 |
Погрешность функции нескольких переменных
|
|
|
|
Пусть y = f (x 1, x 2, …, xn) – приближенное значение функции от прибли-
женных аргументов x 1 ≈ X 1, x 2 ≈ X 2, …, x n ≈ X n, которые имеют абсолютные
ошибки Δ x 1, Δ x 2, …, Δ x n.
Для определения Δ y используют принцип наложения ошибок, согласно
которому учитывают влияние погрешностей каждого из аргументов в отдель-
ности, а затем полученные погрешности суммируют. Для этого вначале вре-
менно предполагают, что все аргументы, кроме x 1 являются точными числами,
и находится соответствующая частная ошибка, вносимая только погрешностью
этого аргумента Δ x 1:
1 1 (1, 2,...,) (1, 2,...,) 1 1 Δ y = Δ f x x xn = f x ′ x x xn Δ x,
где производная определяется по x 1. Затем вычисляется частная ошибка, вно-
симая аргументом Δ x 2:
2 2 (1, 2,...,) (1, 2,...,) 2 2 Δ y = Δ f x x xn = fx ′ x x xn Δ x.
В итоге искомая погрешность функции Δ y, определяется суммой всех
частных ошибок:
Δ = Δ ≈ Σ ′ Δ
=
n
i
y f x x xn f x x x xn xi i 1
(1, 2,...,) (1, 2,...,).
Условиями применимости этой формулы считается выполнение следую-
щих неравенств:
δ xi << 1 (i = 1, n); δ f (x 1, x 2, …, xn) << 1.
Обратная задача теории погрешностей
Обратная задача теории погрешностей заключается в определении по-
грешностей исходных данных по заданной погрешности результата. С исполь-
зованием понятия функции нескольких переменных эта задача формулируются
следующим образом: определить предельные погрешности аргументов функ-
ции, чтобы погрешность функции в целом не превышала бы заданной величи-
ны.
Эта задача является математически неопределенной, так как одна и та же
погрешность результата может быть получена при разных погрешностях ис-
ходных данных. В простейшем случае для решения этой задачи используют
|
|
|
принцип равных влияний, согласно которому в формуле для определения пре-
дельной абсолютной погрешности функции нескольких аргументов вида
Δ __________≈ Σ ′ Δ
=
n
i
f x x xn f x x x xn xi i 1
(1, 2,...,) (1, 2,...,).
все слагаемые из правой части принимаются равными:
f x 1 (x 1, x 2,..., xn) x 1 fx 2 (x 1, x 2,..., xn) x 2... fx (x 1, x 2,..., xn) xn. n
′ Δ = ′ Δ = = ′ Δ
Отсюда значения предельных абсолютных погрешностей аргументов оп-
ределяются следующим образом:
⋅
′
Δ
Δ =
(,,...,)
(,,...,)
1 2
1 2
x n
n
i n f x x x
x f x x x
i
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
1. Изучить виды и источники возникновения погрешностей при органи-
зации вычислений на ЭВМ, а также способы их вычисления и оценки.
2. Получить задание на выполнение работы у преподавателя.
3. По исходным данным (табл. 1) составить программу на языке высокого
уровня, моделирующую запись числовых данных в память для ограниченной
разрядной сетки ЭВМ (на примере десятичной системы счисления). Оценить с
ее помощью погрешности представления в ЭВМ заданных чисел.
Замечание. В табл. 1 параметр k задает число разрядов, доступных для за-
писи числа в память.
3. По исходным данным (табл. 2, 3) составить программу на языке высо-
кого уровня, выполняющую вычисления трех заданных выражений. Оценить с
ее помощью погрешности результатов, считая, что для представления исходных
данных и результатов в памяти ЭВМ выделено ограниченное число разрядов k.
Если значение абсолютной погрешности не задано (табл. 3), считать, что соот-
ветствующее число взято со всеми верными цифрами.
4. Составить программу на языке высокого уровня, выполняющую вы-
числение значения функции (табл. 4) по приближенным исходным данным
(табл. 5). Оценить с ее помощью погрешность результата, считая, что для пред-
ставления исходных данных и результатов в памяти ЭВМ выделено ограничен-
ное число разрядов k. Если значение абсолютной погрешности не задано (табл.
|
|
|
5), считать, что соответствующее число взято со всеми верными цифрами. Вы-
числение производной функции выполнить в системе MathCAD.
5. По исходным данным (табл. 6) составить программу на языке высокого
уровня, выполняющую вычисление допустимых погрешностей аргументов при
известном значении погрешности функции f (x, y, z) = xy + yz + xz.
Замечание. Погрешность функции в явном виде не задана, а известно
требуемое количество верных цифр в представлении результата. При этом для
записи исходных данных и результатов в память ЭВМ выделено ограниченное
число разрядов k.
