 |
Основные понятия теории погрешностей
|
|
|
|
Министерство образования и науки РФ
Министерство образования и науки РТ
ГБОУ ВПО «Альметьевский государственный нефтяной институт»
Кафедра
«Автоматизации и информационных технологий»
КУРСОВАЯ РАБОТА
по дисциплине:
«Метрология, стандартизация и сертификация»
на тему:
«Вероятностное описание результатов измерений
И случайных погрешностей»
Студента: Хановой Лилии И.
Группы 30-61
Научный руководитель:
Анохина Е.С.
Альметьевск-2011
СОДЕРЖАНИЕ
I. Введение…………………………………………………….………..…....4
II. Теоретическая часть
1) Основные понятия теории погрешностей......………………...….......6
2) Случайные погрешности …………………………............................10
3) Математические модели и характеристики погрешностей………..12
4) Вероятностное описание результатов и случайных погрешностей……………………………………………………........17
III. Расчетная часть……………………………………….……………….....25
IV. Выводы……………………………………………….………………......29
V. Список литературы………...………........………………………….........31
ВВЕДЕНИЕ
В практической жизни человек всюду имеет дело с измерениями. На каждом шагу встречаются измерения таких величин, как длина, объем, вес, время и др.
Измерения являются одним из важнейших путей познания природы человеком. Они дают количественную характеристику окружающего мира, раскрывая человеку действующие в природе закономерности. Все отрасли техники не могли бы существовать без развернутой системы измерений, определяющих как все технологические процессы, контроль и управление ими, так и свойства и качество выпускаемой продукций.
Отраслью науки, изучающей измерения, является метрология. Слово "метрология" образовано из двух греческих слов: метрон - мера и логос - учение. Дословный перевод слова "метрология" - учение о мерах. Долгое время метрология оставалась в основном описательной наукой о различных мерах и соотношениях между ними. С конца 19-го века благодаря прогрессу физических наук метрология получила существенное развитие. Большую роль в становлении современной метрологии как одной из наук физического цикла сыграл Д.И. Менделеев, руководивший отечественной метрологией в период 1892 - 1907 гг.
|
|
|
Исторически первой системой единиц физических величин была принятая в 1791 г. Национальным собранием Франции метрическая система мер. Она не являлась еще системой единиц в современном понимании, а включала в себя единицы длин, площадей, объемов, вместимостей и веса, в основу которых были положены две единицы: метр и килограмм.
В 1832 г. немецкий математик К. Гаусс предложил методику построения системы единиц как совокупности основных и производных. Он построил систему единиц, в которой за основу были приняты три произвольные, независимые друг от друга единицы - длины, массы и времени. Все остальные единицы можно было определить с помощью этих трех. Такую систему единиц, связанных определенным образом с тремя основными, Гаусс назвал абсолютной системой. За основные единицы он принял миллиметр, миллиграмм и секунду.
В дальнейшем с развитием науки и техники появился ряд систем единиц физических величин, построенных по принципу, предложенному Гауссом, базирующихся на метрической системе мер, но отличающихся друг от друга основными единицами.
Погрешность измерения — оценка отклонения величины измеренного значения величины от её истинного значения. Погрешность измерения является характеристикой (мерой) точности измерения. Погрешность результата измерения — это число, указывающее возможные границы неопределенности полученного значения измеряемой величины. Поскольку выяснить с абсолютной точностью истинное значение любой величины невозможно, то невозможно и указать величину отклонения измеренного значения от истинного (это отклонение принято называть ошибкой измерения). В 2004 году на международном уровне был принят новый документ, диктующий условия проведения измерений и установивший новые правила сличения государственных эталонов. Понятие «погрешность» стало устаревать, вместо него было введено понятие «неопределенность измерений», однако ГОСТ 50.2.038-2004 допускает использовать термин погрешность для документов, использующихся в России.
|
|
|
В зависимости от характера проявления, причин возникновения и возможностей устранения различают систематическую и случайную составляющие погрешности измерений, а также грубые погрешности (промахи). В данной курсовой работе нас будут интересовать случайные погрешности.
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ПОГРЕШНОСТЕЙ
Истинное значение физической величины —это значение, идеальным образом отражающее свойство данного объекта, как в количественном, так и в качественном отношении. На практике это абстрактное понятие приходится заменять понятием "действительное значение". Действительное значение физической величины —значение, найденное экспериментально и настолько приближающееся к истинному, что для данной цели оно может быть использовано вместо него. Результат измерения представляет собой приближенную оценку истинного значения величины, найденную путем измерения.
