б) составить уравнение гиперболы, фокусы и вершины которой находятся соответственно в вершинах и фокусах найденного в п. а) эллипса. Найти её асимптоты, директрисы, эксцентриситет. Сделать чертеж.

Решение:

а) Каноническое уравнение эллипса имеет вид:

Где и – большая и малая полуоси эллипса.

По условию, эллипс проходит точки , значит, их координаты удовлетворяют уравнению эллипса.

Координаты точки , удовлетворяют уравнению эллипса, т.е.

Уравнение эллипса имеет вид:

Фокусы эллипса имеют координаты: и , где

и .

Эксцентриситет эллипса равен:

Уравнения директрис эллипса имеют вид:

Вершины эллипса имеют координаты:

б) Вершины гиперболы совпадают с фокусами, найденного в пункте а) эллипса, т.е. точки и являются вершинами гиперболы. Значит большая полуось гиперболы равна 4 ().

Фокусы гиперболы совпадают с вершинами эллипса, лежащими на оси ,т.е. с точками: ; .

Соответственно координаты фокусов гиперболы будут:

; .

Так как то имеем

Уравнение гиперболы примет вид:

Эксцентриситет гиперболы равен:

Уравнения директрис эллипса имеют вид:

Уравнения асимптот гиперболы имеют вид:

в) Ветви параболы симметричны оси и она проходит через точку , т.е ветви направлены влево от начала координат, то её уравнение имеет вид:

.

Парабола проходит через точку : .

Фокус данной параболы имеет координаты:

Уравнение директрисы:

Ответ:

271.
272.
273.
274.
275.
276.
277.
278.
279.
280.
281.
282.
283.
284.
285.
286.
287.
288.
289.
290.
291.
292.
293.
294.
295.
296.
297.
298.
299.
300.

Пример выполнения задания

Решение:

а) Вычислить площадь грани .

Для вычисления площади грани , используем формулу определяющую площадь треугольника, построенного на векторах и :

где – векторное произведение векторов и , которое может быть найдено следующим образом:

б) Вычислить объем пирамиды .

Объем пирамиды, построенной на векторах можно вычислить по формуле:

Где – смешанное произведение векторов , и , которое можно вычислить следующим образом:

в) Найти уравнение ребер и , указав координаты направляющих векторов.

Уравнение ребра можно найти как уравнение прямой, проходящей через заданные точки и по формуле:

где – направляющий вектор прямой.

г) Найти уравнения граней и , указав координаты их нормалей.

Уравнение грани можно определить как уравнение плоскости проходящей через три заданные точки , и по следующей формуле:

– координаты нормали грани .

– координаты нормали грани .

д) Найти длину высоты .

Длину высоты пирамиды определим из формулы для нахождения объема пирамиды:

Где – длина высоты, опущенной на основание пирамиды.

е) Найти угол между плоскостью основания и боковым ребром .

За угол между прямой и плоскостью принимают угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость. Она может быть вычислена по формуле:

Где – нормальный вектор плоскости, – направляющий вектор прямой.

Эту формулу можно записать в координатном виде:

ж) Вычислить угол между плоскостью основания и боковой гранью .

За угол между двумя плоскостями можно принять угол между их нормальными векторами, который может быть вычислен по формуле:

з) Найти уравнение плоскости, проходящей через вершину параллельно основанию .

Пусть уравнение искомой плоскости . По условию плоскость параллельна плоскости . Используем условие параллельности плоскостей: две плоскости параллельны, если координаты их нормальных векторов пропорциональны, т.е

Поскольку искомая плоскость параллельна то .

Плоскость проходит через точку , т.е

.

Уравнение плоскости параллельной грани , имеет вид:

.

и) Найти уравнение прямой, проходящей через точку параллельно ребру .

Используем формулу, определяющую каноническое уравнение прямой в пространстве:

Где – координаты произвольной точки прямой, – координаты любого ее направляющего вектора.

к) Найти уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно плоскости основания .

л) Найти угол между боковыми ребрами и .