СОДЕРЖАНИЕ ОТЧЕТА ПО ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ
1. Цель работы.
2. Результаты выполнения заданий.
3. Схемы алгоритмов и тексты программ.
3. Результаты решения задач на ЭВМ.
4. Выводы по работе, содержащие анализ полученных результатов.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Источники и виды погрешностей результата.
2. Абсолютная и предельная абсолютная погрешности числа.
3. Относительная и предельная относительная погрешности числа.
4. Значащая и верная цифры числа.
5. Зависимость погрешности числа от количества верных цифр.
6. Правила округления чисел.
7. Погрешности суммы и разности приближенных чисел.
8. Погрешности произведения и частного приближенных чисел.
9. Погрешность функции одной переменной.
10. Погрешность функции нескольких переменных.
11. Обратная задача теории погрешностей.
ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ
Таблица 1
№ a b c k
1 0.0012343 12.34 5678 3
2 16.90320 67.0923 23.1 4
3 83.01 234.13 0.0342 3
4 7889 0.023002 5.321 4
5 1.001 334.21 5.567 3
6 883.4 2345.123 2.004 4
7 2.0 56.23 90.342 2
8 67.983 0.01234 45 3
9 0.32 0.098 0.0023 2
10 345.982 34.8765 34342 5
Таблица 2
№ a b c d e k
1 0.87 12.45 197.34 0.872 1.87 4
2 47.333 612.4 7.3644 0.2653 21.8 4
3 10.3 -2.454 1.34 340.87 341.87 3
4 213.8 1.45 1.3 230.872 -21.8 3
5 340.7 1.4543 1397.34 340.2 31.7 4
6 780.87 1.45 1.34 0.00872 81.87 3
7 6.57135 29.7955 219.8605 0.5262 3.6019 5
8 -7.74959 -12.25925 265.3793 2.175759 1.866 6
9 2.8617 20.206 224.681 1.89715 4.69811 5
10 -8.0458 25.632 190.9 1.1789 4.062 4
Таблица 3
№ Δ a Δ b Δ c Δ d Δ e Выраже-
ние 1
Выраже-
ние 2
Выраже-
ние 3
1 0.01 0.001 0.1 0.03 0.05 a + b + c d - a
d
ebc
2 0.1 0.1 0.167 - 0.2 a + b + e b - a
de
abc
3 0.1 0.01 - - - c + d + e d - e
e
abc
4 0.1 0.1 0.15 - 0.15 a + b + e b - c
de
ab
5 0.01 0.001 - - 0.5 b + c + e a - d
e
ab
6 0.001 0.1 0.1 0.003 0.05 a + c + d e - a
e
abc
7 0.029 0.077 0.056 0.021 0.011 a + d + b c - e
de
abc
8 0.011 0.109 0.208 0.01 0.011 c + e + d e - b
d
abc
9 0.012 0.081 0.193 0.025 0.014 a + b + d a - d
|
|
|
de
ac
10 0.018 0.092 0.087 0.02 - a + b + e d - e
d
abc
Таблица 4
№ Выражение № Выражение
1 x 2 y + y 2 z + zx 2 x + yz 4 − xy
3 xyz + z 2 x + yx 4 x 2 z 2 − y 2 z + y
5 x 2 y 2 − yx + zx 6
y
xz − z 2 − x 3
7 xy + y 2 + z 3 8
x y z
xz z x y
+ −
+ + 3
9 x 2 + y 2 + z 2 10
x y z
x y z
+ +
2 + 2 +
Таблица 5
№ x Δ x y Δ y z Δ z k
1 0.1809 0.001 102.45 0.01 197.34 0.1 4
2 18.93 0.1 0.25456 - 7.38 0.1 4
3 10.1 0.11 1.632 0.1 1.34 0.15 3
4 -0.10009 0.001 10.45 0.01 212197.34 - 6
5 5.934 0.01 12.5 0.01 176.34 0.901 4
6 10.109 - 12.5 0.11 17.34 0.31 4
7 2.9484 0.001 7.330879 - -0.29281 0.1 5
8 1.0181 - 5.9927 - -0.40094 - 4
9 -1.13789 0.001 7.19442 - -1.0695 0.01 5
10 -1.7104 0.001 5.61 - -0.543 0.01 3
Таблица 6
№ x y z Количество верных
цифр результата k
1 23.506 134.093 10.098 6 5
2 122.5 3.36556 5510.12 6 6
3 123.5 1.03 -1.08 4 3
4 123.506 14.03 148 7 4
5 123.5 1.03 0.0198 5 4
6 0.56 0.093667 0.009698 4 4
7 -2.54158 -1.646 -8.38574 5 5
8 0.71088 8.01161 -9.2005 4 5
9 20.81908 12.9697 17.587 6 6
10 0.71012 8.011 -9.2 3 4__
|
|
|
