Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Класс: Аналитические методы(корни квадратного уравнения).

Известны соотношения для квадратного и кубического уравнения. Математически доказано, что для алгебраического уравнения общего вида с показателем степени 5 и выше, аналитических решений не существует. Поэтому эти методы(аналитические методы) в САПР не используется.

Класс: Графические методы.

Предполагают разбиение уравнения на отдельные функции, построение каждой из этих функций и нахождение точек пересечения графиков. Данный метод мог бы быть эффективным для отделения корней.

Класс: Численные методы.

Существуют десятки методов решения уравнений относящихся и этому классу (детектор, модулятор, сложитель).

Основные характеристики численных методов.

1) Условные сходимости (необходимое и устойчивое условие достижения с заданной степенью точности корня управления на основе итерационного метода).

2) Начальные приближения: обязательна лишь для некоторых методов.

3) Трудоёмкость расчёта одной итерации. Оцениваем количество операций на одну итерацию.

4) Скорость сходимости: характеризуется на сколько уменьшается отношение текущего значения от корня. Скорость сходимости можно косвенно оценить по числу итераций, необходимых для нахождения корня с заданной степенью точности.

В основе, решения численных методов лежит метод итераций. Итерационный метод предполагает последовательное(циклическое) решение уравнений вида:

, где i = 0, 1,2 …

Итерационный процесс может быть закончен, если отклонения по аргументу на ближайших итерациях меньше заданной степени точности.

В данном случае обычно накладывается ограничения на функции f(x) или её производную f ‘(x), достаточным условием сходимости является требование |f ‘(x)|<0 в пределах области определения аргумента .

Существует апостериорная оценка окончания итераций. Смысл данной оценки.

f(x)

Существует целый ряд методов, базирующихся на итерационных способах получения решения.

Группы методов:

I. Методы деления по полам: метод простой итерации обладает мягкими условиями сходимости, но не высокая скорость сходимости(большое количество итераций-шагов)

Первая группа используется в 2-х случаях:

1) На начальном этапе поиска корней.

2) Методы II группы начинаются расходиться.

II. Методы с жесткими условиями сходимости, относительно высокая скорость сходимости.

· Метод Ньютона

· Квазиньютоновские методы

· Метод Ньютона – Раввина

· Метод Бройдена

15. Решение нелинейных уравнений: метод половинного деления. Пример.

Условие сходимости:

a) Корень уравнения отделён (есть корень и является единственным).

b) Функция определена на интервале изменения и непрерывна.

Геометрическая интерпретация метода.

0 X

Алгоритм решения:

1) Проверяем: -условие не выполняется. Если выполняется – корень любой из интервала.

2) Находится среднее значение: и определяем знаки функций в точках .

, то , условия не выполняются.

Можно априорно оценить количество итераций , где n-количество итераций - точность

При программировании алгоритма необходимо предусмотреть возможность попадания в .

, то .

, то -корень.

16. Решение нелинейных уравнений: метод хорд. Пример

Один из наиболее применяемых методов.

17. Решение нелинейных уравнений: метод касательных. Пример

Условия сходимости метода:

1) Функция f(x)-ограничена непрерывна на интервале [a;b].

2) Корень уравнения отделён(единственный корень) =>

3) Существуют производная на интервале [a;b] и её знак постоянен sing на [a;b].

4) -существует, на [a;b] знак 2ой производной постоянен.

3 и 4 условия дополнительные требования.

Геометрическая интерпретация метода.

y a) Выбираем начальное приближение.

б) Проводим касательную функцию в точке к функции f(x) до пересечения с осью OX.

f(x) в) Восстанавливаем перпендикуляр из точки перпендикуляр с осью OX до , получим новую точу и т.д.

0 a b x

Замечание:

Условие сходимости предъявлены к интервалу [a;b], поэтому необходимо оставаться в пределах данного интервала.

