Правило формирования дерева графа.
1) В дерево графа входят ветви, содержащие источники напряжения; управляемые и неуправляемые; ёмкости 2) В дерево графа не входят ветви, содержащие источники тока, управляемые и неуправляемые; индуктивности 3) Сопротивления могут входить, если не образуют замкнутый контур и не входят, если контур замыкают
Ветвь, входящая в дерево графа, получила название ребра. Ветвь не входящая в дерево графа – хорда. 5. Модель Эберса-Молла (полупроводниковый диод, транзистор).
Дифференциальное сопротивление эмиттера составляет единицы – десятки Ом, сопротивление объема базы – сотни Ом, сопротивление коллектора в схеме с ОБ – Мегомы. Емкость коллекторного перехода составляет единицы – десятки пикофарад. В схеме с ОЭ в выходной цепи дифференциальное сопротивление и емкость.
6. Матрица главных сечений: формирование, связь с токами и напряжениями, назначение.
Одна из топологических моделей МГС – матрица главных сечений, она формируется на основе закона Кирхгоффа для токов главных сечений или закона Кирхгоффа для напряжений – хорд. На практике этот метод не применяется. Если дерево графа и его дополнение рассечь замкнутой линией, пересекающей ветвь графа не более одного раза, то эта линия будет называться сечением. Главное сечение – сечение, пересекающее лишь одно ребро, количество пересекаемых хорд может быть любым. Для каждой схемы может быть построено 5 главных сечений по числу рёбер. Составим закон Кирхгоффа для главных сечений. Сумма токов, втекающих в главное сечение равна 0. Перейдём к матричной форме записи, оставив в левой части токи рёбер, а в правой – токи хорд. Если вынести минус перед матрицей, то F – матрица главных сечений.
Можно связать токи рёбер и токи хорд. Аналогично можно получить матрицу главных сечений на основе управлений Киргоффа для напряжений хорд. Если преобразовать систему уравнений так, чтобы слева находились напряжения хорд, а слева напряжения рёбер, то матрица, связывающая эти напряжения, будет транспонированной:
Зная матрицу главных сечений можно связать между собой: 1) токи рёбер и токи хорд 2) напряжение хорд и напряжение рёбер На практике матрицу главных сечений получают исходя из матрицы инциденций: на основе методов линейной алгебры. Матрица инциденций - матрица связи или матрица структуры.
7. Матрица инциденций: назначение, пример формирования. Матрица инциденций содержит информацию о соединениях узлов и ветвей. Элемент матрицы
0, если j-я ветвь не подсоединена к узлу
-1, j-я ветвь входит в i-ый узел
Сформировать матрицу инциденций можно: на основе графа схемы на основе схемы, подготовленной для построения графа (нумерацию узлов, нумерацию ветвей, направление ветвей). Размерность матрицы инциденций определяется количеством узлов и ветвей в схеме:
Матрица инциденций, содержащая все строки, называется полной матрицей инциденций. Матрица без одной строки – редуцированной матрицей или структурной матрицей. Структурная матрица связывает все токи ветвей.
Если от последнего соответствия перейти к соотношению вида Вывод: топологические модели(все их 4 формы) связаны между собой и предназначены для формирования на их основе топологических уравнений.
Три вида топологических уравнений: 1) для уравнений токов, рёбер и хорд 2) для уравнений напряжений 3) матрицы
Формирование математической модели происходит на основе топологических и компонентных уравнений. Компонентные уравнения – уравнения, устанавливающие связи между токами и напряжениями на отдельных компонентах. Рассмотренное формирование математической модели соответствует моделям цепей в пространстве состояний. Применение иных моделей цепей матричная форма для линейных цепей в частотной области или описание нелинейных цепей на основе функциональных рядов предполагает иные алгоритмы формирования математической модели. Если необходимо промоделировать нелинейную цепь, то для описания нелинейных элементов(диодов, транзисторов) используется эквивалентные схемы, содержащие R,L,C – элементы, источники тока, напряжения, в том числе нелинейные и управляемые.
8. Метод переменных состояний: структура схемы, вид уравнений для линейной цепи без особенностей. Дана схема, содержащая R, L, C – элементы, источники напряжения и тока. 1) Схема не содержит управляемых источников. 2) Не является схемой с особенностями, контуров из ёмкостных элементов и сечений из индуктивных элементов и источников тока. Преобразуем схему, вынеся за пределы: 1) Независимые источники. 2) Реактивные элементы. 3) Выходные клеммы. X(t)
UC IL
UC1(t) UC1(t)
I i1(t) Uвых(t)
Xни(t) Uвых(t)
U U1(t) iвых(t)
Внутри R-цепи получится резистивный пассивный многополюсник. Для него справедлив принцип суперпозиций и можно установить соотношение между токами резистивных элементов, векторов независимых источников и вектором состояний.