Погрешность результата измерения — это разница между результатом измерения X и истинным (или действительным) значением Q измеряемой величины:. Она указывает границы неопределенности значения измеряемой величины. Погрешность средства измерения — разность между показанием СИ и истинным (действительным) значением измеряемой физической величины. Она характеризует точность результатов измерений, проводимых данным средством. Эти два понятия во многом близки друг к другу и классифицируются по одинаковым признакам.
По характеру проявления погрешности делятся на случайные, систематические, прогрессирующие и грубые. Случайные погрешности неизбежны, неустранимы и всегда присутствуют в результате измерения. В отличие от систематических случайные погрешности нельзя исключить из результатов измерений путем введения поправки, однако их можно существенно уменьшить путем увеличения числа наблюдений. Поэтому для получения результата, минимально отличающегося от истинного значения измеряемой величины, проводят многократные измерения требуемой величины с последующей математической обработкой экспериментальных данных.
|
|
|
Погрешность измерения есть случайная функция времени. При проведении многократных измерений получается одна реализация такой функции. Повтор серии измерений даст нам другую реализацию этой функции, отличающуюся от первой, и т. д.
Систематическая погрешность- составляющая погрешности измерения, остающаяся постоянной или закономерно меняющаяся при повторных измерениях одной и той же физической величины. Постоянная и переменная систематические погрешности показаны на рис.2. Их отличительный признак заключается в том, что они могут быть предсказаны, обнаружены и благодаря этому почти полностью устранены введением соответствующей поправки.
Рис.2. Постоянная и переменная систематические погрешности
Прогрессирующая погрешность —это непредсказуемая погрешность, медленно меняющаяся во времени. Впервые это понятие было введено в монографии М.Ф. Маликова "Основы метрологии", изданной в 1949 г. Отличительные особенности прогрессирующих погрешностей:
• они могут быть скорректированы поправками только в данный момент времени, а далее вновь непредсказуемо изменяются;
• изменения прогрессирующих погрешностей во времени— нестационарный случайный процесс, и поэтому в рамках хорошо разработанной теории случайных стационарных процессов они могут быть описаны лишь с известными оговорками.
Понятие прогрессирующей погрешности широко используется при исследовании динамики погрешностей СИ и метрологической надежности последних.
|
|
|
Грубая погрешность —это случайная погрешность результата отдельного наблюдения, входящего в ряд измерений, которая для данных условий резко отличается от остальных результатов этого ряда. Они, как правило, возникают из-за ошибок или неправильных действий оператора (его психофизиологического состояния, неверного отсчета, ошибок в записях или вычислениях, неправильного включения приборов или сбоев в их работе и др.). Возможной причиной возникновения промахов также могут быть резкие кратковременные изменения условий проведения измерений.
По способу выражения различают абсолютную, относительную и приведенную погрешности.
Абсолютная погрешность
(4)
Относительная погрешность —это отношение абсолютной погрешности измерения к истинному значению измеряемой величины:
(5)
Приведенная погрешность —это относительная погрешность, в которой абсолютная погрешность СИ отнесена к условно принятому значению Q 
постоянному во всем диапазоне измерений или его части:
(6)
Чаще всего за Q принимают верхний предел измерений данного СИ.
В зависимости от места возникновения различают инструментальные, методические и субъективные погрешности.
Инструментальная погрешность обусловлена погрешностью применяемого СИ.
Методическая погрешность измерения обусловлена:
• отличием принятой модели объекта измерения от модели, адекватно описывающей его свойство, которое определяется путем измерения;
• влиянием способов применения СИ. Это имеет место, например, при измерении напряжения вольтметром с конечным значением внутреннего сопротивления;
• влиянием алгоритмов (формул), по которым производятся вычисления результатов измерений;
• влиянием других факторов, не связанных со свойствами используемых средств измерения.
Отличительной особенностью методических погрешностей является то, что они не могут быть указаны в нормативно-технической документации на используемое СИ.
Субъективная погрешность измерения обусловлена погрешностью отсчета оператором показаний по шкалам СИ, диаграммам регистрирующих приборов.
По зависимости абсолютной погрешности от значений измеряемой величины различают аддитивные (не зависящие от измеряемой величины), мультипликативные (прямо пропорциональны измеряемой величине), нелинейные (имеющие нелинейную зависимость от измеряемой величины) погрешности.
