Квантовые состояния электрона в магнитном поле.
Квантовые состояния электрона в магнитном поле. Волновая функция.
Рассмотрим волновую функцию электрона, движущегося в постоянном и однородном магнитном поле, которое для определенности будем полагать направленным по оси
При этом
И гамильтониан уравнения Дирака имеет выражение
Заряд электрона Как известно, для определения состояний электрона необходимо задание четырех квантовых чисел -- трех, соответствующих движению в пространстве, и четвертого, определяющего внутреннюю степень свободы электрона, т. е. связанного со спином. Таким образом, для полного набора, характеризующего квантовое состояние частицы, нам необходимо выбрать четыре оператора, каждый из которых коммутирует с гамильтонианом и является интегралом движения. При этом все эти операторы будут иметь общую для них волновую функцию. В рассматриваемой задаче о движении электрона в магнитном поле можно потребовать, чтобы волновая функция была собственной для следующих операторов: 1) энергии 2) проекции импульса на направление магнитного поля
3) проекции полного момента количества движения
Для определения спинового состояния, т. е. разделения решений уравнения Дирака по спину, необходим четвертый оператор, коммутирующий с гамильтонианом, -- оператор поляризации. Но пока ограничимся рассмотрением решений уравнения Дирака без их разбиения по спину.
В рассматриваемой стационарной задаче переменные в уравнении Дирака разделяются и волновую функцию
где
где
В этом выражении коэффициенты
и условием нормировки Спектр энергии электрона определяется главным квантовым числом
где Иное положение в случае сильных магнитных полей. Преобразуем выражение для энергии (1) к несколько другому виду и предположим, что движение вдоль поля отсутствует. Тогда получим выражение
Из которого видно, что при
Рассмотри подробнее физический смысл квантовых чисел, для этого найдем с помощью волновой функции квадратичную флуктуацию радиуса
Вводя далее по общим правилам квадратичную флуктуацию радиуса (дисперсию), находим, что её значение определятся радиальным квантовым числом
Дадим теперь классическую интерпретацию полученных выводов. Как известно, в случае движения электрона в плоскости орбиты вращения энергия частицы и радиус орбиты связаны соотношением
Чтобы установить связь радиуса
Сравнивая это выражение с (3), находим, что Рис. 1 т. е. радиус определяется главным квантовым числом, а радиальное квантовое число характеризует расстояние центра траектории от начала координат. Из сравнения (4) и (5) следует также связь a и квадратичной флуктуации радиуса Исходя из полученных формул, можно дать объяснение пределов изменения азимутального квантового числа
т. е. положительные значения Из выражения для радиуса орбиты вращения электрона видно, что в случае экстремально сильных полей
В этом можно убедиться исходя из вида волновой функции. Плотность вероятности ради- ального распределения электрона будет определяться функциями Лагерра, которые в случае низких уровней энергии (
Таким образом, основное и низшие возбужденные состояния электрона в сверхсильном магнитном поле В обычных условиях движения частицы в ускорителе или накопительном кольце магнитное поле
Разделение решений уравнения Дирака по
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|