 |
Правила записи приближенных чисел
|
|
|
|
Для решения инженерных задач часто приходится определять различные
числа, как точные, так и приближенные. При этом требуется, чтобы погреш-
ность, возникающая при округлении была бы минимальной.
Пусть некоторое десятичное число представлено его разложением
(10 10... 10 10 10 1... 10)
r
r
m
m
m
a am a a a a a −
−
−
−
−
= ± ⋅ + − ⋅ + + ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅,
где 10 S – единица разряда S, a S – цифра разряда, S – номер разряда.
Все цифры числа от первой слева, неравной нулю, до последней цифры
справа называются значащими цифрами.
Например, пусть заданы следующие числа:
a 1 = 2.67; a 2 = 0.267; a 3 = 0.00267; a 4 = 0.26700
Тогда для a 1, a 2, a 3 имеем 3 значащие цифры и для a 4 - 5 значащих цифр.
Если крайние справа нули не считают значащими, то число записывают в
экспоненциальной форме:
a = μ10 p,
где μ - экспонента, p – порядок числа.
Значащая цифра числа a S называется верной, если абсолютная погреш-
ность этого числа не превосходит половины единицы разряда S, т. е.
10 s
Δ a ≤.
Если абсолютная погрешность числа не указана, то все его значащие
цифры считают верными.
Под округлением числа а будем понимать его замену числом а ’, которое
имеет меньшее количество значащих цифр, чем исходное число а. Округление
должно производиться таким образом, чтобы возникающая ошибка была ми-
нимальной.
Для оценки величины ошибки вводят следующие характеристики:
- абсолютная погрешность округления Δокр = а − а ';
- относительная погрешность округления
а
окр
окр
Δ
δ =.
При необходимости могут использоваться их предельные значения:
Δокр ≥ Δокр;
'
окр
окр а
Δ
δ =.
Если округляется приближенное число, то погрешность полученного
|
|
|
числа включает две составляющие:
- погрешность округления;
- погрешность исходного числа.
Округление чисел производится по следующим правилам.
1. Если первая из отбрасываемых цифр меньше 5, то последняя сохра-
няемая цифра не изменяется.
2. Если первая из отбрасываемых цифр больше 5, то последняя сохра-
няемая цифра увеличивается на 1.
3. Если первая из отбрасываемых цифр равна 5, и за ней идут не нули, то
последняя сохраняемая цифра увеличивается на 1.
4. Если первая из отбрасываемых цифр равна 5 и все значащие цифры,
идущие за ней равны нулю, то последняя сохраняемая цифра увеличивается на
1, если она нечетная, и не изменяется, если она четная.
Погрешность суммы и разности приближенных чисел
Абсолютная погрешность алгебраической суммы или разности несколь-
ких приближенных чисел не превышает суммы абсолютных погрешностей этих
чисел:
Δ(x 1 + x 2 +... + x n) ≤ Δ x 1 + Δ x 2 +... + Δ x n;
Δ(x 1 − x 2 −... − x n) ≤ Δ x 1 + Δ x 2 +... + Δ x n.
Предельная абсолютная погрешность суммы или разности определяется
следующим образом:
Δ(x 1 + x 2 +... + x n) = Δ x 1 + Δ x 2 +... + Δ x n;
Δ(x 1 − x 2 −... − x n) = Δ x 1 + Δ x 2 +... + Δ x n.
Оценим относительную погрешность δ(x 1 + x 2) суммы приближенных
чисел. Пусть Х 1, Х 2 - точные числа одного знака, х 1, х 2 - их приближения. Тогда
1 2
1 2
1 2
() ()
x x
x x x x
+
Δ +
δ + = ≤ δmax (1)
где δmax = max(δ x 1,δ x 2).
Предельная относительная погрешность суммы двух чисел вычисляется
как
δ(x 1 + x 2) = δmax, (2)
где δmax = max(δ x 1,δ x 2).
Формулы (1) и (2) можно обобщить на случай произвольного количества
слагаемых:
(...); max(,,...,).
(...); max(,,...,);
1 2 max max 1 2
1 2 max max 1 2
n n
n n
x x x x x x
x x x x x x
δ + + + = δ δ = δ δ δ
δ + + + ≤ δ δ = δ δ δ
Таким образом, при суммировании чисел одного знака не происходит по-
тери относительной точности, что видно из приведенных соотношений.
|
|
|
Оценка относительной погрешности для разности двух чисел осуществ-
ляется по формуле
1 2
1 2
1 2
() ()
x x
x x x x
−
Δ −
δ − = ≤ νδmax,
где
δmax = max(δ x 1,δ x 2);
1 2
1 2
X X
X X
−
+
ν =.
Формулы для предельных относительных погрешностей имеют вид:
();; max max(1, 2).
1 2
1 2
1 2 max x x
X X
X X
x x δ = δ δ
−
+
δ − ≤ νδ ν =
Очевидно, что для разности приближенных чисел относительные по-
грешности возрастают в ν раз, где ν > 1. При этом возможна существенная по-
теря точности, которая происходит в том случае, если числа X 1, X 2 настолько
близки, что их сумма значительно превышает их разность
X 1 + X 2 >> X 1 − X 2. Тогда ν >> 1, что приводит к полной или почти полной
потере точности. Такая ситуация называется катастрофической потерей точ-
ности.
Погрешности произведения и частного приближенных чисел
Формулы для оценки абсолютной погрешности произведения и частного
является более сложными, чем для суммы и разности. Поэтому для частного и
произведения абсолютные погрешности обычно определяют, используя извест-
ную формулу
Δ a = δ a A или Δ a = δ a a,
для a = x 1 x 2... xn или a = x 1/ x 2, где относительная погрешность произведения при-
ближенных чисел определяется следующим образом:
δ(x 1 x 2... xn) ≤ δ x 1 + δ x 2 +... + δ xn.
Формула показывает, что относительные погрешности нескольких при-
ближенных чисел складываются при выполнении операции умножения над
этими числами.
Для предельной относительной погрешности формула имеет вид:
δ(x 1 x 2... xn) = δ x 1 + δ x 2 +... + δ xn
Аналогичным образом можно получить оценки погрешности частного
двух приближенных чисел:
1 2
1 x x
x
x ≤ δ + δ ⎟
⎟⎠ ⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
δ; 1 2
1 x x
x
x = δ + δ ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
δ
Погрешность функции
Основная задача теории погрешностей заключается в следующем: по из-
вестным значениям погрешностей исходных данных определить погрешность
некоторой функции от этих величин.
Пусть задана функция f (x), значение которой требуется вычислить для
приближенного значения аргумента x 0 ≈ X 0, имеющего известную предельную
абсолютную погрешность Δ x 0. Если функция f (x) дифференцируема в точке x 0,
|
|
|
то погрешность ее значения в этой точке можно оценить как
Δ f (x 0) ≈ f ′(x 0) Δ x 0.
Считается, что формула справедлива, если относительные ошибки аргу-
мента и результата малы по сравнению с единицей, т.е.
δ x 0 << 1 и δ f (x 0) << 1.
Нетрудно заметить, что вычисление функции в точке с большим модулем
производной может привести к значительному увеличению погрешности ре-
зультата по сравнению с погрешностью аргумента (катастрофическая потеря
точности).
|
|
|