Можно так выбрать начальные приближения, что произойдёт выход из интервала [a;b].

Если мы зайдём за пределы интервала, то если выбираем в качестве приближения начальную точку a, то может произойти выход за пределы интервала.

Чтобы остаться в пределах интервалах предъявляются требования к начальным приближениям:

1) Выбирается точка на концах интервала: либо a, либо b.

2) Посмотреть знак

в итоге <0

в итоге >0

y Из прямоугольного треугольника, образованного 1ой касательной

0 a b x

- итерационное соотношение.

Итерационное соотношение требует расчёта производной. Обычно производную определяют численные методы. Аналитически можно уменьшить затраты на одну итерацию, если воспользоваться квазиньютоновским методом, предполагающим вычисление производной и использование. Это значение производной используем несколько раз.

Геометрическая интерпретация квази-ньютоновского метода.

y Использовать более 3х раз одну касательную не целесообразно т.к. начинается существенно увеличиваться количество итераций.

0 a b x

Параллельные линии.

Завершение итерационного процесса: наиболее эффективной метод по изменению знака функции при добавлении к аргументу , где заданная степень точности.

Метод Ньютона один их основных методов решения линейных уравнений.

Преимущества:

1) Высокая скорость сходимости (не вязно уменьшается пропорционально квадрату).

2) Малое число итераций.

Недостатки:

1) Высокая трудоёмкость расчёта одной итерации.

2) Жёсткие условия сходимости.

18. Решение нелинейных уравнений: метод простых итераций. Пример

Есть функция f(x), необходимо найти точку пересечения f(x) с осью OX или найти корни уравнения . При k-ая уравнение превращается в тождество с заданной точностью .

От исходного уравнения f(x)=0 перейдем на основе эквивалентных преобразований заданного уравнения к уравнению вида: . Если построить итерационную процедуру , то возможны варианты:

a) Итерационный процесс будет расходиться.

b) Итерационный процесс сходится.

c) Процесс есть расходящийся и сходящийся, или стационарный.

Условие сходимости процесса функция -определяется на интервале [a;b] и непрерывна.

Существуют произведения на этом интервале и её значения .

Существует целый ряд методов(алгоритмов) формирования функции . Один из простейших, когда строится соотношение , тогда II условия сходимости может быть представлено в следующем виде .

Из соотношения следует однозначные требования к коэффициенту k. Знаем область определения [a;b] знаем функцию, известна её производная.

Геометрическая интерпретация метода.

y = x

коридор

0 a b X

Угловая спираль Архимеда

получим квадрат

Линейная скорость сходимость(привязка уменьшается по линейному закону) не требуется расчёта производных.

19. Статистический анализ: метод малых отклонений. Назначение.

Является математическим обоснованием для группы статических методов,

К этим методам относится:

1) метод моментов

2) метод расчёта на наихудший случай в методе на основе метода малых отклонений(см. Калабеков).

Замечание.

Не путать с расчётом на наихудший случай в методе Монте-Карло. В основу метода малых отклонений положено соотношение: Y=FX

Y – вектор выходных функций: Вектор

n – количество выходных характеристик

F – оператор, в общем случае нелинейностей

m – количество внутренних параметров

: n – может быть меньше, больше или равно m ( и ).

В частном случае исходное соотношение может быть представлено в виде:

Разложим выходную характеристику в ряд Тейлора относительно номинальных значений параметров.

Получим:

В соотношении не учтены все производные, начиная со 2 порядка и выше.

Если схему отнести к классу 1)б), то

Для 1)б)

Данное соотношение устанавливает линейную функциональную зависимость между отклонениями внутренних параметров и отклонением выходными характеристиками.

Частный случай, когда отклонение одной характеристики вызывает отклонение одного параметра.

, где

Данное соотношение остаётся справедливым при любых отклонениях внутреннего параметра меньших по величине, чем величина, полученная при разложении в ряд Тейлора