Iрез(t) – вектор токов резистивных элементов.
B1,B2 – матричные коэффициенты, значения которых определяются. 1) Топологией резистивной цепи. 2) Полиномами или значениями сопротивлений. Размерность B1 определяется: 1) Число строк = числу резистивных элементов. 2) Число столбцов = количеству реактивных элементов. Размерность B2 определяется: 1) Число строк = числу резистивных элементов. 2) Число столбцов = числу источников. Соотношение между токами и напряжениями на реактивных элементах и напряжениями (токами в узлах многополюсника)описываются с помощью уравнений состояния:
Где X(t) – напряжение на ёмкостях и токи в индуктивностях
Из полученных уравнений для емкостей и индуктивностей следует, что матричные коэффициенты 1) Структурой схемы. 2) Полиномами R, L, C – элементов, их размерность определяется
Связь между векторами выходных параметров и напряжениями и токами в резистивном многополюснике отображается уравнением выхода
Здесь 1) Топологией схемы. 2) Значениями сопротивлений.
Замечание: элементы матричных коэффициентов
При решении задач анализа известны: 1) Значения матричных коэффициентов 2) Вектор независимых источников Xнч(t). 3) Начальные условия: Определить: 1) 2) Iрез – вектор токов резистивных элементов. 3) Iвых(t).
Последовательность решения систем уравнения определяется соотношением числа уравнений и количество неизвестных.
1 система уравнений число уравнений = числу резистивных элементов. Количество неизвестных = числу резистивных элементов в + число реактивных элементов. Число неизвестных > количество уравнений => систему однозначно решить нельзя.
Уравнение системы: число уравнений = количеству выходных напряжений и токов. Количество уравнений – размерность выходного вектора Xвых+X – размерность. 3-е уравнение однозначно решить не можем. 2-е уравнение (2 система уравнений).
Количество уравнений = количеству неизвестных и определяется числом реактивных элементов. Данное уравнение решается численными методами на основе рекуррентных соотношений 9. Метод переменных состояний: структура схемы, вид уравнений для цепи с нелинейными реактивными элементами.
Преобразуется исходную схему, содержащую R, C, L, C(), L(), U(t), i(t) к виду, аналогичному преобразованной цепи с линейными элементами. X(t)
UC(t) UC(t) UC(t) UC(t)
Формально математическая эквивалентная схема описывается системой уравнений вида: 1, 2, 3. При этом размерность вектора X(t) определяется числом реактивных элементов линейных + нелинейных. Отличие модели в матричные коэффициенты
Мгновенные значения напряжения на нелинейной области и тока через нелинейную индуктивность. Пр. C- барьерная ёмкость.
Ai – функция от CL – функция от времени.
В каждый момент времени Зависимость матричных коэффициентов Известно: 1) X незав. источника в (t). 2) 3) Найти: 1) 2) Один из алгоритмов решения: Допуская, что изменение матричных коэффициентов на шаге интегрирования ДУ. Обозначим через
В связи с этим при расчете по регулярным соотношениям берём значение Ai предыдущего шага. После расчёта
10. Метод переменных состояний: структура схемы, вид уравнений для цепи с нелинейными резистивными элементами Любую схему, содержащую R, L, C нелинейные элементы можно свести к схеме с нелинейными без инерционными элементами. Дана схема содержащая R, L, C – элементы. R, R(), L, C, U(), i(). Преобразуем данную схему, оставив линейный многополюстник.
UC(t) …… iL(t)
В эквивалентной схеме изменилась размерность резистивного многополюстника, добавились выходы, к которым подключены нелинейные элементы. Напряжения и токи на входе нелинейных элементов обозначим через:
Тогда структура математической модели имеет вид:
При решении задачи анализа в системе уравнений Введём уравнение нелинейных резистивных:
1) топологией схемы и значениями линейных резистивных сопротивлений Совместное решение системы Система уравнений 1-3 предполагают запись в явном виде относительных по произведённых по направлению или току на реактивных элементов. Это является признаком модели в пространстве состояний. Если производственная в явном виде не выражена, а входит в качестве аргумента в состав некоторых функций, то модель содержит производственные, но не является модельно в пространстве состояний. Решение ДУ осуществляемые численными методами ориентировано на явное выражение производных(на модели в пространстве состояний).
