Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Раздел Элементы векторного анализа и аналитической геометрии




Даны координаты точек , и в системе . Найти:

а) координаты векторов их разложение по ортам и их модули;

б) угол между векторами ;

в) направляющие косинусы векторов ;

г) проекцию вектора на вектор .

181. 182.
183. 184.
185. 186.
187. 188.
189. 190.
191. 192.
193. 194.
195. 196.
197. 198.
199. 200.
201. 202.
203. 204.
205. 206.
207. 208.
209. 210.

Пример выполнения задания

Даны координаты точек , и в системе . Найти:

а) координаты векторов их разложение по ортам и их модули;

б) угол между векторами ;

в) направляющие косинусы векторов ;

г) проекцию вектора на вектор .

Решение:

а) Найти координаты векторов их разложение по ортам и их модули.

Произвольный вектор в прямоугольной системе координат , может быть представлен в виде:

Данное представление вектора называется его разложением по ортам координатных осей

Если вектор задан начальной и конечной точкой , то данное разложение может быть представлено в виде:

Модуль вектора определяется по формуле:

, где вектор задается координатами .

б) Найти угол между векторами .

Воспользуемся формулой

где – скалярное произведение векторов, которое вычисляется по формуле:

в) Найти направляющие косинусы векторов .

Направление произвольного вектора определяется углами образованными им с координатными осями. Косинусы этих углов называются направляющими косинусами и определяются по формулам:

г) Найти проекцию вектора на вектор .

Воспользуемся формулой

 

Даны координаты вершин треугольника . Найти:

а) длины сторон треугольника;

б) уравнения сторон треугольника, указать их угловые коэффициенты и координаты направляющих и нормальных векторов соответственно;

в) угол треугольника ;

г) уравнение высоты и ее длину;

д) уравнение медианы ;

е) уравнение прямой, проходящей через точку , параллельно стороне ;

ж) координаты точки , расположенной симметрично точке относительно высоты ;

З) сделать чертеж.

211. 212.
213. 214.
215. 216.
217. 218.
219. 220.
221. 222.
223. 224.
225. 226.
227. 228.
229. 230.
231. 232.
233. 234.
235. 236.
237. 238.
239. 240.

 

Пример выполнения задания

Даны координаты вершин треугольника . Найти:

а) длины сторон треугольника;

б) уравнения сторон треугольника, указать их угловые коэффициенты и координаты направляющих и нормальных векторов соответственно;

в) угол треугольника ;

г) уравнение высоты и ее длину;

д) уравнение медианы ;

е) уравнение прямой, проходящей через точку , параллельно стороне ;

ж) координаты точки , расположенной симметрично точке относительно высоты ;

З) сделать чертеж.

Решение:

а) Найти длины сторон треугольника .

Расстояние между точками и определяется формулой:

б) Найти уравнения сторон треугольника, указать их угловые коэффициенты и координаты направляющих и нормальных векторов соответственно.

Уравнение прямой проходящей через точки и определяется формулой:

Если прямая задана своим общим уравнением , то нормальный и направляющий вектора этой прямой имеют следующие координаты:

и

– угловой коэффициент прямой , и

– угловой коэффициент прямой , и

– угловой коэффициент прямой , и

в) Найти угол треугольника .

Если две прямые и заданы уравнениями с угловым коэффициентами: и , то угол между ними можно найти по формуле:

г) Найти уравнение высоты и ее длину.

является высотой треугольника , значит . Используем условие перпендикулярности двух прямых:

прямые перпендикулярны, если их угловые коэффициенты обратно пропорциональны и взяты с противоположными знаками, т.е.

В нашем случае:

Используем уравнение, проходящие через данную точку в заданном направлении (оно определяется угловым коэффициентом):

Найдем координаты точки как точку пересечения прямых и :

д) Найти уравнение медианы .

Так как является медианой, то точка середина отрезка . Определим координаты середины отрезка по формуле:

е) Найти уравнение прямой, проходящей через точку , параллельно стороне .

Пусть искомая прямая . Тогда, по условию она параллельна прямой . Используем условие параллельности двух прямых:

две прямые параллельны, если они имею равные угловые коэффициенты, т.е.

Прямая проходит через точку :

ж) Найти координаты точки , расположенной симметрично точке относительно высоты .

По условию, точка симметрична точке , относительно высоты , значит, точка лежит на прямой и длины отрезков и равны между собой. То есть, точка является серединой отрезка :

з) Сделать чертеж.

Даны точки и . Требуется:

а) составить каноническое уравнение эллипса, проходящего через точки , наити его полуоси, фокусы, эксцентриситет, уравнение директрис. Сделать чертеж.

Поделиться:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...