. Таким образом, интенсивность света, прошедшего через первую призму:
Плоскополяризованный пучок света c интенсивностью где Учитывая потери интенсивности на поглощение во втором николе, получаем
Заменяя в формуле (2) Тогда Выполним вычисления
Ответ: 3.5 Задачи к контрольной работе № 4
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|