Угол между двумя прямыми и определим как угол между их направляющими векторами и по формуле:

Раздел Комплексные числа

Представьте число в алгебраической форме:

301.	302.	303.
304.	305.	306.
307.	308.	309.
310.	311.	312.
313.	314.	315.
316.	317.	318.
319.	320.	321.
322.	323.	324.
325.

Пример выполнения задания

Решение:

Умножим числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю:

Ответ:

Найдите на комплексной плоскости множество точек, советующих множеству:

326.
327.
328.
329.
330.
331.
332.
333.
334.

Пример выполнения задания

Решение:

Обозначим через множество, состоящее из точек плоскости, расположенных между прямыми и и содержащих точки самих прямых, через множество, состоящее из точек плоскости, расположенных между прямыми и и содержащих точки самих прямых. Искомое множество находится как пересечение множеств и . На рис. это все внутренние точки прямоугольника, вершинами которого являются точки , стороны прямоугольника принадлежат искомому множеству.

Найдите на комплексной плоскости множество точек, советующих множеству:

335.
336.
337.
338.
339.
340.
341.
342.

Пример выполнения задания

Решение:

Выясним геометрический смысл разности Известно, что каждому комплексному числу соответствует некоторый радиус-вектор с началом в начале координат и концом в точке с координатами Мы имеем два комплексных числа – искомое , ему соответствует точка с координатами и число с соответствующей точкой с координатами Тем самым определены два вектора и .

Тогда разности комплексных чисел будет соответствовать вектор , имеющий начало в точке и конец в точке . По условию задачи , т.е. длина вектора должна быть больше или равна двум и меньше или равна пяти. Если проведем две окружности с центром в точке и радиусами, равными 2 и 5, то точки искомого множества лежат на этих окружностях и между ними, так как расстояние от точки до этих точек удовлетворяют условию задачи.

Найдите на комплексной плоскости множество точек, советующих множеству:

343.
344.
345.
346.
347.
348.
349.
350.

Пример выполнения задания

Решение:

Пусть некоторая точка принадлежит и соответствует комплексному числу , где . По условию задачи имеем: , . Так как модуль комплексного числа определяет расстояние соответствующей точки от начала координат, то согласно условию задачи все точки, принадлежащие искомому множеству , находятся от начала координат на расстоянии меньше 5, т.е. все они лежат внутри окружности с центром в начале координат радиусом, равным 5.

Известно, что аргумент комплексного числа – это угол между положительным направлением оси абсцисс и радиус-вектором из начала координат в точку, соответствующую данному числу. Поэтому точки искомого множества расположены между лучами, выходящими из начала координат и образующими с положительным направлением оси абсцисс углы, равные и , а также лежащими на этих лучах.

Обозначим через множество а через множество . Тогда искомое множество и представляет собой часть круга (сектор) с центром в начале координат и радиусом, равным 5, расположенную между лучами, исходящими из начала координат и образующими с положительным направлением оси абсцисс углы и . Отрезки лучей принадлежат данному множеству, за исключением начала координат, так как для числа аргумента не существует. Дуга окружно сти также не входит в искомое множество.

351.	352.	353.
354.	355.	356.
357.	358.	359.
360.

Пример выполнения задания

Найти значение и чисел , соответствующих точкам, заштрихованной области:

Решение:

Пусть – комплексное число, соответствующее одной из точек заштрихованной области , , где и . Из рис. видно, что и или .

Таким образом, множество точек заштрихованной области соответствует множеству комплексных чисел:

или

361.	362.	363.
364.	365.	366.
367.	368.	369.
370.	371.	372.
373.	374.	375.

Пример выполнения задания

Решение:

Обозначим искомое множество через . Пусть – произвольная точка заштрихованной фигуры и – ее декартовы координаты.

Легко заметить, что и . Точке соответствует комплексное число .

Таким образом, множество состоит из комплексных чисел , для которых , , т.е. .

376.
377.
378.
379.
380.
381.
382.
383.
384.
385.
386.
387.
388.
389.
390.
391.
392.
393.
394.
395.
396.
397.
398.
399.
400.

Пример выполнения задания