11. Метод переменных состояний: решение систем дифференциальных уравнений (явные и неявные методы, порядок метода, устойчивость, оценка погрешности решения). Для производных схем, содержащих как линейные, так и нелинейные реактивные и резистивные элементы, аналитических методов решения ДУ не существует. Дано: ДУ Решаем численным методом, разбивая временной интервал на подинтервалы1 Существует 2 подхода для определения шага дискретизации. 1) Процессы во время интервала 2) Используется для моделирования процессов, которые можно разбить на области быстрых изменений и области медленных измерений.
Решение ДУ осуществляется на основе численного интегрирования уравнения вида:
Существует большое количество, численных методов, позволяющих определить
1 метод Явный метод Эйлера(метод прямоугольника): 2 метод (метод трапеций) 3 метод (неявный метод Эйлера) Отличие явного метода численного интегрирования от неявного метода заключается в том, что при явном методе неизвестная величина явно вынесена в левую часть. Обобщение двух точечных методов будет соотношение: Из которого рассмотрение 3 метода получается при Переход от одношагового метода к многошаговым повышает точность решения уравнений. Для m шагового алгоритма можем записать:
Погрешность решения ДУ при равномерном шаге зависит от следующих факторов: 1) от величины шага: 2) от порядка метода: чем выше порядок метода, тем меньше погрешность, Неявные методы в отличие от явных обладает устойчивостью алгоритма: при увеличении шага погрешность растёт, но потери устойчивости не происходит. В этом преимущество явных методов, а недостаток, более сложная процедура расчета Физически 12. Формирование линейной модели цепи в частотной области по исходной модели в пространстве состояний. Исходная модель в пространстве состояний описывается системой уравнений вида:
Элементы матриц – действительные числа, их величина определяется структурой схемы.
Источники тока и напряжения – входные сигналы. Размерность вектора определяется количеством входных источников. Данная модель схемы содержит нелинейные элементы, то происходит линеализация их характеристик. Перейдём из временной области в частотную для уравнения состояний и уравнения выхода: Уравнение выхода, где
Получим:
При решении задачи анализа известно: 1) изображение входного сигнала 2) параметры схемы Неизвестно: 1) 2) вектор изображений
Выразим из первого уравнения
Нужно ввести единичную матрицу:
Передаточная функция по определению: На основе передаточной характеристики могут быть построены АЧХ и ФЧХ как в линейном, так и в логарифмическом масштабе. В Micro CAP5 переход от линейного к логарифмическому масштабу осуществляется выбором масштаба для x и y. Если пределы изменения частоты не включают ноль, то можно перейти к логарифмическому масштабу. Изменение масштаба по вертикали от линейного к логарифмическому может происходить как с помощью пиктограммы, так и за счёт выбора отображения характеристики в учебнике Богдановича. Аналогично коэффиценту передачи получается и рассчитывается все характеристики, в частотной области(токи, сопротивления, мощности).
Анализ в частотной области возможен в диапазоне температур, при этом для неполупроводниковых элементов необходимо давать температурный коэффицент с соответствующим значением в PSpace и в параметрах анализа задаются минимальная температура, максимальная температура и шаг.
Вторая разновидность – статический анализ, при котором задаётся для элементов с разбросом допуск.
Режим Степпинга – режим подбора параметров. Выбираем элемент, у которого изменяем параметры. Режим многовариантного анализа(семейство характеристик).
13. Модель цепи при анализе на постоянном токе. Формирование на основе модели в пространстве состояний. Анализ на постоянном токе предполагает неизменность входного сигнала во времени. Если на вход подаётся постоянное значение, то и на выходе постоянное значение. Если провести многократный анализ, то геометрически результат анализа – совокупность точек, которые можно соединить линией, зависимостью: Любые зависимости на постоянном токе – многовариантный анализ. Формирование математической модели схемы на постоянном токе может происходить одним из 2-х способов:
1 вариант: удаляем из схемы все реактивные элементы, заменяя индуктивность на короткое замыкание. Вместо L – короткое замыкание, вместо C – холостой ход.
В итоге схема будет содержать источники управления и неуправляемые источники тока.
Сопротивления линейные и нелинейные.
Математически схема будет описываться системой алгебраических (линейных или нелинейных) уравнений. Нелинейность, если присутствуют нелинейные без инерционные элементы. Иногда говорят про системы трансцендентных уравнений. Эквивалентные алгебраические уравнения используются вместо трансцендентных.
2 вариант: берётся исходное уравнение в пространстве состояний
При этом в статическом режиме все характеристики теряют временную зависимость.
Система ДУ в полных производных вырождается в систему алгебраических уравнений, т.е получаем: II способом приходим к системе алгебраических уравнений: I способом приходим к системе алгебраических уравнений.
14. Решение нелинейных уравнений: классификация методов, параметры итерационных методов. Существует 3 различных класса методов решения нелинейных алгебраических уравнений.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|