Рис.3. Аддитивная (а), мультипликативная (б) и нелинейная (в) погрешности
Эти погрешности применяют в основном для описания метрологических характеристик. Примеры аддитивных погрешностей — от постоянного груза на чашке весов, от неточной установки на нуль стрелки прибора перед измерением, от термо-ЭДС в цепях постоянного тока. Причинами возникновения мультипликативных погрешностей могут быть: изменение коэффициента усиления усилителя, изменение жесткости мембраны датчика манометра или пружины прибора, изменение опорного напряжения в цифровом вольтметре.
|
|
|
По влиянию внешних условий различают основную и дополнительную погрешности СИ. Основной называется погрешность СИ, определяемая в нормальных условиях его применения. Для каждого СИ в нормативно-технических документах оговариваются условия эксплуатации — совокупность влияющих величин (температура окружающей среды, влажность, давление, напряжение и частота питающей сети и др.), при которых нормируется его погрешность. Дополнительной называется погрешность СИ, возникающая вследствие отклонения какой-либо из влияющих величин.
В зависимости от влияния характера изменения измеряемых величин погрешности СИ делят на статические и динамические. Статическая погрешность—это погрешность СИ применяемого для измерения физической величины, принимаемой за неизменную. Динамическая - это погрешность СИ, возникающая дополнительно при измерении переменной физической величины и обусловленная несоответствием его реакции на скорость (частоту) изменения измеряемого сигнала.
Случайные погрешности
Случайные погрешности - это погрешности, принимающие при повторных измерениях различные, независимые по знаку и величине значения, не подчиняющиеся какой-либо закономерности.
Рис.1. Изменение случайной погрешности от измерения к измерению
Случайные погрешности, получаемые при одинаковых или почти одинаковых условиях, обусловливаются механическими сотрясениями, случайными колебаниями температуры, вибрациями, помехами и т. д.
Из курса метрологии мы знаем, что случайные погрешности относятся к случайным величинам (событиям, явлениям). В отличие от систематических случайные погрешности нельзя исключить из результатов измерений. Однако их влияние может быть уменьшено путем применения специальных способов обработки результатов измерений, основанных на положениях теории вероятности и математической статистики.
Причин, вызывающих случайные погрешности, может быть много. К примеру, колебание припуска на обработку, механические свойства материалов, посторонние включения, точность установки деталей на станок, точность средства измерения в заготовке, изменение измерительного усилия крепления детали на станке, силы резания и др.
Как правило, индивидуальное влияние каждой из этих причин на результаты измерения невелико и не поддается оценке, тем более что, как всякое случайное событие, оно в каждом конкретном случае может произойти или нет.
Для случайных погрешностей характерен ряд условий:
- малые по величине случайные погрешности встречаются чаше, чем большие;
- отрицательные и положительные относительно средней величины измерений, равные по величине погрешности, встречаются одинаково часто;
- для каждого метода измерений есть свой предел, за которым погрешности практически не встречаются (в противном случае эта, погрешность будет грубым промахом).
Влияние случайных погрешностей выражается в разбросе полученных результатов относительно математического ожидания, поэтому количественно наличие случайных погрешностей хорошо оценивается среднеквадратическим отклонением. Выявление случайных погрешностей особенно необходимо при точных, например, лабораторных измерениях. Для этого используют многократные измерения одной и той же величины, а их результаты обрабатываются методами теории вероятностей и математической статистики. Это позволяет уточнить результаты выполненных измерений.
Поскольку случайные погрешности имеют вероятностный характер, то они могут быть описаны как случайные величины. Случайная величина и ее характеристики будут рассмотрены в следующих главах.
Результат любого случайного эксперимента можно характеризовать качественно и количественно. Качественный результат случайного эксперимента - случайное событие. Любая количественная характеристика, которая в результате случайного эксперимента может принять одно из некоторого множества значений, - случайная величина. Случайная величина является одним из центральных понятий теории вероятностей.
Например, случайной величиной является число очков, выпавших при бросании игральной кости, или рост случайно выбранного из учебной группы студента. В первом случае мы имеем дело с дискретной случайной величиной (она принимает значения из дискретного числового множества M={1, 2, 3, 4, 5, 6}; во втором случае - с непрерывной случайной величиной (она принимает значения из непрерывного числового множества - из промежутка числовой прямой I=[100, 3000]).
Таким образом, систематической постоянной погрешностью называется отклонение математического ожидания результатов наблюдений от истинного значения измеряемой величины:
(1)
а случайной погрешностью – разность между результатом единичного наблюдения и математическим ожиданием результатов:
(2)
В этих обозначениях истинное значение измеряемой величины составляет:
(3)
|
|
|
