 |
Раздел Элементы векторного анализа и аналитической геометрии
|
|
|
|
Даны координаты точек 
, 
и 
в системе 
. Найти:
а) координаты векторов 
их разложение по ортам 
и их модули;
б) угол между векторами 
;
в) направляющие косинусы векторов ;
г) проекцию вектора 
на вектор 
.
181. 
| 182. 
|
183. 
| 184. 
|
185. 
| 186. 
|
187. 
| 188. 
|
189. 
| 190. 
|
191. 
| 192. 
|
193. 
| 194. 
|
195. 
| 196. 
|
197. 
| 198. 
|
199. 
| 200. 
|
201. 
| 202. 
|
203. 
| 204. 
|
| 205.
| 206. 
|
207. 
| 208. 
|
209. 
| 210. 
|
Пример выполнения задания
Даны координаты точек 
, 
и 
в системе . Найти:
а) координаты векторов их разложение по ортам и их модули;
б) угол между векторами ;
в) направляющие косинусы векторов ;
г) проекцию вектора на вектор .
Решение:
а) Найти координаты векторов 
их разложение по ортам 
и их модули.
Произвольный вектор 
в прямоугольной системе координат 
, может быть представлен в виде:
Данное представление вектора 
называется его разложением по ортам координатных осей 
Если вектор задан начальной 
и конечной точкой 
, то данное разложение может быть представлено в виде:
Модуль вектора определяется по формуле:
, где вектор задается координатами 
.
б) Найти угол между векторами 
.
Воспользуемся формулой
где 
– скалярное произведение векторов, которое вычисляется по формуле:
в) Найти направляющие косинусы векторов .
Направление произвольного вектора 
определяется углами 
образованными им с координатными осями. Косинусы этих углов называются направляющими косинусами и определяются по формулам:
г) Найти проекцию вектора 
на вектор 
.
Воспользуемся формулой
Даны координаты вершин треугольника 
. Найти:
а) длины сторон треугольника;
б) уравнения сторон треугольника, указать их угловые коэффициенты и координаты направляющих и нормальных векторов соответственно;
|
|
|
в) угол 
треугольника ;
г) уравнение высоты 
и ее длину;
д) уравнение медианы 
;
е) уравнение прямой, проходящей через точку 
, параллельно стороне 
;
ж) координаты точки 
, расположенной симметрично точке относительно высоты ;
З) сделать чертеж.
211. 
| 212.
|
213. 
| 214. 
|
215. 
| 216. 
|
217. 
| 218. 
|
219. 
| 220. 
|
221. 
| 222. 
|
223. 
| 224. 
|
225. 
| 226. 
|
227. 
| 228. 
|
229. 
| 230. 
|
231. 
| 232. 
|
233. 
| 234. 
|
235. 
| 236. 
|
237. 
| 238. 
|
239. 
| 240.
|
Пример выполнения задания
Даны координаты вершин треугольника 
. Найти:
а) длины сторон треугольника;
б) уравнения сторон треугольника, указать их угловые коэффициенты и координаты направляющих и нормальных векторов соответственно;
в) угол 
треугольника ;
г) уравнение высоты 
и ее длину;
д) уравнение медианы ;
е) уравнение прямой, проходящей через точку 
, параллельно стороне 
;
ж) координаты точки , расположенной симметрично точке 
относительно высоты ;
З) сделать чертеж.
Решение:
а) Найти длины сторон треугольника 
.
Расстояние 
между точками и определяется формулой:
б) Найти уравнения сторон треугольника, указать их угловые коэффициенты и координаты направляющих и нормальных векторов соответственно.
Уравнение прямой проходящей через точки и определяется формулой:
Если прямая задана своим общим уравнением 
, то нормальный 
и направляющий 
вектора этой прямой имеют следующие координаты:
и 
– угловой коэффициент прямой 
, 
и 
– угловой коэффициент прямой 
, 
и 
– угловой коэффициент прямой 
, 
и 
в) Найти угол 
треугольника 
.
Если две прямые 
и 
заданы уравнениями с угловым коэффициентами: 
и 
, то угол между ними можно найти по формуле:
г) Найти уравнение высоты 
и ее длину.
является высотой треугольника , значит 
. Используем условие перпендикулярности двух прямых:
прямые перпендикулярны, если их угловые коэффициенты обратно пропорциональны и взяты с противоположными знаками, т.е.
|
|
|
В нашем случае: 
Используем уравнение, проходящие через данную точку 
в заданном направлении (оно определяется угловым коэффициентом):
Найдем координаты точки 
как точку пересечения прямых и :
д) Найти уравнение медианы 
.
Так как является медианой, то точка 
середина отрезка . Определим координаты середины отрезка по формуле:
е) Найти уравнение прямой, проходящей через точку 
, параллельно стороне .
Пусть искомая прямая 
. Тогда, по условию она параллельна прямой . Используем условие параллельности двух прямых:
две прямые параллельны, если они имею равные угловые коэффициенты, т.е.
Прямая проходит через точку 
:
ж) Найти координаты точки 
, расположенной симметрично точке 
относительно высоты .
По условию, точка симметрична точке 
, относительно высоты 
, значит, точка 
лежит на прямой 
и длины отрезков 
и 
равны между собой. То есть, точка 
является серединой отрезка 
:
з) Сделать чертеж.
Даны точки 
и 
. Требуется:
а) составить каноническое уравнение эллипса, проходящего через точки 
, наити его полуоси, фокусы, эксцентриситет, уравнение директрис. Сделать чертеж.
|
|
|
