Интервальная оценка(доверительный интервал) для математического ожидания нормально распределенной случайной величины при неизвестном среднем квадратическом отклонении.

Пусть признак Х генеральной совокупности (случайная величина Х) имеет нормальное распределение, причем среднее квадратическое отклонение этого распределения неизвестно. Требуется оценить неизвестное математическое ожидание этого распределения. В данном случае при построении интервальной оценки для генеральной средней нельзя использовать закон распределения выборочной средней , потому что он зависит от параметра , который предполагается неизвестным. Поэтому вместо закона распределения выборочной средней рассмотрим распределение следующей случайной величины:

, где S - исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение; n - объем выборки.

Лемма. Пусть признак Х генеральной совокупностиимеет нормальное распределение с параметрами и , и - оценки этих параметров, найденные по выборке объема n. Тогда случайная величина имеет распределение Стьюдента с степенями свободы. Доказательство. Очевидно, что распределение случайной величины Т можно представить в виде

. Рассмотрим случайную величину . Эта величина имеет нормальное распределение в силу свойства устойчивости нормального закона (см. п. 5.5.4). Найдем числовые характеристики случайной величины Z:

Так как ранее было показано, что , то .

.

Так как и , то . Следовательно, случайная величина Z имеет нормированный нормальный закон распределения.

Рассмотрим теперь случайную величину . Так как , то распределение величины U можно представить в виде

. Полученное выражение для U содержит сумму квадратов n случайных величин (i =1,2,…,n). Каждая случайная величина имеет нормальное распределение в силу свойства устойчивости нормального закона. Найдем числовые характеристики :

и

х0-х1	х1-х2	х2-х3	...	хi-1-хi	...	хs-1-хs
			...		...		,

. Очевидно, что даже для выборок небольшого объема. Поэтому распределение можно считать близким к нормированному нормальному распределению. Тогда случайная величина представляет собой сумму квадратов n случайных величин Z_i, каждая из которых имеет нормальное распределение, близкое к нормированному. Следовательно, можно считать, что величина (n-1)U имеет распределение Пирсона ( - распределение) с k степенями свободы. Число степеней свободы k определяется как разность между числом суммируемых случайных величин и числом линейных связей, ограничивающих свободу изменения этих величин. В данном случае имеется только одна линейная связь: . Поэтому и . Тогда распределение случайной величины Т может быть представлено в виде . Следовательно (см. п. 5.6), можно считать, что случайная величина T имеет распределение Стьюдента с степенями свободы, что и требовалось доказать. Зададим доверительную вероятность ᴕ. Потребуем, чтобы значение случайной величины T с вероятностью ᴕ было бы меньше поабсолютной величине некоторого значения tᴕ, то есть . Геометрическая интерпретация этого равенства приведена на рис. 33.

Следует отметить, что величина tᴕ может быть найдена только численно. Результаты численных расчетов в зависимости от доверительной вероятности ᴕ и объема выборки n представлены в прил. 8.Поскольку , то рассматриваемое равенство можно переписать в виде

. После преобразований получим

или

Отсюда следует, что с вероятностью (надежностью) ᴕ можно утверждать, что интервал является доверительным для оценки математического ожидания . Величина характеризует здесь точность оценки. Значит, интервальную оценку параметра с заданной надежностью ᴕ для случая, когда параметр неизвестен, можно записать следующим образом:

где Замечание. При неограниченном возрастании n распределение Стьюдента стремится к нормальному. Уже при n >30 распределение Стьюдента можно заменить нормальным. В практических расчетах при n >30 вместо значения tᴕ можно использовать аргумент функции Лапласа t, удовлетворяющий условию Ф(t)= ᴕ/2, а неизвестное значение заменять его оценкой, то есть S. Однако для малых выборок (n <30) при неизвестном замена распределения Стьюдента нормальным приводит к грубым ошибкам, а точнее, к неоправданному сужению доверительного интервала, поэтому при малом n и неизвестном при оценке математического ожидания нормального распределения случайной величины следует пользоваться распределением Стьюдента.