Раздел Элементы векторного анализа и аналитической геометрии
Даны координаты точек , и в системе . Найти: а) координаты векторов их разложение по ортам и их модули; б) угол между векторами ; в) направляющие косинусы векторов ; г) проекцию вектора на вектор .
Пример выполнения задания Даны координаты точек , и в системе . Найти: а) координаты векторов их разложение по ортам и их модули; б) угол между векторами ; в) направляющие косинусы векторов ; г) проекцию вектора на вектор . Решение: а) Найти координаты векторов их разложение по ортам и их модули. Произвольный вектор в прямоугольной системе координат , может быть представлен в виде: Данное представление вектора называется его разложением по ортам координатных осей Если вектор задан начальной и конечной точкой , то данное разложение может быть представлено в виде: Модуль вектора определяется по формуле: , где вектор задается координатами . б) Найти угол между векторами . Воспользуемся формулой где – скалярное произведение векторов, которое вычисляется по формуле: в) Найти направляющие косинусы векторов . Направление произвольного вектора определяется углами образованными им с координатными осями. Косинусы этих углов называются направляющими косинусами и определяются по формулам: г) Найти проекцию вектора на вектор . Воспользуемся формулой
Даны координаты вершин треугольника . Найти: а) длины сторон треугольника; б) уравнения сторон треугольника, указать их угловые коэффициенты и координаты направляющих и нормальных векторов соответственно;
в) угол треугольника ; г) уравнение высоты и ее длину; д) уравнение медианы ; е) уравнение прямой, проходящей через точку , параллельно стороне ; ж) координаты точки , расположенной симметрично точке относительно высоты ; З) сделать чертеж.
Пример выполнения задания Даны координаты вершин треугольника . Найти: а) длины сторон треугольника; б) уравнения сторон треугольника, указать их угловые коэффициенты и координаты направляющих и нормальных векторов соответственно; в) угол треугольника ; г) уравнение высоты и ее длину; д) уравнение медианы ; е) уравнение прямой, проходящей через точку , параллельно стороне ; ж) координаты точки , расположенной симметрично точке относительно высоты ; З) сделать чертеж. Решение: а) Найти длины сторон треугольника . Расстояние между точками и определяется формулой: б) Найти уравнения сторон треугольника, указать их угловые коэффициенты и координаты направляющих и нормальных векторов соответственно. Уравнение прямой проходящей через точки и определяется формулой: Если прямая задана своим общим уравнением , то нормальный и направляющий вектора этой прямой имеют следующие координаты: и – угловой коэффициент прямой , и – угловой коэффициент прямой , и – угловой коэффициент прямой , и в) Найти угол треугольника . Если две прямые и заданы уравнениями с угловым коэффициентами: и , то угол между ними можно найти по формуле: г) Найти уравнение высоты и ее длину. является высотой треугольника , значит . Используем условие перпендикулярности двух прямых: прямые перпендикулярны, если их угловые коэффициенты обратно пропорциональны и взяты с противоположными знаками, т.е.
В нашем случае: Используем уравнение, проходящие через данную точку в заданном направлении (оно определяется угловым коэффициентом): Найдем координаты точки как точку пересечения прямых и : д) Найти уравнение медианы . Так как является медианой, то точка середина отрезка . Определим координаты середины отрезка по формуле: е) Найти уравнение прямой, проходящей через точку , параллельно стороне . Пусть искомая прямая . Тогда, по условию она параллельна прямой . Используем условие параллельности двух прямых: две прямые параллельны, если они имею равные угловые коэффициенты, т.е. Прямая проходит через точку : ж) Найти координаты точки , расположенной симметрично точке относительно высоты . По условию, точка симметрична точке , относительно высоты , значит, точка лежит на прямой и длины отрезков и равны между собой. То есть, точка является серединой отрезка : з) Сделать чертеж. Даны точки и . Требуется: а) составить каноническое уравнение эллипса, проходящего через точки , наити его полуоси, фокусы, эксцентриситет, уравнение директрис. Сделать чертеж.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|